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增分突破四电磁感应与动力学和能量观点综合问题增分策略1.电磁感应与力学问题联系的桥梁是磁场对感应电流的安培力。解答电磁感应中的力学问题,在分析方法上,要始终抓住导体的受力(特别是安培力)特点及其变化规律,明确导体的运动过程以及运动过程中状态的变化,准确把握运动状态的临界点。解决电磁感应中的力、电问题的关键有以下几点(1)电学对象电源:E=BLv或E=nt分析电路的结构利用电路的规律如E=I(R+r)或U=E-Ir。(2)力学对象受力分析:F安=BILF合=ma。过程分析:F合=mavEIF安。(3)临界点:运动状态的临界点。2.从能量观点解决电磁感应问题与解决力学问题时的分析方法相似,只是多了一个安培力做功、多了一个电能参与能量转化,因此需要明确安培力做功及电能转化的特点。电磁感应中焦耳热的三种求法:(1)根据定义式Q=I2Rt计算;(2)利用克服安培力做的功等于回路中产生的焦耳热计算;(3)利用能量守恒定律计算。典例1将一斜面固定在水平面上,斜面的倾角为=30,其上表面绝缘且斜面的顶端固定一挡板,在斜面上加一垂直斜面向上的匀强磁场,磁场区域的宽度为H=0.4 m,如图甲所示,磁场边界与挡板平行,且上边界到斜面顶端的距离为x=0.55 m。将一通电导线围成的矩形导线框abcd置于斜面的底端,已知导线框的质量为m=0.1 kg、导线框的电阻为R=0.25 、ab的长度为L=0.5 m。从t=0时刻开始在导线框上加一恒定的拉力F,拉力的方向平行于斜面向上,使导线框由静止开始运动,当导线框的下边与磁场的上边界重合时,将恒力F撤走,最终导线框与斜面顶端的挡板发生碰撞,碰后导线框以等大的速度反弹,导线框沿斜面向下运动。已知导线框向上运动的v-t图像如图乙所示,导线框与斜面间的动摩擦因数为=33,整个运动过程中导线框没有发生转动,且始终没有离开斜面,g=10 m/s2。(1)求在导线框上施加的恒力F以及磁感应强度的大小;(2)若导线框沿斜面向下运动通过磁场时,其速度v与位移s的关系为v=v0-B2L2mRs,其中v0是导线框ab边刚进入磁场时的速度大小,s为导线框ab边进入磁场区域后对磁场上边界的位移大小,求整个过程中导线框中产生的热量Q。答案(1)1.5 N0.50 T(2)0.45 J解析(1)由v-t图像可知,在00.4 s时间内导线框做匀加速直线运动,进入磁场时的速度为v1=2.0 m/s,所以在00.4 s时间内的加速度a=vt=5.0 m/s2由牛顿第二定律有F-mg sin -mg cos =ma解得F=1.5 N由v-t图像可知,导线框进入磁场区域后以速度v1做匀速直线运动,通过导线框的电流I=ER=BLv1R导线框所受安培力F安=BIL对于导线框匀速运动的过程,由力的平衡条件有F=mg sin +mg cos +B2L2v1R解得B=0.50 T。(2)导线框进入磁场区域后做匀速直线运动,并以速度v1匀速穿出磁场,说明导线框的宽度等于磁场的宽度H。导线框ab边离开磁场后做匀减速直线运动,到达挡板时的位移为x0=x-H=0.15 m设导线框与挡板碰撞前的速度大小为v2,由动能定理,有-mg(x-H) sin -mg(x-H) cos =12mv22-12mv12解得:v2=v12-2g(x-H)(sin+cos)=1.0 m/s导线框碰挡板后速度大小仍为v2,且mg sin =mg cos =0.50 Nab边进入磁场后做减速运动,设导线框全部离开磁场区域时的速度为v3,由v=v0-B2L2mRs得v3=v2-2B2L2HmR=-1.0 m/s因v30,说明导线框在离开磁场前速度已经减为零,这时安培力消失,导线框将静止在磁场中某位置,导线框向上运动通过磁场区域的过程中产生的焦耳热Q1=I2Rt=2B2L2Hv1R=0.40 J导线框向下运动进入磁场的过程中产生的焦耳热Q2=12mv22=0.05 J 所以Q=Q1+Q2=0.45 J。