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第8讲空间中的平行与垂直1.(2018江苏盐城高三期中)设向量a=(2,3),b=(3,3),c=(7,8),若c=xa+yb(x,yR),则x+y=.2.已知角的终边经过点P(-1,2),则sin(+)+2cos(2-)sin+sin2+=.3.已知m,n是不重合的两条直线,是不重合的两个平面.下列命题:若m,m,则;若m,mn,则n;若m,m,则;若,m,则m.其中所有真命题的序号为.4.如图,在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=2,且BE=EC,DF=12FC,则AEBF=.5.(2018苏锡常镇四市高三情况调研)已知a0,b0,且2a+3b=ab,则ab的最小值是.6.(2017镇江高三期末)已知锐角满足tan=6cos,则sin+cossin-cos=.7.(2018江苏盐城中学高三阶段性检测)设锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinC+3=3b.(1)求A的值;(2)求cos2B+2cosAsinB的取值范围.8.(2018常州教育学会学业水平检测)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,PC平面ABCD,PB=PD,点Q是棱PC上异于P、C的一点.(1)求证:BDAC;(2)过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上),求证:QFBC.答案精解精析1.答案83解析根据题意,向量a=(2,3),b=(3,3),c=(7,8),若c=xa+yb(x,yR),则有7=2x+3y,8=3x+3y,解得x=1,y=53,则x+y=83.2.答案-4解析由已知得sin=25,cos=-15,原式=-sin+2cossin+cos=-25-2525-15=-4.3.答案解析若m,m,则或,相交,错误;若m,mn,则n或n,平行或相交,错误;若m,m,则,正确;若,m,则m或m,错误,故真命题的序号为.4.答案-4解析AEBF=AB+12AD(AF-AB)=AB+12ADAD-23AB=-23AB2+12AD2=-6+2=-4.5.答案26解析因为a0,b0,所以ab=2a+3b26ab,解得ab26,当且仅当2a=3b时取等号,故ab的最小值是26.6.答案3+22解析由tan=6cos得sin=6cos2=6(1-sin2),又是锐角,解得sin=23=63(舍负),则cos=1-sin2=33,所以sin+cossin-cos=63+3363-33=2+12-1=3+22.7.解析(1)由正弦定理和两角和的正弦公式可得2sinA12sinC+32cosC=3sinB,sinAsinC+3sinAcosC=3sin(A+C)=3sinAcosC+3cosAsinC,化简得sinAsinC=3cosAsinC,C是锐角,则sinC0,sinA=3cosA,tanA=3,则锐角A=3.(2)因为ABC是锐角三角形,所以C=23-B0,2,B6,2,sinB12,1,则cos2B+2cosAsinB=cos2B+sinB=-2sin2B+sinB+1=-2sinB-142+98,所以cos2B+2cosAsinB(0,1).8.证明(1)PC平面ABCD,BD平面ABCD,所以BDPC,记AC,BD交于点O,连接OP,平行四边形对角线互相平分,则O为BD的中点.又PBD中,PB=PD,所以BDOP.又PCOP=P,PC,OP平面PAC,所以BD平面PAC,又AC平面PAC,所以BDAC.(2)四边形ABCD是平行四边形,所以ADBC,又AD平面PBC,BC平面PBC,所以AD平面PBC,又AD平面ADQF,平面ADQF平面PBC=QF,所以ADQF,又ADBC,所以QFBC.
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