Mathematica实验六线性方程组.ppt

实验六线性方程组 实验目的 理解齐次线性方程组解的几何意义 了解线性方程组的一些应用实验1求解方程组 并画出的图形 实验六线性方程组 Needs Graphics Colors arrow a b color Graphics color Line 0 0 a b Line a b 0 9 a b 0 04 b a Line a b 9 a b 04 b a A 1 3 4 12 RowReduce A x 1 3 NullSpace A y 3 1 Show arrow x Red arrow y Green AspectRatio Automatic Axes True 实验六线性方程组 练习1求解线性方程 并画出与X的图形 观察图形并给出你的结论 实验六线性方程组 实验2求出通过平面上三点 0 7 1 6 和 2 9 的二次多项式ax2 bx c 并画出其图形根据条件有0 a 0 b c 71 a 1 b c 64 a 2 b c 9 实验六线性方程组 Clear x A 0 0 1 1 1 1 4 2 1 y 7 6 9 p LinearSolve A y Clear a b c r s t a b c r s t f x p x 2 x 1 Plot f x x 0 2 Plot f x x 0 2 GridLines Automatic PlotRange All 实验六线性方程组 练习2求出通过平面上四点 2 6 1 4 2 3 3 2 的3次多项式ax3 bx2 cx d 并画出其图形 实验六线性方程组 实验3求出通过平面上三点 0 0 1 1 1 3 以及满足f 1 20 f 1 9的4次多项式f x 并画出其图形分析 确定一个4次多项式需要知道它的5个系数 通过3个插值条件和两个导数条件可以建立5个线性方程 实验六线性方程组 设f x ax4 bx3 cx2 dx e 则有e 0a b c d e 1a b c d e 3 4a 3b 2c d 204a 3b 2c d 9 实验六线性方程组 Automatic PlotRange All 最小二乘法 实验5给定数据点 0 7 4 0 3 3 4 7 5 6 4 0 7 1 1 3 6 4 1 1 4 4 3 0 0 3 2 5 1 1 1 3 试找一个圆 这些数据点尽可能落在该圆上xs 0 7 3 3 5 6 7 1 6 4 4 4 0 3 1 1 ys 4 0 4 7 4 0 1 3 1 1 3 0 2 5 1 3 pts Transpose xs ys Show Graphics Red AbsolutePointSize 5 Map Point pts Violet Circle 3 1 3 5 Axes Automatic AspectRatio Automatic Transpose A 求矩阵A的转置阵Map f expr 映射将f分别作用到expr第一层的每一个元上得到的列表Map f a b c d e f a f b f c f d f e Point coords1 coords2 representsacollectionofpoints Graphics Point Table t Sin t t 0 2p 2p 10 violet 最小二乘法 设圆的中心在 c1 c2 半径为r 则圆的方程为 x c1 2 y c2 2 r2即2xc1 2yc2 r2 c12 c22 x2 y2令c3 r2 c12 c22则得到一个关于三个未知数c1 c2 c3的线性方程组2xc1 2yc2 c3 x2 y2 最小二乘法 将实验5中的数据点待入方程 得到以下方程组这是一个关于3个未知数 8个方程的方程组 最小二乘法 最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法 最小二乘常用于求解一个超定的 或近似求解一个不完全精确的线性方程组 它仅对剩余的平方和进行最小化 而不是直接求解方程本身在统计学中 如果误差的随机分布满足适当的假设 则通过最小二乘法就能得到参数的最大似然 maximum likelihood 估计 超定 待定方程组 通常研究的线性代数方程组为若A是方阵 m n 且非奇异 则方程组有唯一解若A的列数大于行数 mn 则称为超定方程组所给条件数大于未知数个数 若某些方程是矛盾的 则方程组无解 超定方程组 测量员要测量在某个基准点上3个山头的高度 从基准点观测 测量员测得它们的高度 单位 英尺 分别为x1 1237 x2 1914 x3 2417为进一步确认初始的测量数据 测量员在第一座山上测得 第二座山相对第一座的高度为x2 x1 711第三座山相对第一座的高度为x3 x1 1177在第二座山上测得第三座山相对第二座山的高度为x3 x2 475 超定方程组 由于测量有误差 所以上述方程组的解不存在但我们可以找到一个x使得Ax在某种意义下与b最接近 这就是数据拟和的思想 最小二乘 最小二乘法最早是由高斯提出的 用来确定某些行星和彗星的天体轨迹 这类天体的椭圆轨迹由5个参数确定 原则上只要对天体的位置作5次观测就足以确定它的整个轨迹 由于存在测量误差 由5次观察所确定的运行轨迹极不可靠 进行多次观测 用最小二乘法消除测量误差 得到有关轨迹参数的更精确的值 最小二乘近似将几十次甚至上百次的观察所产生的高维空间问题降到了椭圆轨迹模型的五维参数空间 高斯与最小二乘法 1801年 意大利天文学家Piazzi 发现火星和木星间有一颗新星 被命名为 谷神星 现在已知它是火星和木星的小行星带中的一个 但当时天文学界争论不休 有人说是行星 有人说是彗星 周期彗星的轨道与行星相比较扁 必须继续观察才能判决 但是Piazzi只能观察到它9度的轨道 再来 它便隐身到太阳後面去了 因此无法知道它的轨道 也无法判定它是行星或彗星 高斯与最小二乘法 高斯只作了3次观测就提出了一种计算轨道参数的方法 而且达到的精确度使得天文学家在1801年末和1802年初能够毫无困难地再确定谷神星的位置 高斯在这一计算方法中用到了他大约在1794年创造的最小二乘法 从特定计算得到最小的方差和中求出最佳估值的方法 在天文学中这一成就立即得到公认 最小二乘问题的法方程 对于最小二乘问题矩阵是m n且m n但这个系统是超定的 若方程组是矛盾的 则精确求解是不可能的 所以要转化为最小二乘问题 最小二乘问题的法方程 作为极小值问题 最小二乘问题可以用类似单变量微积分中导数为0的方法来处理目标 残差向量r b Ax的欧几里得范数的平方取最小值 取最小值的必要条件是x是的临界点 最小二乘问题的法方程 在最小值点处函数的梯度向量为0的第i个分量为则有因此的最小值点x一定满足n n的对称线性方程组上述方程组称为最小二乘问题的法方程 可以实现数据的降维 最小二乘法 matA Transpose 2xs 2ys Table 1 Length xs vecb xs 2 ys 2 c1 c2 c3 LinearSolve Transpose matA matA Transpose matA vecb r Sqrt c3 c1 2 c2 2 xs 0 7 3 3 5 6 7 1 6 4 4 4 0 3 1 1 ys 4 0 4 7 4 0 1 3 1 1 3 0 2 5 1 3 pts Transpose xs ys 最小二乘法 Show Graphics Red AbsolutePointSize 5 Map Point pts Violet Circle c1 c2 r Axes Automatic AspectRatio Automatic Print center c1 c2 radius r s Sqrt xs c1 2 ys c2 2 e s r d Sqrt e e deviation a b rad Module e e Sqrt xs a 2 ys b 2 rad Sqrt e e deviation c1 c2 r deviation 3 1 3 5 实验六线性方程组 练习3给定数据点 3 3 1 2 2 0 3 1 3 0 2 6 0 8 0 2 1 4 1 0 3 0 0 7 试用最小二乘法做出一个圆来拟合这些数据