材力第3章：剪切与扭转b.ppt

材 料 剪切和扭转 第3章 3 3扭转 扭矩和扭矩图 3 4薄壁圆杆的扭转 3 5切应力互等定理和剪切胡克定律 3 6圆轴扭转时的应力 3 7圆轴扭转时的变形 一 概述 实例 方向盘的操纵杆 传动轴 钻头 钻杆 3 3扭转 扭矩和扭矩图 圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动 杆表面上的纵向线变成螺旋线 受力特点 圆截面直杆受到一对大小相等 转向相反 作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用 变形特点 实际构件工作时除发生扭转变形外 还常伴随有弯曲 拉压等其他变形 1 传动轴的外力偶矩 传动轴的转速n 某一轮上所传递的功率P kW 作用在该轮上的外力偶矩Me 已知 求 轮上外力偶矩Me一分钟内所作的功等于一分钟内该轮所输出的功 二传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图 传动轮的转速n 功率P及其上的外力偶矩Me之间的关系 若功率单位为马力时 经过单位换算可得到 外力偶的转动方向 主动轮为动力轮 其上外力偶的转向与轴转动方向相同 从动轮为阻力轮 其上的外力偶的转动方向与轴转动方向相反 2 扭转内力 扭矩 扭矩图 截面法 抛 代 平 切 扭转内力通常用T表示 称为扭矩 由 若保留右段 则有 即 大小相等 转向相反 m x m m T m T 作用力反作用力 为了表达方便 按变形特点规定符号 符号规定 按右手螺旋法将扭矩T表为矢量 若该矢量方向与截面外法线方向一致为正 反之为负 m T m T m T m T a b m x m m T m T 无论保留左段还是右段 得到的扭矩大小 符号均相同 同时 若给出某截面扭矩的大小和符号 则无论保留左段还是右段 都能方便地画出该截面的扭矩 大小 转向 例3 1已知A轮为主动轮 B C D 试求1 1 2 2 3 3截面的扭矩 轴的转速为300转 分 为从动轮 A B D C 1 2 3 1 2 3 解 1 求外力偶 mA mC mB mD mB T1 mB T2 mC T3 mD 2 求扭矩作轴的受力图 利用截面法可求出扭矩 此时 T的符号具有双重意义 3 扭矩图 5 09 3 82 kN m T mA mC mB mD 7 64 1 3 2 mA mC mB mD mB T1 mB T2 mC T3 mD 若将力偶用矢量表示 则与杆的拉 压内力计算完全类似 通常指的圆筒 可假定其应力沿壁厚方向均匀分布 内力偶矩 扭矩T 薄壁圆杆 3 4薄壁圆杆的扭转 圆筒两端截面之间相对转过的圆心角 相对扭转角 表面正方格子倾斜的角度 直角的改变量 切应变 即 薄壁圆筒受扭时变形情况 圆周线只是绕圆筒轴线转动 其形状 大小 间距不变 表面变形特点及分析 横截面在变形前后都保持为形状 大小未改变的平面 没有正应力产生 所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同 横截面上有与圆轴相切的切应力且沿圆筒周向均匀分布 1 横截面上无正应力 2 只有与圆周相切的切应力 且沿圆筒周向均匀分布 薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析 3 对于薄壁圆筒 可认为切应力沿壁厚也均匀分布 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式 静力学条件 因薄壁圆环横截面上各点处的切应力相等 得 1 剪应力互等定理 组成一力偶 x y z dx dy dz 1 2 平衡 可推测上 下两个面中必有剪应 3 4 此处为以横截面 径截面以及与表面平行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的正六面体 单元体 3 5切应力互等定理和剪切胡克定律 组成一力偶 由平衡知 x y z dx dy dz 1 2 3 4 剪应力互等定理 单元体的两个相互垂直的截面上 与该两个面的交线垂直的切应力数值相等 且均指向 或背离 两截面的交线 