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第六节对数与对数函数A组基础题组1.关于函数f(x)=log3(-x)和g(x)=3-x,下列说法正确的是()A.都是奇函数 B.都是偶函数C.函数f(x)的值域为RD.函数g(x)的值域为R答案C函数f(x)与函数g(x)都是非奇非偶函数,排除A和B;函数f(x)=log3(-x)的值域为R,C正确;函数g(x)=3-x的值域是(0,+),D错误,故选C.2.(2017北京东城一模)如果a=log41,b=log23,c=log2,那么这三个数的大小关系是()A.cbaB.acbC.abcD.bca答案Aa=log41=0,1b=log23ba,故选A.3.若函数f(x)=logax(0a1)在区间a,2a上的最大值是最小值的3倍,则a的值为()A.24B.22C.D.答案A0a0,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是()A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c答案Blog5b=a,b0,lgblg5=a,lg b=alg 5.lg b=c,alg 5=c.又5d=10,d=log510,1d=lg 5,将其代入alg 5=c得ad=c,即a=cd.5.(2017北京海淀期中)已知函数y=xa,y=logbx的图象如图所示,则()A.b1aB.ba1C.a1bD.ab1答案A由题图可知0a1.故选A.6.如图,点O为坐标原点,点A(1,1).若函数y=ax(a0,且a1)和y=logbx(b0,且b1)的图象与线段OA分别交于M,N两点,且M,N恰好是线段OA的两个三等分点,则a,b满足()A.ab1B.baa1D.ab1答案A由题图知,函数y=ax(a0,且a1)与y=logbx(b0,且b1)均为减函数,所以0a1,0b1.因为点A的坐标为(1,1),所以OA所在直线的方程为y=x,因为函数y=ax的图象经过点M,所以它的反函数y=logax的图象也过点M,由对数函数的图象和性质知ab,所以ab0 B.减函数且f(x)0 D.增函数且f(x)0答案B因为f(x)是R上的奇函数,所以f(x+1)=f(-x)=-f(x).当x1,32时,x-10,12,所以f(x)=-f(x-1)=-log2x,所以f(x)在区间1,32上是减函数且f(x)0且a1)的最大值是1,最小值是-,求a的值.解析由题意知, f(x)= (logax+1)(logax+2)= (loga2x+3logax+2)=12logax+322-.当f(x)取最小值-时,logax=-.又x2,8,a(0,1).f(x)是关于logax的二次函数,函数f(x)的最大值必在x=2或x=8时取得.若12loga2+322-=1,则a=2-13,此时,令f(x)=-,得x=(2-13)-32=22,8,舍去.若12loga8+322-=1,则a=,此时,令f(x)=-,得x=12-32=222,8,符合题意,a=.11.已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.解析(1)因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,此时f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+30得-1x0,12a-44a=1,解得a=.故存在实数a=,使f(x)的最小值为0.B组提升题组12.已知lg a+lg b=0(a0且a1,b0且b1),则函数f(x)=ax与g(x)=-logbx的图象可能是()答案B因为lg a+lg b=0(a0且a1,b0且b1),所以lg(ab)=0,所以ab=1,即b=,故g(x)=-logbx=-log1ax=logax,则f(x)与g(x)互为反函数,其图象关于直线y=x对称,结合选项知B正确.故选B.13.(2018北京丰台二模,6)设下列函数的定义域为(0,+),则值域为(0,+)的函数是()A.y=ex-xB.y=ex+ln xC.y=x-xD.y=ln(x+1)答案DA项,函数y=ex-x,y=ex-1,令ex-10可知函数在(0,+)上单调递增,所以值域为(1,+),故排除A.B项,函数y=ex+ln x,当x0时,ln x-,而ex1,所以y-,可排除B;C项,函数y=x-x可看作关于x的二次函数,即y=(x)2-x,易得值域为-14,+,可排除C,故选D.14.(2018北京西城期末,8)在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位mol/L,记作H+)和氢氧根离子的物质的量浓度(单位mol/L,记作OH-)的乘积等于常数10-14.已知pH的定义为pH=-lgH+,健康人体血液的pH保持在7.357.45之间,那么健康人体血液中的H+OH-=()(参考数据:lg 20.30,lg 30.48)A.B.C.D.110答案C本题考查对数的运算法则.由题可得pH=-lgH+(7.35,7.45),且H+OH-=10-14,lgH+OH-=lgH+10-14/H+=lg(H+21014)=2lgH+14,又因为7.35-lgH+7.45,所以-7.45lgH+-7.35,所以-0.92lgH+14-0.7,即-0.9lgH+OH-0,3x,x0,且关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是.答案(1,+)解析如图,在同一直角坐标系中作出y=f(x)与y=-x+a的图象,其中a表示直线y=-x+a在y轴上的截距,由图可知,当a1时,直线y=-x+a与函数f(x)的图象只有一个交点.16.已知a0且a1,函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga11-x,记F(x)=2f(x)+g(x).(1)求函数F(x)的定义域及零点;(2)若关于x的方程F(x)-m=0在区间0,1)上有解,求实数m的取值范围.解析(1)F(x)=2f(x)+g(x)=2loga(x+1)+loga11-x(a0且a1).由x+10,11-x0得-1x1,由am1得m0;若0a1时,实数m的取值范围为0,+),当0a1时,实数m的取值范围为(-,0.
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