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第一部分 专题七 第三讲 概率、随机变量及其分布列A组1小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( C )ABCD解析根据题意可以知道，所输入密码所有可能发生的情况如下：M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5共15种情况，而正确的情况只有其中一种，所以输入一次密码能够成功开机的概率是.2(2018潍坊模拟)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2)(0)，若在(0,2)内取值的概率为0.8，则在(0,1)内取值的概率为( C )A0.1 B0.2 C0.4 D0.8解析因为1，所以P(02)0.82P(01)，故P(01)0.4.3某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( A )A0.8 B0.75 C0.6 D0.45解析本题考查条件概率的求法设A“某一天的空气质量为优良”，B“随后一天的空气质量为优良”，则P(B|A)0.8，故选A4随机变量的取值为0,1,2.若P(0)，E()1，则D().解析设P(1)p，则P(2)p，从而由E()01p2(p)1，得p.故D()(01)2(11)2(21)2.5(2018河南信阳二模)如图所示，A，B两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为，则P(8).解析解法一(直接法)：由已知得，的可能取值为7,8,9,10，P(7)，P(8)，P(9)，P(10)，的概率分布列为：78910PP(8)P(8)P(9)P(10).解法二(间接法)：由已知得，的可能取值为7,8,9,10，故P(8)与P(7)是对立事件，所以P(8)1P(7)1.6某小型玩具厂拟对n件产品在出厂前进行质量检测，若一件产品通过质量检测能获利润10元；否则产品报废，亏损10元设该厂的每件产品能通过质量检测的概率为，每件产品能否通过质量检测相互独立，现记对n件产品进行质量检测后的总利润为Sn.(1)若n6时，求恰有4件产品通过质量检测的概率；(2)记XS5，求X的分布列，并计算数学期望EX.解析(1)n6时，恰有4件产品通过质量检测的概率：PC()4(1)2.(2)因为XS5，所以X的可能取值为50，30，10,10,30,50，P(X50)C()0(1)5，P(X30)C()1(1)4，P(X10)C()2(1)3，P(X10)C()3(1)2，P(X30)C()4(1)1，P(X50)C()5(1)0，所以X的分布列为：X503010103050PEX503010103050.7甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.解析(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“星队至少猜对3个成语”由题意，EABCDBCDACDABDABC.由事件的独立性与互斥性，得P(E)P(ABCD)P(BCD)P(ACD)P(ABD)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(D)P()P(B)P(C)P(D)P(A)P()P(C)P(D)P(A)P(B)P()P(D)P(A)P(B)P(C)P()2().所以“星队”至少猜对2个成语的概率为.()由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P(X0)，P(X1)2()，P(X2)，P(X3)，P(X4)2()，P(X6).可得随机变量X的分布列为X012346P所以数学期望EX012346.B组1为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为123，其中第2小组的频数为12.(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的分布列和数学期望解析(1)设报考飞行员的人数为n，前3个小组的频率分别为p1，p2，p3，则由条件可得：解得p10.125，p20.25，p30.375.又因为p20.25，故n48.(2)由(1)可得，一个报考学生体重超过60kg的概率为Pp3(0.0370.013)5，由题意知X服从二项分布B(3，)，P(xk)C()k()3k(k0,1,2,3)，所以随机变量X的分布列为X0123PE(X)0123.2从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率解析(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X0)(1)(1)(1)，P(X1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)，P(X2)(1)(1)(1)，P(X3).所以随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0).所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.3已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)解析(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件AP(A).(2)X的可能取值为200,300,400.P(X200).P(X300).P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400PEX200300400350.4某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？【解析】(1)每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11，记事件Ai为第一台机器3年内换掉i7个零件(i1,2,3,4)记事件Bi为第二台机器3年内换掉i7个零件(i1,2,3,4)由题知P(A1)P(A3)P(A4)P(B1)P(B3)P(B4)0.2，P(A2)P(B2)0.4.设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X，则X的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22，P(X16)P(A1)P(B1)0.20.20.04，P(X17)P(A1)P(B2)P(A2)P(B1)0.20.40.40.20.16，P(X18)P(A1)P(B3)P(A2)P(B2)P(A3)P(B1)0.20.20.40.40.20.20.24，P(X19)P(A1)P(B4)P(A2)P(B3)P(A3)P(B2)P(A4)P(B1)0.20.20.40.20.20.40.20.20.24，P(X20)P(A2)P(B4)P(A3)P(B3)P(A4)P(B2)0.40.20.20.20.20.40.2，P(X21)P(A3)P(B4)P(A4)P(B3)0.20.20.20.20.08，P(X22)P(A4)P(B4)0.20.20.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)要令P(Xn)0.5，0.040.160.240.5,0.040.160.240.240.5，则n的最小值为19.(3)购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n19时，费用的期望为192005000.21 0000.081 5000.044 040，当n20时，费用的期望为202005000.081 0000.044 080.所以应选用n19.
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