单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态 2 剪切胡克定律 实验表明 当剪应力不超过材料的弹性极限时 剪应力 与剪应变 成正比 G G 材料的切变模量或剪切弹性模量 G与 同量纲 G E 均为反映材料性质的材料常数对各向同性材料这三个量中 只有两个独立 它们满足下列关系 1 横截面上的应力 思路 观察变形 提出变形假设 导出应变与变形的关系 几何关系 利用材料本身的性质应力 应变关系 称为物理关系 由应变规律得到应力分布规律 利用应力 内力关系 静力关系 可得到用内力表示的应力公式 3 6圆轴扭转时的应力 各圆周线形状 大小 相邻两圆周线的间距不变 各纵向线近似于直线 只是倾斜了一个相同的角度 轴表面变形前的矩形格 变形后成了平行四边形格 考察变形 从变形的可能性出发 假设 杆横截面像刚性平面一样绕轴线转动 刚性平面假设 此假设只适用于等直圆杆 假设的合理性被实验结果和弹性理论所证实 现求横截面上距圆心为 的点处的切应变 几何关系 式中 为相对扭转角沿杆长度的变化率 记为 物理关系 上式表明 横截面上的切应力随着到圆心的距离 按直线规律变化 在同一半径为 的圆周上 各点的切应力均相等 根据剪切胡克定律 称作 单位长度扭转角 对于给定的横截面为常量 横截面上剪应力的合成结果就是该横截面上的扭矩 静力关系 r dA max dA o 称为横截面的极惯性矩 a b 在给定的横截面上 最外缘剪应力最大 抗扭截面系数 1 实心圆轴 取距离圆心为 厚度为d 的环形面积为dA 于是 2 IP WP的计算 2 空心圆轴 3 强度条件 等直圆轴在扭转时 杆内各点均处于纯剪切状态 其强度条件是最大工作剪应力不大于材料的许用剪应力 即 max 等直圆轴强度条件为 根据上式可进行三种不同情况的强度计算 校核强度 设计截面 计算许可荷载 单位长度扭转角 3 16 相距dx的两横截面的扭转角 3 7圆轴扭转时的变形 1 两截面的相对扭转角 和单位长度扭转角 相距L的两横截面的扭转角为 若在L长度内 T G Ip为常数 则上式可写成 GIp 抗扭刚度 对比轴向拉压 公式形式相似 适用条件相同 圆轴扭转 2 刚度条件 为了保证轴的刚度 通常限制轴的最大单位长度扭转角 max 刚度条件 在工程中 的单位习惯上用度 m 记为 m 而按 3 16 式求出的 值单位为弧度 m 此外 等直杆 3 16 式中的T为Tmax 3 17 上式可改写成 3 18 许用单位长度扭转角 通常一根轴必须同时满足强度条件和刚度条件 按 3 18 可进行三种不同形式的刚度计算 即 校核刚度 设计截面 计算许可荷载 例3 2实心圆轴的直径D 100mm 长l 1m 两端受外力偶矩m0 14kN m作用 如图所示 设材料的剪切弹性模量G 80GPa A B z m0 m0 y C 1 杆内图示截面上A B C三点处的剪应力数值及方向 2 杆内最大剪应力 max 3 两端截面之间相对扭转角 试求 A B z m0 m0 y C 解 1 由截面法 易求得轴任意截面的扭矩均为T m0 截面扭矩为正号扭矩 由静力等效的关系知 在整体图中从右往左看 剪应力方向为 A水平向左 B铅垂向下 C竖直向上 2 因为等直圆轴 且各截面T相等 因此 轴内最大剪应力即为任意截面最外缘的剪应力 3 例3 3一传动轴 横截面上最大扭矩为Tmax 1 5kN m 许用剪用力 50MPa 试按下列两种方案确定轴的截面尺寸 并比较其重量 1 横截面为实心圆截面 2 横截面是内外径比 0 9的空心截面 解 设计实心圆轴 2 设计空心圆轴 3 比较重量 同种材料 杆长相同 所以 重量比即为横截面面积之比 空心轴远比实心轴轻 说明空心轴材料利用率高 原因 例3 4有一外径D 100mm 内径d 80mm的空心圆轴与一直径d 80mm的实心圆轴用键联接 如图所示 在A轮输入功率为P1 300马力 在B C轮处分别负载P2 150马力 P3 150马力 若已知轴的转速为n 300转 分 材料的剪切弹性模量为G 80GPa 轴的扭转许用剪应力 40MPa 许用单位长度扭转角 1 m 要求 1 校核轴的强度和刚度 不考虑键的影响 2 三个轮的位置应如何设置才较为合理 3 经合理布置各轮位置后 求C截面相对A截面转角 A B C 2m 1m 1m