1-1如图所示,两条电阻不计的平行导轨与水平面成角,导轨的一端连接定值电阻R1,匀强磁场垂直穿过导轨平面,一根质量为m、电阻为R2的导体棒ab,垂直于导轨放置,导体棒与导轨之间的动摩擦因数为,且R2=nR1,如果导体棒以速度v匀速下滑,导体棒此时受到的安培力大小为F,则以下判断正确的是()A.电阻R1消耗的电功率为Fv/nB.重力做功的功率为mgv cos C.运动过程中减少的机械能全部转化为电能D.ab上消耗的功率为nFv/(n+1)答案D解析导体棒以速度v匀速下滑时,由E=BLv、I=ER1+R2、F=BIL得安培力F=B2L2vR1+R2,电阻R1消耗的电功率为P=I2R1=B2L2v2(R1+R2)2R1,又R2=nR1,联立解得,P=Fvn+1,故A错误;重力做功的功率为mgv sin ,B错误;导体棒克服安培力和摩擦力做功,减少的机械能转化为电能和内能,C错误;ab和R1串联,电流相等,根据P=I2R可知,ab消耗的功率等于R1消耗的功率的n倍,为nFv/(n+1),D正确;故选D。1-2电磁缓速器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置,其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度。电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论:如图1所示,将形状相同的两根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面上,斜面与水平方向夹角为。一条形磁铁滑入两铝条间,恰好以速度v0匀速下滑,穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始终保持恒定,其引起电磁感应的效果与磁铁不动、铝条相对磁铁运动相同。磁铁端面是底边为2d,高为d的长方形,由于磁铁距离铝条很近,磁铁端面正对两铝条区域的磁场均可视为匀强磁场,磁感应强度为B,铝条的高度大于d,宽度为b,电阻率为。为研究问题方便,铝条中只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场,其他部分电阻和磁场可忽略不计,假设磁铁进入铝条间以后,减少的机械能完全转化为铝条的内能,重力加速度为g。(1)求一侧铝条中与磁铁正对部分的感应电动势E;(2)求条形磁铁的质量m;(3)在其他条件不变的情况下,仅将两铝条更换为宽度为b(bb)的铝条,磁铁仍以速度v0进入铝条间,请在图2中定性画出磁铁速度v随时间t变化关系的图线(规定沿斜面向下为正方向)。图1图2答案(1)Bdv0(2)4B2d2v0bgsin(3)见解析解析(1)一侧铝条中与磁铁正对部分的感应电动势E=Bdv0(2)根据电阻定律,一侧铝条与磁铁正对部分的电阻R=d2db=2b根据欧姆定律有,铝条正对部分中的电流I=ER=2Bdv0b一侧铝条受到的安培力F安=IdB=2B2d2v0b根据牛顿第三定律有,一侧铝条对磁铁的作用力F=F安=2B2d2v0b,此力阻碍磁铁的运动,方向沿斜面向上。取磁铁为研究对象有2F-mg sin =0所以m=4B2d2v0bgsin(3)磁铁速度v随时间t变化关系的图线如图所示增分专练1.(多选)如图所示,光滑弧形金属双轨与足够长的水平光滑双轨相连,间距为L,在水平轨道空间充满竖直向上的匀强磁场,磁感应强度为B。乙金属棒静止在双轨上,而甲金属棒在h高处由静止滑下,轨道电阻不计。两棒的质量均为m,电阻均为R。甲棒与乙棒不会相碰,则下面说法正确的是()A.从开始下滑到最终稳定,甲、乙的运动方向相反B.当稳定后,回路中感应电流的方向从上向下看是逆时针的C.