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应用题江苏卷5年考情分析“在考查基础知识的同时，侧重考查能力”是高考的重要意向，而应用能力的考查又是近几年能力考查的重点江苏卷一直在坚持以建模为主所以如何由实际问题转化为数学问题的建模过程的探索应是复习的关键应用题的载体很多，前几年主要考函数建模，以三角、导数、不等式知识解决问题.2014年应用考题(2)可以理解为一次函数模型，也可以理解为条件不等式模型，这样在建模上增添新意，还是有趣的；2015、2016年应用考题(2)都先构造函数，再利用导数求解；2016、2017年应用考题是立体几何模型，2017年应用考题需利用空间中的垂直关系和解三角形的知识求解；2018年应用考题是三角模型，需利用三角函数和导数知识求解题型(一)函数模型的构建及求解主要考查以构建函数模型为背景的应用题，一般常见于经济问题或立体几何表面积和体积最值问题中.典例感悟例1(2016江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)由PO12知O1O4PO18.因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(2)设A1B1a m，PO1h m，则0h6，O1O4h.连结O1B1.因为在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以2h236，即a22(36h2)于是仓库的容积VV柱V锥a24ha2ha2h(36hh3)，0h6，从而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍去)当0h2时，V0，V是单调增函数；当2h6时，V0，V是单调减函数故当h2时，V取得极大值，也是最大值因此，当PO12 m时，仓库的容积最大方法技巧解函数应用题的四步骤演练冲关1(2018苏锡常镇二模)某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w4，且投入的肥料费用不超过5百元此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16 百元/百千克)，且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)(1)求利润函数L(x)的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，L(x)16x2x643x(0x5)(2)法一：L(x)643x6767243.当且仅当3(x1)，即x3时取等号故L(x)max43.答：当投入的肥料费用为300元时，种植水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4 300元. 法二：由(1)可得L(x)3(0x5)，由L(x)0，得x3. 故当x(0,3)时，L(x)0，L(x)在(0,3)上单调递增；当x(3,5)时，L(x)0)，乙的单位面积的年产值为3k(k0)，则年总产值为4k800(4sin cos cos )3k1 600(cos sin cos )8 000k(sin cos cos )，.设f()sin cos cos ，则f()cos2sin2sin (2sin2sin 1)(2sin 1)(sin 1)令f()0，得，当时，f()0，所以f()为增函数；当时，f()0，所以f()为减函数所以当时，f()取到最大值答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大方法技巧三角应用题的解题策略(1)解三角应用题是数学知识在生活中的应用，要想解决好，就要把实际问题抽象概括，建立相应的数学模型，然后求解(2)解三角应用题常见的两种情况：实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解(3)三角函数的值域或最值的求解方法一般有化归法、换元法、导数法演练冲关如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米)记AMN.(1)将AN，AM用含的关系式表示出来；(2)如何设计(即AN，AM为多长)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?解：(1)由已知得MAN60，AMN，MN2，在AMN中，由正弦定理得，所以ANsin ，AMsin(120)sin(60)(2)在AMP中，由余弦定理可得AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(60)4sin(60)cos(60)1cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，0120，当且仅当2150270，即60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时ANAM2.题型(三)与圆有关的实际应用题主要考查与直线和圆有关的实际应用题，在航海与建筑规划中的实际问题中常见. 典例感悟例3一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处，发现在其北偏东30方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使其用最短时间在领海内拦截成功；(参考数据：sin 17，5.744 6)(2)问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由解(1)设缉私艇在C处与走私船相遇(如图)，依题意，AC3BC. 在ABC中，由正弦定理得，sinBACsinABC.因为sin 17，所以BAC17.从而缉私艇应向北偏东47方向追击. 在ABC中，由余弦定理得，cos 120，解得BC1.686 15.又B到边界线l的距离为3.84sin 301.8.因为1.686 151.8，所以能在领海上成功拦截走私船答：缉私艇应向北偏东47方向追击(2)法一：如图，设走私船沿BC方向逃跑，ABC，缉私艇在C处截获走私船，并设BCa，则AC3a.由余弦定理得(3a)2a2168acos .