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2018-2019学年河南省南阳市高二(上)期中数学试卷(文科)一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若,则下列不等式中正确的是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】A,则当a=0或者b=0时,结论就不成立了,故选项不对。B当a=0或者b=0时,结论不成立了;或者当两者都不为0时,不等号不同向,不能直接相加,故不一定有,故选项不对。C当,故结果不对。D由重要不等式得到在R上成立选项正确。故答案为D。2.在等比数列中,则等于()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意,设等比数列an的公比为q,结合等比数列的通项公式可得q3,进而可得a1与a2的值,相加即可得答案【详解】根据题意,设等比数列an的公比为q,又由a36,a418,则q3,则a1,a2,则a1+a22;故选:B【点睛】本题考查等比数列的通项公式,关键是求出q的值,属于基础题3.不等式的解集是()A. (,2 2,+) B. 2,2C. 2,+) D. (,2【答案】B【解析】【分析】根据题意,4x20x24,解可得x的取值范围,即可得答案【详解】根据题意,4x20x242x2,即不等式4x20的解集2,2;故选:B【点睛】本题考查一元二次不等式的解法,关键是掌握一元二次不等式的解法,属于基础题4.设变量x,y满足,则点P(x,y)所在区域的面积为()A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出约束条件的可行域,求出点的坐标,然后求解区域的面积即可【详解】变量x,y满足表示的可行域如图:则点P(x,y)表示的区域的面积为:故选:C【点睛】利用线性规划求最值的步骤:(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形常见的类型有截距型(型)、斜率型(型)和距离型(型)(3)确定最优解:根据目标函数的类型,并结合可行域确定最优解(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。5.等比数列an的各项均为正数,且a1007a1012+a1008a101118,则+()A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020【答案】B【解析】=,=2=18=2018log33=2018故选:B6.在ABC中,角A,B,C的边长分别为a,b,c,角A,B,C成等差数列,a6,则此三角形解的情况是()A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 不能确定【答案】B【解析】角A,B,C成等差数列,A+C=2B,又A+B+C=,B=,点C到AB的距离d=asinB=3b=4,dba,三角形有两解故选B7.已知数列满足要求,则()A. 15 B. 16 C. 31 D. 32【答案】C【解析】【分析】由数列an满足a11,an+12an+1,分别令n1,2,3,4,能够依次求出a2,a3,a4,a5【详解】数列an满足a11,an+12an+1,a221+13,a323+17,a427+115,a5215+131故选:C【点睛】本题考查数列的递推公式的性质和应用,是基础题解题时要认真审题,仔细解答,注意递推公式的合理运用8.在ABC中,则A的值是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】已知等式利用正弦定理化简,再利用余弦定理表示出cosA,确定A的度数【详解】已知等式利用正弦定理化简得:a2=b2+c2bc,即b2+c2a2=bc,由余弦定理得:cosA=,A为三角形的内角,A=60,故答案为:B【点睛】此题考查了正弦、余弦定理,熟练掌握定理是解本题的关键9.已知,且,则的最小值为()A. 8 B. 4 C. 2 D. 1【答案】B【解析】【分析】将代入x+y,展开后应用基本不等式即可【详解】x0,y0且,x+y(x+y)()2+4(当且仅当xy2时取“)故选:B【点睛】本题考查基本不等式,着重考查基本不等式的应用,属于基础题在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.10.某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米,测得灯塔A在观察站C北偏东30,灯塔B在观察站C正西方向,则两灯塔A、B间的距离为()A. 500米 B. 600米 C. 700米 D. 800米【答案】C【解析】在中,由余弦定理得AB2=5002+30022500300cos120=490 000所以AB=700(米)故选C11.设变量x,y满足约束条件目标函数仅在(1,0)处取得最小值,则a的取值范围为()A. (1,2) B. (2,4) C. (4,0 D. (4,2)【答案】D【解析】试题分析:满足的平面区域是图中的三角形(阴影部分),又目标函数仅在点处取得最小值,即,解得.考点:考查线性规划.数形结合思想.点评: 本题的关键是比较直线的斜率与直线与得斜率的大小.12.等差数列的前n项和为,若,则数列中( )A. 首项最大 B. 第9项最大C. 第10项最大 D. 第11项最大【答案】C【解析】【分析】利用等差数列前10项和定义推导出a100,a110,由此能求出数列Sn中第10项最大【详解】等差数列an的前n项和为Sn,S200,S210, a100,a110,数列Sn中第10项最大故选:C【点睛】本题考查等差数列前n项和取最大值时项数的求法,考查等差数列的性质、运算法则等基础知识,考查运算求解能力,是基础题二、填空题(把正确答案填在答题卷中的横线上)13.已知数列的前n项和,那么等于_【答案】5【解析】【分析】根据题意,由数列的前n项公式可得a3S3S2,代入数据计算可得答案【详解】根据题意,数列an的前n项和Snn21,则a3S3S2(321)(221)5;故答案为:5【点睛】本题考查数列的前n项和公式的应用,注意ansnsn1的应用,属于基础题14.点(3,1)和(4,6)在直线的两侧,则实数a的取值范围是_【答案】【解析】试题分析:因为点和点在直线的两侧,所以,解得.考点:本小题主要考查直线与点的位置关系的数列关系的体现,考查学生对点与直线的位置关系的理解和应用.点评:本小题也可以分两点分别在直线的两侧讨论,但是不如直接让乘积小于零简单,做题时要考虑一题多解,考试时才可以游刃有余.15.已知ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,则_【答案】1【解析】【分析】由已知与余弦定理得cosC0,结合平方关系得sin2C1,又A是三角形内角,得sinC1【详解】ccosAb, a2+b2c20,cosC0,由平方关系得sin2C1,A是三角形内角,sinC1故答案为:1【点睛】此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答。