乙棒受到的最大磁场力为B2L22gh2RD.整个过程中,电路释放的热量为12mgh答案CD甲金属棒沿光滑轨道下滑时获得了速度,进入磁场后,切割磁感线产生感应电流,受到向左的安培力而减速,乙金属棒受到向右的安培力而加速,经一段时间,甲、乙金属棒速度达到相同,之后回路的磁通量不发生变化,感应电流为零,安培力为零,二者匀速运动,匀速运动的速度即甲、乙金属棒的最终速度,此速度是乙金属棒的最大速度,故A、B错误;甲金属棒刚滑到水平面时,有最大的速度,此时有mgh=12mv02,解得最大速度为:v0=2gh,进入磁场后甲金属棒减速,乙金属棒加速,乙棒受到的最大磁场力为Fm=BBLv02RL=B2L22gh2R,故C正确;当它们速度相等时,乙金属棒具有最大的速度,以两棒组成的系统为研究对象,取向右为正方向,根据动量守恒定律得:mv0=(m+m)v1,解得:v1=12v0=2gh2,整个过程中,电路释放的热量为Q=12mv02-122mv12=12mgh,故D正确;故选C、D。2.(多选)如图所示,足够长的U形光滑金属导轨平面与水平面成角(090),其中MN与PQ平行且间距为L,匀强磁场垂直导轨平面向上,磁感应强度为B,导轨电阻不计,质量为m的金属棒ab由静止开始沿导轨下滑,并与两导轨始终保持垂直且良好接触,ab棒接入电路的电阻为R,当金属棒ab下滑距离s时,速度大小为v,则在这一过程中()A.金属棒ab运动的平均速度大小为12vB.通过金属棒ab某一横截面的电荷量为BLsRC.金属棒ab受到的最大安培力为B2L2sRD.金属棒ab克服安培力做功为mgs sin -12mv2答案BD分析ab棒的受力情况,有mg sin -B2L2vR=ma,分析可得ab棒做加速度减小的加速运动,故其平均速度不等于初、末速度的平均值12v,故A错误;通过金属棒ab某一横截面的电荷量q=It=t1Rt=R=BLsR,故B正确;ab棒受到的最大安培力为F=BIL=B2L2vR,故C错误;根据动能定理可知,mgs sin -W安=12mv2,金属棒ab克服安培力做功为W安=mgs sin -12mv2,故D正确;故选BD。3.(多选)两根足够长的光滑导轨竖直放置,间距为L,顶端接阻值为R的电阻。质量为m、电阻为r的金属棒在距磁场上边界某处由静止释放,金属棒和导轨接触良好,导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直,如图所示,不计导轨的电阻,重力加速度为g,则()A.金属棒在磁场中运动时,流过电阻R的电流方向为abB.金属棒在磁场中运动的速度为v时,金属棒所受的安培力大小为B2L2vR+rC.金属棒的最大速度为mg(R+r)BLD.金属棒以稳定的速度下滑时,电阻R的热功率为mgBL2R答案BD金属棒在磁场中向下运动时,由右手定则知,流过电阻R的电流方向为ba,选项A错误;金属棒在磁场中运动的速度为v时,金属棒中感应电动势E=BLv,感应电流I=ER+r,所受的安培力大小为F=BIL=B2L2vR+r,选项B正确;当安培力F=mg时,金属棒下落速度最大,金属棒的最大速度为vm=mg(R+r)B2L2,选项C错误;金属棒以稳定的速度下滑时,电阻R和r的总热功率为P=mgBL2(R+r),电阻R的热功率为mgBL2R,选项D正确。4.(多选)如图甲所示,左侧接有定值电阻R=3 的水平粗糙导轨处于竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度B=2 T,导轨间距为L=1 m。一质量m=2 kg、接入电路的阻值r=1 的金属棒在拉力F作用下由静止开始从CD处沿导轨向右加速运动,金属棒与导轨垂直且接触良好,金属棒与导轨间的动摩擦因数=0.5,g=10 m/s2,金属棒的v-x图像如图乙所示,则从起点开始发生x=1 m位移的过程中()A.拉力做的功为16 JB.通过电阻R的电荷量为0.25 CC.