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第8讲空间中的平行与垂直1.设l,m表示直线,m是平面内的任意一条直线,则“lm”是“l”成立的条件.(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)2.(2018江苏盐城中学高三上学期期末)设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是.若m,n,则mn若,m,则m若,则;若=m,=n,mn,则.3.(2018南京高三第三次模拟)已知,是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,有如下四个命题:若l,l,则;若l,则l;若l,l,则;若l,则l.其中真命题为(填所有真命题的序号).4.若、是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)若直线m,则在平面内,一定不存在与直线m平行的直线;若直线m,则在平面内,一定存在无数条直线与直线m垂直;若直线m,则在平面内,不一定存在与直线m垂直的直线;若直线m,则在平面内,一定存在与直线m垂直的直线.5.设x,y,z是空间的不同直线或不同平面,下列条件中能保证“若xz,且yz,则xy”为真命题的是.(填所正确命题的序号)x,y,z为直线;x,y,z为平面;x,y为直线,z为平面;x为直线,y,z为平面.6.给出下面命题:(1)若两个平面平行,则其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面;(2)若两个平面平行,则垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面;(3)若两个平面垂直,则垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面;(4)若两个平面垂直,则其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面.则其中所有真命题的序号为.7.(2018扬州高三考前调研)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB平面PAC,ABBP,M,N分别为PA,AB的中点.(1)求证:PB平面CMN;(2)若AC=PC,求证:AB平面CMN.8.(2018江苏盐城中学高三阶段性检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知平面BB1C1C平面ABC,AB=AC,D是BC的中点,且B1DBC1,求证:(1)A1C平面B1AD;(2)BC1平面B1AD.答案精解精析1.答案充要条件解析因为m是平面内的任意一条直线,若lm,则l,所以充分性成立;反过来,若l,则lm,所以必要性成立,故“lm”是“l”成立的充要条件.2.答案解析若m,n,则mn,正确;若,则,又m,则m,正确;若,a,则,可能平行或相交,错误;若=m,=n,mn,则,可能平行或相交,错误,正确命题的序号是.3.答案解析若l,l,则,正确;若l,则l或l,错误;若l,l,则,正确;若l,则l与的位置关系不确定,可能平行、相交或l,错误.故真命题为.4.答案解析当平面、垂直相交时,若直线m,则在平面内,存在与直线m平行的直线,是假命题;若直线m,则m垂直于平面、的交线,则在平面内,平行于交线的直线都与直线m垂直,即一定存在无数条直线与直线m垂直,是真命题;若直线m,则在平面内,一定存在与直线m垂直的直线,是假命题,是真命题.5.答案解析若x,y,z为直线,则直线x,y可以平行、相交、异面,错误;若x,y,z为平面,则平面x,y可能平行或相交,错误;若x,y为直线,z为平面,由线面垂直的性质定理可知正确;若x为直线,y,z为平面,则直线x可以在平面y内,也可以与平面y平行,错误.6.答案(1)(2)解析由面面平行的性质可知(1)正确;由线面垂直的性质可知(2)正确;若两个平面垂直,则垂直于其中一个平面的直线可能与另一个平面平行,也可能在另一个平面内,所以(3)错误;若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于它们交线的直线一定垂直于另一个平面,所以(4)错误.故真命题的序号是(1)(2).7.证明(1)在平面PAB中,M,N分别为PA,AB的中点,所以MNPB,又PB平面CMN,MN平面CMN,所以PB平面CMN.(2)在平面PAB中,ABBP,MNPB,所以ABMN,在平面PAC中,AC=PC,M为PA中点,所以CMPA.因为平面PAB平面PAC,平面PAB平面PAC=PA,所以CM平面PAB.因为AB平面PAB,所以CMAB,又CMMN=M,CM平面CMN,MN平面CMN,所以AB平面CMN.8.证明(1)记BA1交AB1于点O,连接OD,由棱柱知侧面AA1B1B为平行四边形,O为BA1的中点,D是BC的中点,ODA1C.A1C平面B1AD,OD平面B1AD,A1C平面B1AD.(2)D是BC的中点,AB=AC,ADBC.平面BB1C1C平面ABC,平面BB1C1C平面ABC=BC,AD平面ABC,AD平面BB1C1C.BC1平面BB1C1C,ADBC1,又BC1B1D,且ADB1D=D,BC1平面B1AD.
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