16.寒假期间,某校家长委员会准备租赁A,B两种型号的客车安排900名学生到重点高校进行研学旅行,A,B两种客车的载客量分别为36人和60人,租金分别为1200元/辆和1800/辆,家长委员会为节约成本,要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为_元【答案】27600【解析】设分别租用两种型号的客车辆,辆,所用的总租金为元,则,其中满足不等式组,即,由,得,作出不等式组对应的平面区域平移,由图象知当直线经过点时,直线的截距最小,此时最小,由得,即当时,此时的总租金元,达到最小值,故答案为.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列满足 ,求数列的前n项和Sn【答案】【解析】【分析】运用数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简计算可得所求和【详解】,两式相减得:.【点睛】本题考查数列的求和方法:错位相减法,考查等比数列的求和公式的运用,考查化简运算能力,属于基础题18.解关于x的不等式【答案】见解析【解析】【分析】根据题意,分2种情况讨论a的取值范围,求出不等式的解集,综合即可得答案【详解】根据题意,分3种情况讨论:当时,不等式即,即.此时不等式的解集为;当时,方程有2根,分别为0和.当时,此时不等式的解集为;当时,此时不等式的解集为;综合可得:当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为.【点睛】本题考查含有参数的不等式的解法,注意讨论a的取值范围,属于基础题19.已知a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C的对边,且(1)求角C的大小;(2)若c2,ABC的周长为6,求该三角形的面积【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由已知及正弦定理,三角函数恒等变换的应用可得2sinAcosCsinA,结合sinA0,可求cosC,根据范围0C,可求C的值;(2)由已知可求a+b4,由余弦定理可求ab的值,根据三角形面积公式即可计算得解【详解】由正弦定理得:,即,即,由于,故, 又,所以,由于,三角形的周长为6,故,由余弦定理有 ,即,故, 所以三角形的面积.【点睛】本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,余弦定理,三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考查了运算求解能力和转化思想,属于中档题20.围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:米),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元)(1)将y表示为x的函数;(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用【答案】(1);(2)当x=24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.【解析】试题分析:(1)设矩形的另一边长为am,则根据围建的矩形场地的面积为360m2,易得,此时再根据旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式;(2)根据(1)中所得函数的解析式,利用基本不等式,我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值,及相应的x值试题解析:(1)如图,设矩形的另一边长为a m则45x+180(x-2)+1802a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+(2)当且仅当225x=时,等号成立即当x=24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元考点:函数模型的选择与应用【此处有视频,请去附件查看】21.设是等差数列的前n项和,已知,()()求;()若数列,求数列的前n项和【答案】()18;().【解析】试题分析:(1)根据等差数列满足,列出关于首项、公差的方程组,解方程组可得与的值,根据等差数列的求和公式可得递的值;(2)由(1)知,从而可得,利用裂项相消法求解即可.试题解析:(I)设数列的公差为,则即 , 解得, 所以. (也可利用等差数列的性质解答) (II)由(I)知, , 【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式,以及裂项相消法求数列的和,属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2) ; (3);(4) ;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.22.如图,某学校拟建一块五边形区域的“读书角”,三角形区域ABE为书籍摆放区,沿着AB、AE处摆放折线形书架(书架宽度不计),四边形区域为BCDE为阅读区,若BAE60,BCDCDE120,DE3BC3CDm(1)求两区域边界BE的长度;(2)若区域ABE为锐角三角形,求书架总长度AB+AE的取值范围【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)连接BD,由余弦定理可得BD,由已知可求CDBCBD30,CDE120,可得BDE90,利用勾股定理即可得解BE的值;(2)设ABE,由正弦定理,可得AB4sin(120),AE4sin,利用三角函数恒等变换的应用化简可得AB+AE12sin(+30),结合范围60+30120,利用正弦函数的性质可求AB+AE的最大值,从而得解【详解】连接BD,在BDC中,BCD=120,由余弦定理,得,得又BC=CD,BCD=120,.ABE中,BD=3,由勾股定理.故.设,则,在ABE中,由正弦定理., 故=, ABE为锐角三角形,故,所以暑假的总长度AB+AE的取值范围是,【点睛】本题考查余弦定理,考查正弦定理,考查三角函数的化简,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题此类函数的实际应用题,我们要经过析题建模解模还原四个过程,在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制,解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大(小)化问题,利用函数模型,转化为求函数的最大(小)是最优化问题中,最常见的思路之一
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