定值电阻R产生的焦耳热为0.75 JD.所用的时间t一定大于1 s答案CD由速度-位移图像得v=kx,其中k=2 s-1,金属棒所受的安培力F安=B2L2vR+r=B2L2kxR+r,代入得:F安=2x(N),则知F安与x成线性关系。当x=0时,安培力F安1=0;当x=1 m时,安培力F安2=2 N,则从起点开始发生x=1 m位移的过程中,安培力做功为W安=-F安x=-F安1+F安22x=-0+221 J=-1 J根据动能定理得W-mgx+W安=12mv2,其中v=2 m/s,=0.5,m=2 kg,代入解得,拉力做的功W=15 J,故A错误;通过电阻R的电荷量q=R+r=BLxR+r=2114 C=0.5 C,故B错误;根据能量守恒得整个电路产生的焦耳热等于克服安培力做功,故Q=1 J,则电阻R上产生的热量QR=RR+rQ=34Q=0.75 J,选项C正确;v-x图像的斜率k=vx=vttx=av,得a=kv=2v,则知速度增大,金属棒的加速度也随之增大,v-t图像的斜率增大,金属棒做加速度增大的变加速运动,在相同时间内,达到相同速度时通过的位移小于匀加速运动的位移,平均速度小于匀加速运动的平均速度,即v11 s=1 s,故D正确。5.如图所示,PM、QN是两根14光滑圆弧导轨,圆弧半径为d、间距为L,最低点M、N在同一水平高度,导轨电阻不计,在其上端连有一阻值为R的电阻,整个装置处于竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度大小为B。现有一根长度稍大于L、质量为m、阻值为R的金属棒,从导轨的顶端PQ处由静止开始下滑,到达底端MN时对导轨的压力为2mg,求:(1)金属棒到达导轨底端MN时电阻R两端的电压;(2)金属棒从导轨顶端PQ下滑到底端MN过程中,电阻R产生的热量;(3)金属棒从导轨顶端PQ下滑到底端MN过程中,通过电阻R的电荷量。答案(1)12BLgd(2)mgd4(3)BLd2R解析(1)在导轨的底端MN处,金属棒对导轨的压力FN=2mg,轨道对金属棒的支持力大小为FN=FN=2mg,则有FN-mg=mv2d解得v=gd金属棒切割磁感线产生的感应电动势E=BLv金属棒到达底端时电阻两端的电压U=E2=12BLgd(2)金属棒下滑过程中,由能量守恒定律得mgd=Q+12mv2解得Q=12mgd电阻R上产生的热量QR=12Q=mgd4(3)由q=ItI=E2RE=t=BLdt联立解得q=BLd2R6.如图甲所示,绝缘水平面上有一间距L=1 m的金属“U”形导轨,导轨右侧接一R=3 的电阻。在“U”形导轨中间虚线范围内存在垂直导轨向下的匀强磁场,磁场的宽度d=1 m,磁感应强度B=0.5 T。现有一质量为m=0.1 kg,电阻r=2 、长为L=1 m的导体棒MN以一定的初速度从导轨的左端开始向右运动,穿过磁场的过程中,线圈中的感应电流i随时间t变化的图像如图乙所示。已知导体棒与导轨之间的动摩擦因数=0.3,导轨电阻不计,则导体棒MN穿过磁场的过程中,求:(1)MN刚进入磁场时的速度大小;(2)电阻R产生的焦耳热;(3)导体棒通过磁场的时间。答案(1)5 m/s(2)0.3 J(3)0.5 s解析(1)MN刚进入磁场时,根据闭合电路欧姆定律得i0=ER(1分)根据法拉第电磁感应定律得E=BLv0(1分)联立解得v0=i0(R+r)BL=5 m/s(1分)(2)导体棒通过磁场过程,由动能定理得-mgd-W安=12mv2-12mv02(1分)而v=i1(R+r)BL=3 m/s(1分)QR=RR+rW安(1分)联立解得:QR=0.3 J(1分)(3)导体棒通过磁场过程,由动量定理得-mgt-BILt=mv-mv0(1分)I-t=BLdR+r(1分)联立解得t=0.5 s(1分)7.间距为L=2 m的足够长的金属直角导轨如图所示放置,它们各有一边在同一水平面内,另一边垂直于水平面。