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单元质检八立体几何(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2017课标高考)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为()A.90B.63C.42D.36答案B解析由题意,该几何体是一个组合体,下半部分是一个底面半径为3,高为4的圆柱,其体积V1=324=36,上半部分是一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半,其体积V2=12(326)=27,该组合体的体积为V=V1+V2=36+27=63.故选B.2.(2018浙江五校联考)设a,b是两条直线,是两个平面,则“ab”的一个充分条件是()A.a,b,B.a,b,C.a,b,D.a,b,答案C解析A、B、D项中描述的情况下,直线a,b可能平行,如图.故选C.3.已知直线a和平面,=l,a,a,且a在,内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面答案D解析依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列命题不正确的是()A.平面ACB1平面A1C1D,且两平面的距离为33B.点P在线段AB上运动,则四面体PA1B1C1的体积不变C.与所有12条棱都相切的球的体积为23D.M是正方体的内切球的球面上任意一点,N是AB1C外接圆的圆周上任意一点,则|MN|的最小值是3-22答案D解析A.AB1DC1,ACA1C1,且ACAB1=A,DC1A1C1=C1,平面ACB1平面A1C1D,长方体的体对角线BD1=3.设B到平面ACB1的距离为h,则VB-AB1C=1312111=13122232h,即h=33,则平面ACB1与平面A1C1D的距离d=3-2h=3-233=33,故A中命题正确.B.点P在线段AB上运动,则四面体PA1B1C1的高为1,底面积不变,则体积不变,故B中命题正确.C.与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C=2,则2R=2,R=22,球的体积V=43R3=43223=23,故C中命题正确.D.设正方体的内切球的球心为O,正方体的外接球的球心为O,则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球O的一个小圆,点M在正方体的内切球的球面上运动,点N在三角形ACB1的外接圆上运动,线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球的半径.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段MN长度的最小值是32-12.故D中命题错误,应选D.5.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为()答案A解析因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),几何体的直观图如图,是以正方体的顶点为顶点的一个正四面体,所以以zOx平面为投影面,则得到的正视图如图所示.6.(2017浙江绍兴诸暨调研)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,P点在AEF内的射影为O,则下列说法正确的是()A.O是AEF的垂心B.O是AEF的内心C.O是AEF的外心D.O是AEF的重心答案A解析由题意可知PA,PE,PF两两垂直,所以PA平面PEF,从而PAEF,而PO平面AEF,则POEF,因为POPA=P,所以EF平面PAO,所以EFAO,同理可知AEFO,AFEO,所以O为AEF的垂心.7.如图,正方形ABCD与正方形ABEF构成一个3的二面角,将BEF绕BE旋转一周.在旋转过程中,()A.直线AC必与平面BEF相交B.直线BF与直线CD所成的角恒为4C.直线BF与平面ABCD所成角的范围是12,2D.平面BEF与平面ABCD所成的二面角必不小于3答案D解析正方形ABCD与正方形ABEF构成一个3的二面角,CBE=3,将BEF绕BE旋转一周,则对应的轨迹是以BE为轴的圆锥,此时EBF=42.综上所述,12.又由最小角定理得32,故选D.10.(2018浙江嘉兴)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在A1C上运动(包括端点),则BP与AD1所成角的取值范围是()A.4,3B.4,2C.6,2D.6,3答案D解析设BP与AD1所成角为.如图所示,不妨设|AB|=1.则B(0,0,0),C(1,0,0),A1(0,1,1),C1(1,0,1),AD1=BC1=(1,0,1),BC=(1,0,0),CA1=(-1,1,1).设CP=CA1,则BP=BC+CA1=(1-,),01.cos=BC1BP|BC1|BP|=12(1-)2=16-132+4312,32.6,3.故选D.二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.设,为两个不同的平面,u=(-2,2,5),v=(1,-1,x)分别为平面,的法向量.若,则x=;若,则x=.答案45-52解析由,得uv=0,即-2-2+5x=0,x=45;由,得uv,即-21=2-1=5x,x=-52.12.直观图(如图)中,四边形OABC为菱形且边长为2 cm,则在原坐标系xOy中四边形为(填图形形状),面积为cm2.答案矩形8解析将直观图恢复到平面图形(如图),是OA=2cm,OC=4cm的矩形,S四边形OABC=24=8(cm2).13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AA1的中点,则异面直线BE与B1D1所成角的余弦值等于,若正方体边长为1,则四面体B-EB1D1的体积为.答案1051614.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为;体积为.答案16+23+25203解析几何体为一个三棱锥D-ABE与一个四棱锥D-BCFE的组合体,如图,其中AD=AE=22,DE=26,DF=BD=25,AB=BC=CF=EF=BE=2,CD=4.所以表面积为1242+1222+22+12(2+4)2+12225+12226=16+23+25,体积为1321222+13422=203.15.