（江苏专用）2019高考数学二轮复习 第二篇 第10练 三角恒等变换与解三角形试题 理.docx

第10练三角恒等变换与解三角形明晰考情1.命题角度：与三角恒等变换、三角函数的性质相结合，考查解三角形及三角形的面积问题.2.题目难度：一般在解答题的第一题位置，中档难度.考点一利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧(1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinAacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值.解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB.又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos，所以tanB.又因为B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accosB7，故b.由bsinAacos，可得sinA.因为ac，所以cosA.因此sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB.2.已知在ABC中，ACcosCBC，点M在线段AB上，且ACMBCM.(1)证明：ABC是直角三角形；(2)若AC6CM6，求sinACM的值.(1)证明记BCa，ACb，因为ACcos CBC，故cos C，故a2c2b2，故B90，故ABC是直角三角形.(2)解因为ACMBCM，故cosBCAcos 2BCM2cos2BCM1，即2a21，解得a，故cosBCMcosACM，则sinACM.3.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac，已知2，cosB，b3，求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值.解(1)由2，得cacosB2.cosB，ac6.由余弦定理得，a2c2b22accosB.b3，a2c292213.联立解得或ac，a3，c2.(2)在ABC中，sinB.由正弦定理，得sinCsinB.abc，C为锐角，cosC，cos(BC)cosBcosCsinBsinC.考点二三角形的面积问题方法技巧三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.4.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC1，a3，求ABC的周长.解(1)由题设得acsinB，即csinB.由正弦定理，得sinCsinB，故sinBsinC.(2)由题设及(1)，得cosBcosCsinBsinC，即cos(BC).所以BC，故A.由题意得bcsinA，a3，所以bc8.由余弦定理，得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周长为3.5.(2018江苏省高考冲刺预测卷)已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，且(2ac)sinBtanCbsinCtanB0.(1)求B；(2)若a2c，b2，求ABC的面积.解(1)由题意知(2ac)sinBtanCbsinCtanB0，所以0，由正弦定理得0，整理得2sinAcosBsinCcosBsinBcosC0，即2sinAcosBsinA0，又sinA0，所以cosB，B.(2)当a2c时，由余弦定理得4a2c22accosB7c2，所以c，a，所以SABCacsinB.6.已知ABC的内角A，B，C满足：.(1)求角A；(2)若ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积S的最大值.解(1)设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据，可得，化简得a2b2c2bc，所以cosA，又因为0A，所以A.(2)由正弦定理得2R(R为ABC外接圆半径)，所以a2RsinA2sin，所以3b2c2bc2bcbcbc，所以SbcsinA3(当且仅当bc时取等号).考点三解三角形的综合问题方法技巧(1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值.(3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.7.已知函数f(x)12sincosx3，x.(1)求f(x)的最大值、最小值；(2)CD为ABC的内角平分线，已知ACf(x)max，BCf(x)min，CD2，求C.解(1)f(x)12sincosx312cosx36sinxcosx6cos2x33sin2x3cos2x6sin，f(x)在上是增函数，在上是减函数，又f(0)3，f3.f(x)maxf6，f(x)minf(0)3.(2)在ADC中，在BDC中，sinADCsinBDC，AC6，BC3，AD2BD.在BCD中，BD2CD2BC22CDBCcos1712cos，在ACD中，AD2AC2CD22ACCDcos4424cos，又AD24BD2，4424cos6848cos，cos，C(0，)，C.8.已知函数f(x)sin2xsin2(xR，为常数且1)，函数f(x)的图象关于直线x对称.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a1，f，求ABC面积的最大值.解(1)f(x)cos2xcoscos2xcos2xsin2xsin.令2xk，kZ，解得x，kZ.f(x)的对称轴为x，kZ.令，kZ，解得，kZ.1，取k1，f(x)sin.f(x)的最小正周期T.(2)fsin，sin.又0A，A.由余弦定理得，cosA，b2c2bc12bc，当且仅当bc时，等号成立.bc1.SABCbcsinAbc，ABC面积的最大值是.9.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且m(2ac，cosC)，n(b，cosB)，mn.(1)求角B的大小；(2)若b1，当ABC的面积取得最大值时，求ABC内切圆的半径.解(1)由已知可得(2ac)cosBbcosC，结合正弦定理可得(2sinAsinC)cosBsinBcosC，即2sinAcosBsin(BC)，又sinAsin(BC)0，所以cosB，又0B，所以B.(2)由(1)得B，又b1，在ABC中，b2a2c22accosB，所以12a2c2ac，即13ac(ac)2.又(ac)24ac，所以13ac4ac，即ac1，当且仅当ac1时取等号.从而SABCacsinBac，当且仅当ac1时，SABC取得最大值.设ABC内切圆的半径为r，由SABC(abc)r，得r.例(14分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(ab，sinAsinC)，向量n(c，sinAsinB)，且mn.(1)求角B的大小；(2)设BC的中点为D，且AD，求a2c的最大值及此时ABC的面积.审题路线图规范解答评分标准解(1)因为mn，所以(ab)(sinAsinB)c(sinAsinC)0，1分由正弦定理，可得(ab)(ab)c(ac)0，即a2c2b2ac.3分由余弦定理可知，cosB.因为B(0，)，所以B.6分(2)设BAD，则在BAD中，由B可知，.由正弦定理及AD，有2，所以BD2sin，AB2sincossin，所以a2BD4sin，cABcossin，10分从而a2c2cos6sin4sin.由可知，所以当，即时，a2c取得最大值4.12分此时a2，c，所以此时SABCacsinB.14分构建答题模板第一步找条件：分析寻找三角形中的边角关系.第二步巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化.第三步得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论.第四步再反思：审视转化过程的等价性与合理性.1.在ABC中，a7，b8，cosB.(1)求A；(2)求AC边上的高.解(1)在ABC中，因为cosB，所以sinB.由正弦定理得sinA.由题设知B，所以0A，所以A.(2)在ABC中，因为sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，所以AC边上的高为asinC7.2.(2018全国)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sinADB.由题意知，ADB90，所以cosADB.(2)由题意及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225，所以BC5.3.已知m，n，设函数f(x)mn.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，求f(B)的取值范围.解(1)f(x)mnsin，令2k2k，kZ，得4kx4k，kZ，所以函数f(x)的单调增区间为，kZ.(2)由b2ac可知cos B(当且仅当ac时取等号)，所以0B，1f(B)，综上，f(B)的取值范围为.4.在某自然保护区，野生动物保护人员历经数年追踪，发现国家一级重点保护动物貂熊的活动区为如图所示的五边形ABECD内，保护人员为了研究该动物生存条件的合理性，需要分析貂熊的数量与活动面积的关系，保护人员在活动区内的一条河的一岸通过测量获得如下信息：A，B，C，D，E在同一平面内，且ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1km.(1)求BC的长；(2)野生动物貂熊的活动区ABECD的面积约为多少？(1.732，结果保留两位小数)解(1)在BCE中，CBE180BCECEB1801054530，由正弦定理，得BCsinCEBsin 45(km).(2)依题意知，在RtACD中，ACDCtanADC1tan 60(km)，又sin 105sin(6045)，sin 15sin(6045)，所以活动区ABECD的面积SSACDSABCSBCEACCDACCBsin 15BCCEsin 1051111.87(km2)，故野生动物貂熊的活动区ABECD的面积约为1.87 km2.