质量均为m=0.1 kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直放置形成闭合回路。细杆与导轨之间的动摩擦因数均为=0.5,导轨的电阻不计,细杆ab、cd的电阻分别为R1=0.6 ,R2=0.4 。整个装置处于磁感应强度大小为B=0.50 T、方向竖直向上的匀强磁场中(图中未画出)。当ab杆水平在平行于水平导轨的拉力F作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时,cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动,且t=0时,F=1.5 N。g=10 m/s2。(1)求ab杆的加速度a。(2)求当cd杆达到最大速度时ab杆的速度大小。(3)若从t=0到cd杆达到最大速度的过程中拉力F做的功为5.2 J,求该过程中ab杆所产生的焦耳热。答案(1)10 m/s2(2)2 m/s(3)2.94 J解析(1)由题意可知,在t=0时,F=1.5 N对ab杆进行受力分析,由牛顿第二定律得F-mg=ma代入数据解得a=10 m/s2。(2)从d向c看,对cd杆进行受力分析,如图所示,当cd杆速度最大时,ab杆的速度大小为v,有Ff=mg=FN,FN=F安,F安=BIL,I=BLvR1+R2联立以上各式,解得v=2 m/s(3)整个过程中,ab杆发生的位移x=v22a=22210 m=0.2 m对ab杆应用动能定理,有WF-mgx-W安=12mv2代入数据解得W安=4.9 J根据功能关系得Q总=W安所以ab杆上产生的热量Qab=R1R1+R2Q总=2.94 J。8.如图所示,MN、PQ为光滑平行的水平金属导轨,电阻R=3.0 ,置于竖直向下的有界匀强磁场中,OO为磁场边界,磁感应强度B=1.0 T,导轨间距L=1.0 m,质量m=1.0 kg的导体棒垂直置于导轨上且与导轨接触良好,导体棒接入电路的电阻为r=1.0 。t=0时刻,导体棒在水平拉力F0作用下从OO左侧某处由静止开始以加速度a0=1.0 m/s2做匀加速运动,t0=2.0 s时刻进入磁场继续运动,导体棒始终与导轨垂直。(1)求0t0时间内导体棒受到拉力的大小F0及t0时刻进入磁场时回路的电功率P0;(2)求导体棒t0时刻进入磁场瞬间的加速度a;若此后导体棒在磁场中以加速度a做匀加速运动至t1=4.0 s时刻,求t0t1时间内通过电阻R的电荷量q;(3)在(2)情况下,已知t0t1时间内拉力做功W=5.7 J,求此过程回路中产生的焦耳热Q。答案(1)1.0 N1.0 W(2)0.5 m/s21.25 C(3)3.2 J解析(1)由导体棒在进入磁场前运动的加速度a0,可得F0=ma0=1.0 N导体棒在t0时刻速度v0=a0t0=2 m/s导体棒在t0时刻产生的电动势E=BLv0电功率P0=E2R+r=(BLv0)2R+r=1.0 W。(2)回路在t0时刻产生的感应电流I=ER+r导体棒在t0时刻受到的安培力F安=BIL根据牛顿第二定律有F0-F安=ma代入数据解得a=0.5 m/s2导体棒在t0t1时间内的位移x=v0(t1-t0)+12a(t1-t0)2=5 m则在t0t1时间内通过导体棒的电荷量q=R+r=BSR+r=BLxR+r=1.25 C。(3)t1时刻导体棒的速度v=v0+a(t1-t0)由动能定理有W+W安=12mv2-12mv02Q=-W安=W-12m(v2-v02)=3.2 J。9.如图,足够长的金属导轨MN、PQ平行放置,间距为L,与水平面成角,导轨与定值电阻R1和R2相连,且R1=R2=R,R1支路串联开关S,原来S闭合。匀强磁场垂直导轨平面向上,有一质量为m、有效电阻也为R的导体棒ab与导轨垂直放置,它与导轨始终接触良好,受到的摩擦力为Ff=14mg sin 。