(2018江西)如图所示,半径为1的球内切于正三棱锥P-ABC中,则此正三棱锥体积的最小值为.答案83解析设正三棱锥P-ABC的底面积为S0,侧面积为3S,高为h,斜高为h,底面边长为a,内切球的半径为r.由等积转换得V=13S0h=13S0r+313Sr,即h=1+3SS0,h-1=3h32a.h-1=23h2+a212a.(h-1)2=12h2+a2a2,解得a2=12h2h2-2h.于是V=1334a2h=3h2h-2(h2),V=3(h2-4h)(h-2)2,令V=0得h=4,故当h=4时,Vmin=83.16.(2018浙江台州)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC=PB=PC=10,PA=8,BC=12,点M在平面PBC内,且AM=7,设异面直线AM与BC所成角为,则cos 的最大值为.答案1717.(2018浙江宁波)如图,正四面体ABCD的棱CD在平面上,E为棱BC的中点.当正四面体ABCD绕CD旋转时,直线AE与平面所成最大角的正弦值为.答案336解析取CD的中点F,易知CD平面ABF,则平面ABF平面.设平面ABF平面=a,四面体不动,转动平面,则AO于点O交BF于点M,AO为平面的法向量.AE与平面所成角的正弦值最大=AE与法向量AO所成角最小,即为AE与平面ABF所成角,设其为,则sin=36.故AE与平面所成角的正弦值即为的余弦值336.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD平面FGH;(2)若CFBC,ABBC,求证:平面BCD平面EGH.证明(1)如图所示,连接DG,CD,设CDGF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点,又H为BC的中点,所以HMBD,由于HM平面FGH,BD平面FGH,故BD平面FGH.(2)连接HE,GE,CD.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GHAB.由ABBC,得GHBC.又H为BC的中点,所以EFHC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形,所以CFHE.由于CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGH=H.所以BC平面EGH.又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.19.(15分)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,DAB=60,PC平面ABCD,且AB=2,PC=6,F是PC的中点.(1)求证:PA平面DBF;(2)求直线PA和平面PBC所成的角的正弦值.(1)证明连接AC,交BD于点O,连接FO.底面ABCD为菱形,O为AC中点.又F是PC的中点,OF是PAC的中位线.OFPA.又OF平面DBF,PA平面DBF,PA平面DBF.(2)解过点A作CB的垂线,交CB的延长线于点E,连接PE.PC平面ABCD,PCAE.又AEBC,AE平面PBC.APE就是直线PA和平面PBC所成的角.又PA=32,AE=2sin60=3,sinAPE=332=66.直线PA和平面PBC所成的角的正弦值为66.20.(15分)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB平面BCE,BECE,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.(1)求证:GF平面ADE;(2)求GF与平面ABE所成角的正切值.(1)证明如图,取AE的中点H,连接HG,HD,G是BE的中点,GHAB,且GH=12AB.又F是CD中点,DF=12CD,由四边形ABCD是矩形得,ABCD,AB=CD,GHDF,且GH=DF.四边形HGFD是平行四边形.GFDH.又DH平面ADE,GF平面ADE,GF平面ADE.(2)解如图,在平面BEC内,过点B作BQEC,BECE,BQBE.又AB平面BEC,ABBE,ABBQ.以B为原点,BE,BQ,BA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1),G(1,0,0),GF=(1,2,1),平面ABE的法向量n=(0,1,0),设GF与平面ABE所成角的平面角为,则sin=|GFn|GF|n|=26,cos=1-262=26.tan=sincos=2626=2.GF与平面ABE所成角的正切值为2.21.(15分)(2018浙江诸暨)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD为梯形,ABDC,ABBC,PA=AB=BC=12DC,点E在棱PB上,且PE=EB.(1)当=2时,求证:PD面EAC;(2)若直线PA与平面EAC所成角为30,求实数的值.(1)证明连接BD交AC于点M,连接ME,ABDC,|MB|MD|=|AB|CD|=12.当=2时,|BE|EP|=12,|MB|MD|=|BE|EP|.EMPD.PD平面EAC,EM平面EAC,PD平面EAC.(2)解以A为坐标原点,分别以AB,AP为y轴、z轴建立空间直角坐标系,设DC=2,则A(0,0,0),C(1,1,0),B(0,1,0),P(0,0,1),由PE=EB,可得E点的坐标为0,1+,11+,AC=(1,1,0),AE=0,1+,11+,设平面EAC的一个法向量为n=(x,y,z),则x+y=0,1+y+11+z=0,设z=,则y=-1,x=1,n=(1,-1,).若直线PA与平面EAC所成角为30,则cos60=2+2,解得=63.22.(15分)如图,在四棱锥A-BCD中,ABD、BCD均为正三角形,且二面角A-BD-C为120.(1)求证:ACBD;(2)求二面角B-AD-C的余弦值.(1)证明设BD的中点为O,则由ABD、BCD均为正三角形分别可得OABD,COBD,BD平面AOC.AC平面AOC,ACBD.(2)解设ABD、BCD的边长均为2a,则AO=CO=3a,由二面角A-BD-C为120可知AC=3a.过点B作BEAD,垂足为E,显然BE=3a;过点E作EHAD,显然AH=43a,EH=73a,连接OH,则BEH就是所求的二面角B-AD-C的平面角.在等腰ACD中,计算得EH=73a,DH=BH=43.于是在BEH中,由余弦定理计算得到cosBEH=217.
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