资源描述
第18讲等差数列、等比数列的基本问题1.(2018江苏溧水中学月考)等差数列an前9项的和等于前4项的和,若a1=1,ak+a4=0,则k=.2.(2018江苏苏州高三上学期期中)已知在等比数列an中,a3=2,a4a6=16,则a7-a9a3-a5=.3.(2018江苏南通中学高三考前冲刺练习)已知等差数列an的公差d=3,Sn是其前n项和,若a1,a2,a9成等比数列,则S5的值为.4.(2018南通高三第二次调研)设等比数列an的前n项和为Sn.若S3,S9,S6成等差数列,且a8=3,则a5=.5.设数列an的首项a1=1,且满足a2n+1=2a2n-1与a2n=a2n-1+1,则数列an的前20项和为.6.(2018江苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)已知公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,若S10S5=4,则4a1d=.7.已知Sn为数列an的前n项和,若a1=2,且Sn+1=2Sn,设bn=log2an,则1b1b2+1b2b3+1b10b11的值是.8.(2018扬州高三第三次调研)已知实数a,b,c成等比数列,a+6,b+2,c+1成等差数列,则b的最大值为.9.(2018扬州高三第三次调研)已知数列an满足an+1+(-1)nan=n+52(nN*),数列an的前n项和为Sn.(1)求a1+a3的值;(2)若a1+a5=2a3.求证:数列a2n为等差数列;求满足S2p=4S2m(p,mN*)的所有数对(p,m).10.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)已知等差数列an的首项为1,公差为d,数列bn的前n项和为Sn,若对任意的nN*,6Sn=9bn-an-2恒成立.(1)如果数列Sn是等差数列,证明数列bn也是等差数列;(2)如果数列bn+12为等比数列,求d的值;(3)如果d=3,数列cn的首项为1,cn=bn-bn-1(n2),证明数列an中存在无穷多项可表示为数列cn中的两项之和.答案精解精析1.答案10解析S9=S4,则9a1+36d=4a1+6d,a1+6d=a7=0,则a4+a10=2a7=0,则k=10.2.答案4解析等比数列中奇数项符号相同,a30,则a50,又a4a6=a52=16,则a5=4,从而a7=8,a9=16,则a7-a9a3-a5=-8-2=4.3.答案652解析由题意可得a1a9=a22,则由a1(a1+24)=(a1+3)2,解得a1=12,则S5=512+5423=652.4.答案-6解析由S3,S9,S6成等差数列可得S3+S6=2S9,当等比数列an的公比q=1时不成立,则q1,a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q=2a1(1-q9)1-q,化简得2q6-q3-1=0,q3=-12(舍去1),则a5=a8q3=-6.5.答案2056解析由题意可得奇数项构成等比数列,则a1+a3+a19=1-2101-2=1023,偶数项a2+a4+a20=(a1+1)+(a3+1)+(a19+1)=1033,故数列an的前20项和为2056.6.答案2解析由S10S5=4得S10=4S5,即10a1+45d=4(5a1+10d),则4a1d=2.7.答案1910解析由Sn+1=2Sn,且S1=a1=2,得数列Sn是首项、公比都为2的等比数列,则Sn=2n.当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,a1=2不适合,则an=2,n=1,2n-1,n2,故bn=1,n=1,n-1,n2,所以1b1b2+1b2b3+1b10b11=1+112+123+1910=1+1-12+12-13+19-110=2-110=1910.8.答案34解析设等比数列a,b,c的公比为q(q0),则a=bq,c=bq,又a+6=bq+6,b+2,c+1=bq+1成等差数列,则bq+6+(bq+1)=2(b+2),化简得b=32-q+1q,当b最大时q0,此时q+1q-2,b=32-q+1q34,当且仅当q=-1时取等号,故b的最大值为34.9.解析(1)由条件,得a2-a1=3,a3+a2=72,-得a1+a3=12.(2)证明:因为an+1+(-1)nan=n+52,所以a2n-a2n-1=2n+42,a2n+1+a2n=2n+52,-得a2n-1+a2n+1=12.于是1=12+12=(a1+a3)+(a3+a5)=4a3,所以a3=14,又由(1)知a1+a3=12,则a1=14.所以a2n-1-14=-a2n-3-14=(-1)n-1a1-14=0,所以a2n-1=14,将其代入式,得a2n=n+94.所以a2(n+1)-a2n=1(常数),所以数列a2n为等差数列.易知a1=a2n+1,所以S2n=a1+a2+a2n=(a2+a3)+(a4+a5)+(a2n+a2n+1)=n22+3n.由S2p=4S2m知p22+3p=4m22+3m.所以(2m+6)2=(p+3)2+27,即(2m+p+9)(2m-p+3)=27,又p,mN*,所以2m+p+912且2m+p+9,2m-p+3均为正整数,所以2m+p+9=27,2m-p+3=1,解得p=10,m=4,所以所求数对为(10,4).10.解析(1)证明:设数列Sn的公差为d,6Sn=9bn-an-2,6Sn-1=9bn-1-an-1-2(n2),-得6(Sn-Sn-1)=9(bn-bn-1)-(an-an-1),即6d=9(bn-bn-1)-d,所以bn-bn-1=6d+d9(n2)为常数,所以bn为等差数列.(2)由得6bn=9bn-9bn-1-d,即3bn=9bn-1+d,因为bn+12为等比数列,所以bn+12bn-1+12=3bn-1+d3+12bn-1+12=3bn-1+12+d3-1bn-1+12=3+d3-1bn-1+12(n2)是与n无关的常数,所以d3-1=0或bn-1+12为常数.当d3-1=0时,d=3,符合题意;当bn-1+12为常数时,在6Sn=9bn-an-2中,令n=1,则6b1=9b1-a1-2,又a1=1,解得b1=1,所以bn-1+12=b1+12=32(n2),此时3+d3-1bn-1+12=3+d3-132=1,解得d=-6.综上,d=3或d=-6.(3)证明:当d=3时,an=3n-2.由(2)得数列bn+12是以32为首项,3为公比的等比数列,所以bn+12=323n-1=123n.即bn=12(3n-1).当n2时,cn=bn-bn-1=12(3n-1)-12(3n-1-1)=3n-1;当n=1时,也满足上式,所以cn=3n-1(n1).设an=ci+cj(1ij,i,jN*),则3n-2=3i-1+3j-1,即3n-(3i-1+3j-1)=2,如果i2,因为3n为3的倍数,3i-1+3j-1为3的倍数,所以3n-(3i-1+3j-1)为3的倍数,则2也为3的倍数,矛盾.所以i=1,则3n=3+3j-1,即n=1+3j-2(j=2,3,4,).所以数列an中存在无穷多项可表示为数列cn中的两项之和.
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