现将导体棒ab从静止释放,沿导轨下滑,当导体棒运动达到稳定状态时速率为v,已知重力加速度为g,导轨电阻不计,求:(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小;(2)如果导体棒ab从静止释放沿导轨下滑x距离后达到稳定状态,这一过程回路中产生的电热是多少?(3)导体棒ab达到稳定状态后,断开开关S,将做怎样的运动?若从这时开始导体棒ab下滑一段距离后,通过导体棒ab横截面的电荷量为q,求这段距离是多少?答案(1)32LmgRsin2v(2)34mgx sin -12mv2(3)4q32vRmgsin解析(1)回路中的总电阻为R总=32R当导体棒ab以速度v匀速下滑时棒中的感应电动势为E=BLv此时棒中的感应电流为I=ER总mg sin =BIL+Ff解得B=32LmgRsin2v(2)导体棒ab减少的重力势能等于增加的动能、回路中产生的焦耳热以及克服摩擦力做功的和,故有mg sin x=12mv2+Q+Ffx解得Q=34mg sin x-12mv2(3)S断开后,导体棒先做加速度减小的加速运动,最后做匀速直线运动回路中的总电阻为:R总=2R设这一过程经历的时间为t,这一过程回路中的平均感应电动势为E,通过导体棒ab的平均感应电流为I,导体棒ab下滑的距离为s,则E=t=BLst,I=ER总=BLs2Rt得q=It=BLs2R解得s=4q32vRmgsin10.两平行且电阻不计的金属导轨相距L=1 m,金属导轨由水平和倾斜两部分(均足够长)良好对接,倾斜部分与水平方向的夹角为37,整个装置处在竖直向上、磁感应强度B=2 T的匀强磁场中。长度也为1 m的金属棒ab和cd垂直导轨跨搁,且与导轨良好接触,质量均为0.2 kg,电阻分别为R1=2 ,R2=4 。ab置于导轨的水平部分,与导轨的动摩擦因数为=0.5,cd置于导轨的倾斜部分,导轨倾斜部分光滑。从t=0时刻起,ab棒在水平且垂直于ab棒的外力F1的作用下由静止开始向右做匀加速直线运动,金属棒cd在力F2的作用下保持静止,F2平行于倾斜导轨平面且垂直于金属杆cd。当t1=4 s时,ab棒消耗的电功率为2.88 W。已知sin 37=0.6,cos 37=0.8,重力加速度g=10 m/s2。求:(1)ab棒做匀加速直线运动的加速度大小;(2)求t2=8 s时作用在cd棒上的力F2的大小;(3)改变F1的作用规律,使ab棒运动的位移x与速度v满足x=2v(m),要求cd仍然要保持静止状态。求ab棒从静止开始运动x=4 m的过程中,作用在ab棒上的力F1所做的功(结果可用分数表示)。答案(1)0.9 m/s2(2)2.64 N(3)10615 J解析(1)当t1=4 s时,ab消耗的电功率为2.88 W,有Pab=I12R1代入数据解得I1=1.2 A回路中的电动势E1=I1(R1+R2)由法拉第电磁感应定律知E1=BLv1导体棒ab做匀加速直线运动,v1=at1由得,a=0.9 m/s2(2)当t2=8 s时,导体棒ab的速度v2=at2回路中的电流I2=E2R1+R2=BLv2R1+R2=2.4 A导体棒cd所受安培力F2安=BI2L=4.8 N设导体棒cd所受的力F2沿斜面向下,有F2+mg sin =F2安 cos 由得F2=2.64 N,故假设成立,所以F2的方向沿斜面向下。(3)设ab棒的速度为v时,回路中的电流为I=ER1+R2=BLvR1+R2此时金属棒ab所受安培力大小为F安=BIL由题意知ab棒运动的位移x与速度v的关系:x=2v(m)联立,并代入数据得F安=x3(N)ab棒从静止开始运动x=4 m的过程中,克服安培力所做的功为W克安=F安x=0+x32x J=83 J对金属棒ab,由动能定理有:W拉-W克安-mgx=12mv2由得W拉=10615 J
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