资源描述
第4讲解三角形1.(2018江苏南通调研)在ABC中,已知AB=1,AC=2,B=45,则BC的长为.2.(2018江苏扬州调研)在ABC中,若sinAsinBsinC=456,则cosC的值为.3.(2018江苏三校联考)在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a+2c=2b,sinB=2sinC,则cosC=.4.(2018江苏南京、盐城模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若bsinAsinB+acos2B=2c,则ac的值为.5.(2018江苏南京模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=2,则C的值为.6.(2018苏锡常镇四市调研)设ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足acosB-bcosA=35c,则tanAtanB=.7.(2018南京师大附中模拟)在ABC中,已知ABAC+2BABC=3CACB,则cosC的最小值是.8.(2018江苏南通中学模拟)在ABC中,BC边上的中线长等于BC长的2倍,则sin Bsin Csin2A的最大值为.9.(2018苏锡常镇四市调研)在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设ABC的面积为S,且4S=3(a2+c2-b2).(1)求B的大小;(2)设向量m=(sin2A,3cosA),n=(3,-2cosA),求mn的取值范围.10.(2018江苏南通中学模拟)在ABC中,AB=10,BC=5,tanA-4=12.(1)求sinA的值;(2)求ABC的面积.11.(2018江苏扬州中学模拟)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(1,2),n=cos2A,cos2A2,且mn=1.(1)求角A的大小;(2)若b+c=2a=23,求sinB-4的值.答案精解精析1.答案2+62解析由余弦定理可得2=BC2+1-2BC,即BC2-2BC-1=0,解得BC=2+62(舍负).2.答案18解析sinAsinBsinC=456,由正弦定理可得abc=456,不妨设a=4,b=5,c=6,则由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=16+25-3640=18.3.答案34解析sinB=2sinC,由正弦定理得b=2c,则a=2c.由余弦定理可得cosC=2c2+2c2-c222c2=34.4.答案2解析由正弦定理及题意得sinAsin2B+sinAcos2B=2sinC,即sinA=2sinC,则ac=sinAsinC=2.5.答案6解析在ABC中,sinB=sin(A+C),则sinAcosC+sinCcosA+sinAsinC-sinAcosC=0,即sinCcosA+sinAsinC=0.又sinC0,则cosA+sinA=0,即tanA=-1.又A(0,),则A=34.由正弦定理得asinA=csinC,即222=2sinC,则sinC=12.又C0,4,则C=6.6.答案4解析由正弦定理可将条件acosB-bcosA=35c变形为sinAcosB-sinBcosA=35sinC,则sinAcosB-sinBcosA=35sin(A+B)=35(sinAcosB+cosAsinB),化简得sinAcosB=4sinBcosA,所以tanA=4tanB,即tanAtanB=4.7.答案23解析设ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,ABAC+2BABC=3CACB,即bccosA+2accosB=3abcosC,bcb2+c2-a22bc+2aca2+c2-b22ac=3aba2+b2-c22ab,化简得a2+2b2=3c2,则cosC=a2+b2-c22ab=2a2+b26ab226=23,当且仅当2a=b时取等号,故最小值是23.8.答案1715解析设ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,取BC的中点为D,连接AD,则AD=2a.又ADB+ADC=,cosADB+cosADC=0.由余弦定理可得(2a)2+a22-c222aa2+(2a)2+a22-b222aa2=0,化简得b2+c2=172a2.又sinBsinCsin2A=sinAsinBsinC2sin2AcosA=bcsinA2a2cosAb2+c24a2tanA=178tanA,当且仅当b=c时取等号,此时ADBC,tanA2=a22a=14,则tanA=2tanA21-tan2A2=121-116=815,所以sinBsinCsin2A178815=1715,故sinBsinCsin2A的最大值为1715.9.解析(1)由题意得412acsinB=3(a2+c2-b2),则sinB=3(a2+c2-b2)2ac,所以sinB=3cosB.因为sinB0,所以cosB0,所以tanB=3.又0B,所以B=3.(2)由向量m=(sin2A,3cosA),n=(3,-2cosA),得mn=3sin2A-6cos2A=3sin2A-3cos2A-3=32sin2A-4-3.易知0A23,所以-42A-41312,所以-22sin2A-40,所以0A0,解得sinA=31010,cosA=1010.所以sinA=31010.(2)在ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA,所以25=10+AC2-210AC1010,解得AC=5或AC=-3(舍去).所以ABC的面积S=12ABACsinA=1210531010=152.11.解析(1)由题意得mn=cos2A+2cos2A2=2cos2A-1+cosA+1=2cos2A+cosA.mn=1,2cos2A+cosA=1,解得cosA=12或cosA=-1.又0A,cosA=12,A=3.(2)在ABC中,由余弦定理得(3)2=b2+c2-2bc12=b2+c2-bc,又b+c=23,b=23-c,代入整理得c2-23c+3=0,解得c=3,b=3,于是a=b=c=3,即ABC为等边三角形,B=3,sinB-4=sin3-4=sin3cos4-cos3sin4=6-24.
展开阅读全文