即cos ，所以sin ，1a2.所以BCcos(120)a(2a2)(a22).令ta2，t，再令tcos ，0180.则BCcos(120)tcos sin sin(30)1.751.8，所以无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截法二：如图，以A为原点，正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy.则B(2,2)，设缉私艇在P(x，y)处(缉私艇恰好截住走私船的位置)与走私船相遇，则3，即3.整理得，22， 所以点P(x，y)的轨迹是以点为圆心，为半径的圆. 因为圆心到领海边界线l：x3.8的距离为1.55，大于圆的半径，所以缉私艇能在领海内截住走私船. 答：缉私艇总能在领海内成功拦截走私船方法技巧与圆有关应用题的求解策略(1)在与圆有关的实际应用题中，有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程), 从而最终可以利用圆的知识来求解，如本例，需通过条件到两个定点A，B的距离之比为定值3来确定动点(拦截点)的轨迹是圆(2)与直线和圆有关的实际应用题一般都可以转化为直线与圆的位置关系或者转化为直线和圆中的最值问题演练冲关如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA的长为1百米为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路CDEF，且CD，DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形设DEt百米，记修建每1百米参观线路的费用为f(t)万元，经测算f(t)(1)用t表示线段EF的长；(2)求修建该参观线路的最低费用解：(1)法一：设DE与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知OQl，DQQE，以OF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.由题意得，点E的坐标为， 设直线EF的方程为y1k(k0)，即kxy1tk0.因为直线EF与半圆相切，所以圆心O到直线EF的距离为1，解得k.代入y1k可得，点F的坐标为.所以EF ，即EF(0t2)法二：设EF切圆O于点G，连结OG，过点E作EHAB，垂足为H.因为EHOG，OFGEFH，GOFHEF，所以RtEHFRtOGF，所以HFFGEFt.由EF21HF212, 解得EF(0t2)答：EF的长为百米(2)设修建该参观线路的费用为y万元当0t时，y55，由y50，得y在上单调递减所以当t时，y取最小值为32.5.当t2时，y12t，所以y12，因为t0，所以当t时，y0，所以y在上单调递减；在(1,2)上单调递增所以当t1时，y取最小值为24.5.由知，y取最小值为24.5.答：修建该参观线路的最低费用为24.5万元. A组大题保分练1.在一个矩形体育馆的一角MAN内(如图所示)，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域，已知B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点(1)若BCa10，求储存区域ABC面积的最大值；(2)若ABAC10，在折线MBCN内选一点D，使DBDCa20，求储存区域四边形DBAC面积的最大值解：(1)设ABx，则AC ，所以SABCx 5025，当且仅当x2100x2，即x5时取等号，所以SABC取得最大值为25.(2)由DBDC20知点D在以B，C为焦点的椭圆上因为SABC101050，所以要使四边形DBAC的面积最大，只需DBC的面积最大，此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点由BC10得短半轴长为5，所以SDBC的最大值为10550.因此四边形DBAC面积的最大值为100.2.某地拟建一座长为640米的大桥AB，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A，B造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64x100)，中间每个桥墩的平均造价为 万元，桥面每1米长的平均造价为万元(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x)；(2)为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A，B除外)应建多少个桥墩？解：(1)由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为x米，知中间共有个桥墩，于是桥的总造价f(x)640100，即f(x)xxx1 380xxx1 380(64x100)(2)由(1)可求f(x)xxx，整理得f(x)x(9x280x64080)，由f(x)0，解得x180，x2(舍)，又当x(64,80)时，f(x)0，所以当x80时，桥的总造价最低，此时桥墩数为17.3如图所示，有两条道路OM与ON，MON60，现要铺设三条下水管道OA，OB，AB(其中A，B分别在OM，ON上)，若下水管道的总长度为3 km.设OAa km，OBb km.(1)求b关于a的函数表达式，并指出a的取值范围；(2)已知点P处有一个污水总管的接口，点P到OM的距离PH为 km，到点O的距离PO为 km，问下水管道AB能否经过污水总管的接口点P？若能，求出a的值，若不能，请说明理由解：(1)OAOBAB3，AB3ab.MON60，由余弦定理，得AB2a2b22abcos 60.(3ab)2a2b2ab.整理，得b.由a0，b0,3ab0，及ab3ab，a3abb，b3aba，得0a.综上，b，0a.(2)以O为原点，OM为x轴，建立如图所示的直角坐标系PH，PO，点P.假设AB过点P，A(a,0)，B，即B，直线AP方程为y(xa)，即y(xa)将点B代入，得.化简，得6a210a30.a.a.答：下水管道AB能经过污水总管的接口点P，此时a (km)4(2018南京、盐城二模)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中ab.