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高考专题突破一高考中的不等式问题题型一含参数不等式的解法例1解关于x的不等式x2ax10(aR)解对于方程x2ax10，a24.(1)当0，即a2或a2时，方程x2ax10有两个不等实根x1，x2，且x1x2，所以原不等式的解集为；(2)当0，即a2时，若a2，则原不等式的解集为x|x1；若a2，则原不等式的解集为x|x1；(3)当0，即2a2时，方程x2ax10没有实根，结合二次函数yx2ax1的图象，知此时原不等式的解集为R.思维升华解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(2)判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式跟踪训练1 (1)若不等式ax28ax210的解集是x|7x3的解集为R，则实数m的取值范围是_答案(，4)(2，)解析依题意得，|x1|xm|(x1)(xm)|m1|，即函数y|x1|xm|的最小值是|m1|，于是有|m1|3，m13，由此解得m2.因此实数m的取值范围是(，4)(2，)题型二线性规划问题例2(2018浙江五校联考)已知实数x，y满足约束条件且zaxy的最大值为16，则实数a_，z的最小值为_答案21解析如图，作出不等式组所表示的可行域(ABC及其内部区域)目标函数zaxy对应直线axyz0的斜率ka.(1)当k(，1，即a1，a1时，目标函数在点A处取得最大值，由解得A(5,6)，故z的最大值为5a6，即5a616，解得a2.(2)当k(1，)，即a1，a0，yR，则xy的最小值是()A.B3C1D2答案A解析由x24xy30，得y，即有xyx.x0，x2，即xy，当且仅当x，即x1，y时，xy取得最小值.(2)已知a0，b0，c1，且ab1，则c的最小值为_答案42解析22222，当且仅当即时等号成立，c2c2(c1)22242，当且仅当2(c1)，即c1时，等号成立综上，所求最小值为42.思维升华利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要思路有两种：对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值(2)有些题目虽然不具备直接应用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法跟踪训练3 (1)已知xy1，且0y，则的最小值为()A4B.C2D4答案A解析由xy1且0y，所以x2y0.x2y4，当且仅当x1，y时等号成立(2)若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值是_答案解析由x2y2xy1，得1(xy)2xy，(xy)21xy1，解得xy(当且仅当xy时取得最大值)，xy的最大值为.题型四绝对值不等式的应用例4(1)(2018浙江五校联考)已知aR，则“a9”是“2|x2|52x|a无解”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析2|x2|52x|2x4|52x|2x452x|9，若2|x2|52x|a无解，则a9，同样若a9，则2|x2|52x|a无解，所以“a9”是“2|x2|52x|a无解”的充要条件(2)(2019温州模拟)已知a，b，cR，若|acos2xbsinxc|1对xR恒成立，则|asinxb|的最大值为_答案2解析|acos2xbsinxc|1，即|asin2xbsinx(ac)|1，分别取sinx1，1,0，可知所以|ab|(ac)(bc)|ac|bc|2，且|ab|(ac)(bc)|ac|bc|2.所以max|asinxb|max|ab|，|ab|2，当a2，b0，c1时，取等号思维升华(1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求最值跟踪训练4 (1)已知函数f(x)|x5|x3|x3|x5|c，若存在正实数m，使f(m)0，则不等式f(x)f(m)的解集是_答案(m，m)解析由|x5|x3|x3|x5|x5|x3|x3|x5|可知，函数f(x)为偶函数，当3x3时，f(x)取最小值16c.结合题意可得c16.