D 解 计算外力偶 为简化计算 1马力取700瓦 取3 刚度校核 AD 轴 DC 轴 式中 经校核 全轴刚度足够 强度校核 CD轴 式中 经校核CD轴强度足够 式中 AD轴 经校核AD轴强度不够 合理布置轮的位置 交换轮1和轮2的位置 则轴的受力图和扭矩图如下图所示 m2 3 5kN m m1 7kN m m3 3 5kN m 2m 1m 1m T kN m 3 5 3 5 Tmax比原来小 这样布置显然更为合理 原来AD轴强度不够 现再对它进行强度校核 强度足够了 Tmax的负号不要代 为什么 2 静矩与形心的关系 讨论水平面的一块均质薄板 重心与形心重合 通过求重心的方法来求形心 设厚度为t 单位体积重为 o xy平面为水平面 设形心为C 根据合力矩定理 有 或写成 截面对某轴的静距为零 则该轴必过形心 3 组合图形的静矩 例 求图示截面的Sy Sx 及形心位置 解 将原截面化分为I II两部分 y 120 o 80 10 10 x I II 二 极惯性矩 惯性矩 惯性积 定义 截面对o点极惯性矩 截面对x y轴的惯性积 截面对x轴的轴惯性矩 截面对y轴的轴惯性矩 定义 轴惯性矩简称为惯性矩 极惯性矩 惯性矩和惯性积量纲均为 长度 4 常用单位为m4或 mm 4 2 基本结论 极惯性矩 惯性矩 惯性积与截面大小形状 以及原点或坐标轴的位置有关 Ip恒大于零 A 0 且任意截面对一点的极惯性矩的数值等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和 即 证 由图可见 o x y x y dA 当A 0时 惯性矩恒大于零 ix iy称为截面对x y轴的惯性半径 同一截面对不同的x y轴的惯性积Ixy有不同的值 其值可正 可负 也可能为零 对于给定的O点 总可以找到一对正交轴x y 使得 则 x y 轴称为主轴 o x y x y A o x y x y A 截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩 若O点为截面形心 则x y 为形心主轴 Ix Iy 为形心主惯性矩 对于以同一个点为原点的所有正交轴中 截面对主轴的惯性矩Ix Iy 为极值惯性矩 其中一个为极大值 一个为极小值 当坐标轴x y中有一根为对称轴 则Ixy 0 即 对称轴恒为主轴 反之不然 x y y y dA dA x x 例求图示矩形截面 对x x 轴惯性矩 解 y dy y x x b y x y为形心主惯性轴 例求圆形截面对其形心轴的惯性矩 x y d 解 圆的任意一根形心轴均为形心主惯性轴 三 惯性矩 惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积 1 平行移轴公式 C点为截面的形心 xc yc为一对正交的形心轴 x y分别平行于xc yC轴 平行移轴公式 讨论截面对x y轴的 Ix Iy Ixy和对xc yc轴的 之间的关系 任意面积元素dA 在两坐标系中的坐标分别为 显然 y x dA C O xc x y yc b a xc yc 由定义 即 a b为形心C在坐标系oxy中的坐标 因而有正负号之分 对于所有的平行轴 截面对形心轴的惯性矩最小 例已知矩形截面对形心轴x的惯性矩为 y x x y x x 2 组合截面的惯性矩和惯性积 各个分面积对某轴的惯性矩之和等于它们的组合截面对同一轴的惯性矩 例求图示工字形截面对x y轴的惯性矩Ix Iy x y 解 将截面分成上翼缘 下翼缘和腹板三部分 三部分均为矩形截面 其对自身形心主惯性轴的惯性矩为已知 上 下翼缘自身的形心主惯性轴与x平行 腹板的形心主惯性轴即为x轴 x I III II y 将截面看成宽为B 高为H的矩形截面 减去阴影部分面积 另法 例 求图示截面的形心主惯性矩 250 125 125 500 120 580 解 截面显然为一对称截面 对称轴即为形心主惯性轴 y轴 找到形心 则过形心与y轴垂直的轴即为另一根形心主轴 1 求形心位置 将截面分为 两部分 x1轴与下底边重合 根据形心与静矩的关系 250 125 125 500 120 580 x I II y 2 求形心主惯性矩 250 125 125 500 120 580 x I II y