(1)当a90时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值解：(1)因为矩形纸板ABCD的面积为3 600，故当a90时，b40，从而包装盒子的侧面积S2x(902x)2x(402x)8x2260x，x(0,20)因为S8x2260x8(x16.25)22 112.5，故当x16.25时，纸盒侧面积最大，最大值为2 112.5平方厘米(2)包装盒子的体积V(a2x)(b2x)xxab2(ab)x4x2，x，b60. Vxab2(ab)x4x2x(ab4x4x2)x(3 600240x4x2)4x3240x23 600x，当且仅当ab60时等号成立设f(x)4x3240x23 600x，x(0,30)则f(x)12(x10)(x30)于是当0x10时，f(x)0，所以f(x)在(0,10)上单调递增；当10x30时，f(x)0，所以f(x)在(10,30)上单调递减因此当x10时，f(x)有最大值f(10)16 000，此时ab60，x10.答：当ab60，x10时纸盒的体积最大，最大值为16 000立方厘米B组大题增分练1(2018常州期末)已知小明(如图中AB所示)身高1.8米，路灯OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O.点光源从M发出，小明在地面上的影子记作AB.(1)小明沿着圆心为O，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB扫过的图形面积；(2)若OA3米，小明从A出发，以1米/秒的速度沿线段AA1走到A1，OAA1，且AA110米，如图所示t秒时，小明在地面上的影子长度记为f(t)(单位：米)，求f(t)的表达式与最小值解： (1) 由题意ABOM，OA3，所以OB6.小明在地面上的身影AB扫过的图形是圆环，其面积为623227(平方米)(2) 经过t秒，小明走到了A0处，身影为A0B0，由(1)知，所以f(t)A0B0OA0，化简得f(t) ，0t10，当t时，f(t)的最小值为.答：f(t) ，0t10，当t(秒)时，f(t)的最小值为(米)2.(2018南通、泰州一调)如图，某机械厂要将长6 m，宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P)，再沿直线PE裁剪(1)当EFP时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由解：(1)当EFP时，由条件得EFPEFDFEP，所以FPE，即FNBC，所以四边形MNPE为矩形，此时PNFNPF321 (m)，所以四边形MNPE的面积SPNMN2(m2). (2)法一：设EFD，由条件，知EFPEFDFEP.所以PF，NPNFPF3，ME3.由得所以四边形MNPE面积为S(NPME)MN266662 62.当且仅当tan ，即tan ，时取“”此时，(*)成立答：当EFD时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE的面积最大，最大值为m2. 法二：设BEt m,3t6，则ME6t.因为EFPEFDFEP，所以PEPF，即 tBP.所以BP，NP3PF3PE3(tBP)3t. 由得所以四边形MNPE面积为S(NPME)MN2662.当且仅当(t3)，即t33时取“”. 此时，(*)成立答：当点E距B点3 m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE的面积最大，最大值为(62)m2.3.(2018扬州期末)如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P，Q分别在射线OA和OB上经测量得，扇形OPQ的圆心角(即POQ)为、半径为1千米，为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA，OB交于M，N两点，并要求MN与扇形弧相切于点S.设POS(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计(1) 试将公路MN的长度表示为的函数，并写出的取值范围；(2) 试确定的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值解：(1) 因为MN与扇形弧相切于点S，所以OSMN.在RtOSM中，因为OS1，MOS，所以SMtan .在RtOSN中，NOS，所以SNtan，所以MNtan tan，其中.(2) 法一：(基本不等式) 因为0.令ttan 10，则tan (t1)，所以MN.由基本不等式得MN2，当且仅当t，即t2时取“”此时tan ，由于，故.答：当时，MN的长度最小，为2千米法二：(三角函数) MN.因为，所以2，故sin1，所以当sin1，即时，MNmin2.答：当时，MN的长度最小，为2千米4.如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？解：法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy，则C(1,1)设A(a,0)，B(0，b)(0a1,0b1)，则直线AB方程为1，即bxayab0.因为AB与圆C相切，所以1.化简得ab2(ab)20，即ab2(ab)2.因此AB .因为0a1,0b1，所以0ab2，于是AB2(ab)又ab2(ab)22，解得0ab42，或ab42(舍去)所以AB2(ab)2(42)22，当且仅当ab2时取等号，所以AB最小值为22，此时ab2.故当A，B两点离道路的交点都为2(百米)时，小道AB最短法二：如图，设圆C与道路1，道路2，AB的切点分别为E，F，D，连结CE，CA，CD，CB，CF.设DCE，则DCF.在RtCDA中，ADtan.在RtCDB中，BDtan.所以ABADBDtantantan.令ttan，0t1，则ABf(t)tt1222，当且仅当t1时取等号所以AB最小值为22，此时A，B两点离两条道路交点的距离是1(1)2.故当A，B两点离道路的交点都为2(百米)时，小道AB最短
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