由f(m)0得f(x)0，即|x5|x3|x3|x5|c0，结合图象(图略)可知，解集为(m，m)(2)不等式|x2|x1|a对于任意xR恒成立，则实数a的取值范围为_答案(，3解析当x(，1时，|x2|x1|2xx112x3；当x(1,2)时，|x2|x1|2xx13；当x2，)时，|x2|x1|x2x12x13，综上可得|x2|x1|3，a3.1(2018宁波期末)若a，bR，且ab1B.Ca3b3Da|b|0答案B解析由ab0得a1b10，所以(a1)，故选B.2(2018浙江绍兴一中期末)若关于x的不等式|x2|xa|5有解，则实数a的取值范围是()A(7,7) B(3,3)C(7,3) D答案C解析不等式|x2|xa|5有解，等价于(|x2|xa|)min5，又因为|x2|xa|(x2)(xa)|2a|，所以|2a|5，52a5，解得7a3，则实数m的取值范围是()A(1,0) B(0,1)C(1，) D(，1)答案D解析作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示(包含边界)，当目标函数zx2y经过直线xm0与ym0的交点时取得最大值，即zmaxm2m3m，则根据题意有3m3，即m0，b0)在该约束条件下取到最小值2时，a2b2的最小值为()A5B4C.D2答案B解析画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分(包含边界)所示，可知当目标函数过直线xy10与2xy30的交点A(2,1)时取得最小值，所以有2ab2.因为a2b2表示原点(0,0)到点(a，b)的距离的平方，所以的最小值为原点到直线2ab20的距离，即()min2，所以a2b2的最小值是4，故选B.8(2018嘉兴教学测试)若直线axby1与不等式组表示的平面区域无公共点，则2a3b的取值范围是()A(7,1) B(3,5)C(7,3) DR答案C解析不等式组表示的平面区域是以A(1,1)，B(1,1)，C(0，1)为顶点的三角形区域(包含边界)；因为直线axby1与不等式组表示的平面区域无公共点，所以a，b满足或故点(a，b)在如图所示的三角形区域(除边界且除原点)内，所以2a3b的取值范围为(7,3)，故选C.9(2019诸暨期末)不等式x22x30的解集为_；不等式|32x|1的解集为_答案(，1)(3，)(1,2)解析依题意，不等式x22x30，解得x3，因此不等式x22x30的解集是(，1)(3，)；由|32x|1得132x1,1x2，所以不等式|32x|3在0,5上有解，则实数a的取值范围为_答案(，0)解析由x24x3得x24x3，则问题等价于小于x24x3在0,5上的最大值，又因为x24x3(x2)27，所以当x5时，x24x3取得最大值2，所以2，解得a，所以a的取值范围为(，0).11(2018嘉兴测试)已知f(x)x2，g(x)2x5，则不等式|f(x)|g(x)|2的解集为_；|f(2x)|g(x)|的最小值为_答案3解析由题意得|f(x)|g(x)|x2|2x5|所以|f(x)|g(x)|2等价于或或解得x3，|f(2x)|g(x)|2x2|2x5|f(2x)|g(x)|的图象如图，则由图象易得|f(2x)|g(x)|的最小值为3.12(2018浙江镇海中学模拟)已知正数x，y满足1，则的最大值是_答案解析设u，v，则问题转化为“已知正数u，v满足u2v1，求的最大值”33(u1)2(v1)33(54).当且仅当，即uv时，取等号13(2018浙江金华十校联考)已知实数x，y，z满足则xyz的最小值为_答案932解析将变形为由|xy|知，|12z|，即12z，解得2z2.所以xyz(12z)z2z2z在2，2上的最小值为932.14(2018宁波模拟)若6x24y26xy1，x，yR，则x2y2的最大值为_答案解析方法一设mxy，nxy，则问题转化为“已知4m2mnn21，求mn的最大值”由基本不等式，知1mn4m2n2mn4|mn|，所以mn，当且仅当n2m，即x3y时，取得最大值.方法二(齐次化处理)显然要使得目标函数取到最大值，x0.令zx2y2，设t，则z，则(4z1)t26zt6z10对tR有解当z时，t.当z时，36z24(4z1)(6z1)0，解得z.当t时取最大值方法三16x24y26y6x24y265x25y2，所以x2y2，当且仅当x3y时取等号15(2019浙江嘉兴一中模拟)已知点P是平面区域M：内的任意一点，则P到平面区域M的边界的距离之和的取值范围为_答案解析设平面区域M：为ABO区域(包含边界)，由题意，|AO|1，|BO|，|AB|2，P到平面区域M的边界的距离之和d就是P到ABO三边的距离之和，设P到边界AO，BO，AB的距离分别为a，b，c，则P(b，a)，由题意0a，0b1,0c(ab)，所以dabca(2)b，从而d，当ab0时取等号如图，P为可行域内任意一点，过P作PEx轴，PFy轴，PPAB，过P作PEx轴，PFy轴，则有PEPFPPPFPE，由P(b，a)，可得P，所以dabc，又0a，0b1，则d，当a，b0时取等号，因此d的取值范围为.16(2018浙江“七彩阳光”新高考研究联盟联考)若正数a，b，c满足1，则的最小值是_答案解析由a，b，c为正数，且1得1，设m，n，则有m0，n0，上式转化为mn1，即mn1，又由基本不等式得m2n2，mn，所以mn1，令tmn，则t0，上式转化为t1，即t2t40，解得t，所以tmn的最小值为.
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