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高考达标检测（三十六） 直线、圆的位置关系命题3角度判位置、求切线、解弦长一、选择题1已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切B相交C外切 D相离解析：选B由题知圆M的标准方程为x2(ya)2a2(a0)，圆心(0，a)到直线xy0的距离d，所以22，解得a2.圆M，圆N的圆心距|MN|，两圆半径之差为1，半径之和为3，故两圆相交2若直线l：ykx1(k0)与圆C：x24xy22y30相切，则直线l与圆D：(x2)2y23的位置关系是()A相交 B相切C相离 D不确定解析：选A因为圆C的标准方程为(x2)2(y1)22，所以其圆心坐标为(2,1)，半径为，因为直线l与圆C相切所以，解得k1，因为k0，所以k1，所以直线l的方程为xy10.圆心D(2,0)到直线l的距离d，所以直线l与圆D相交3过点(2,0)且倾斜角为的直线l与圆x2y25相交于M，N两点，则线段MN的长为()A2 B3C2 D6解析：选C由题意知，直线l的方程为xy20，圆心(0,0)到直线l的距离d，则弦长|MN|22.4已知点P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A4 B3C2 D.解析：选C圆C的方程可化为x2(y1)21，因为四边形PACB的最小面积是2，则此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kxy40的距离为，即，解得k2，又k0，所以k2.5已知圆C1：x2y24ax4a240和圆C2：x2y22byb210只有一条公切线，若a，bR且ab0，则的最小值为()A2 B4C8 D9解析：选D圆C1的标准方程为(x2a)2y24，其圆心为(2a,0)，半径为2；圆C2的标准方程为x2(yb)21，其圆心为(0，b)，半径为1.因为圆C1和圆C2只有一条公切线，所以圆C1与圆C2相内切，所以 21，得4a2b21，所以(4a2b2)5529，当且仅当，且4a2b21，即a2，b2时等号成立，所以的最小值为9.6过点(2,3)的直线l与圆C：x2y22x4y0相交于A，B两点，则|AB|取得最小值时直线l的方程为()Axy50 Bxy10Cxy50 D2xy10解析：选A由题意得圆的标准方程为(x1)2(y2)25，则圆心C(1,2)过圆心与点(2,3)的直线l1的斜率为k1.当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y3x(2)，即xy50.7已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，则当AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为()A150 B135C120 D105解析：选A由y，得x2y22(y0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的上半圆，如图所示SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB，当AOB90时，SAOB取得最大值此时，|OC|1，则OPC30，故直线l的倾斜角为150.8(2018揭阳一模)已知直线xyk0(k0)与圆x2y24交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且|，则k的取值范围是()A(，) B，2)C，) D，2)解析：选B由已知得圆心到直线的距离小于半径，即2，又k0，故0k2.如图，作平行四边形OACB，连接OC交AB于M，由| |得| |，即MBO，因为|OB|2，所以|OM|1，故1，k .综合得，k2.二、填空题9已知圆C：x2y24，过点A(2,3)作圆C的切线，切点分别为P，Q，则直线PQ的方程为_解析：由题意知，圆心C(0,0)，以CA为直径的圆的方程为x(x2)y(y3)0，即x2y22x3y0，与圆C：x2y24相减得2x3y40，所以直线PQ的方程为2x3y40.答案：2x3y4010(2018昆明两区七校调研)已知圆C：(x3)2(y5)25，直线l过圆心且交圆C于A，B两点，交y轴于P点，若2，则直线l的斜率k_.解析：依题意得，点A是线段PB的中点，则|PA|AB|2，所以|PC|3.过圆心C(3,5)作y轴的垂线，垂足为C1，则|CC1|3，|PC1|6.记直线l的倾斜角为，则有|tan |2，即k2.答案：2或211过点M(1,2)的直线l与圆C：(x3)2(y4)225交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程是_解析：由题意知，当ACB最小时，圆心C(3,4)到直线l的距离达到最大，此时直线l与直线CM垂直，又直线CM的斜率为1，所以直线l的斜率为1，因此所求的直线l的方程是y2(x1)，即xy30.答案：xy3012(2017江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2y250上若20，则点P的横坐标的取值范围是_解析：设P(x，y)，则(12x，y)(x，6y)x(x12)y(y6)20.又x2y250，所以2xy50，所以点P在直线2xy50的上方(包括直线上)又点P在圆x2y250上，由解得x5或x1，结合图象，可得5x1，故点P的横坐标的取值范围是5，1答案：5，1三、解答题13.如图，已知圆C与y轴相切于点T(0,2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一直线与圆O：x2y24相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kANkBN为定值解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m0)，则圆C的半径为m，又|MN|3，所以m2222，解得m，所以圆C的方程为22.(2)证明：由(1)知M(1,0)，N(4,0)，当直线AB的斜率为0时，易知kANkBN0，即kANkBN0.当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x1ty，将x1ty代入x2y240，整理得(t21)y22ty30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以则kANkBN0.综上可知，kANkBN为定值14.(2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围解：圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0)因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，圆N的半径为y0，从而7y05y0，解得y01.因此，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线lOA，所以直线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，则圆心M到直线l的距离d.因为BCOA2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)因为A(2,4)，T(t,0)，所以因为点Q在圆M上，所以(x26)2(y27)225.将代入，得(x1t4)2(y13)225.于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆x(t4)2(y3)225上，从而圆(x6)2(y7)225与圆x(t4)2(y3)225有公共点，所以55 55，解得22t22.因此，实数t的取值范围是22，22 1已知点P在圆x2y24x4y70上，点Q在直线ykx上，若|PQ|的最小值为21，则k()A1 B1C0 D2解析：选B把圆的方程化为标准方程为(x2)2(y2)21, 圆心坐标为(2,2)，半径r1.圆心到直线ykx的距离d，|PQ|的最小值为21，dr121，即2， 整理得k22k10，即(k1)20, 则k1.2已知直线l：xmy1m0(mR)，圆C：x2y24x2y40.(1)证明：对任意mR，直线l与圆C恒有两个公共点； (2)过圆心C作CMl于点M，当m变化时，求点M的轨迹的方程；(3)直线l：xmy1m0与点M的轨迹交于点M，N，与圆C交于点A，B，是否存在m的值，使得？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：法一：圆心C的坐标为(2,1)，半径为3，圆心C到直线l距离d，d2990，d29，即d3，直线l与圆C恒有两个公共点法二：将圆x2y24x2y40化成标准方程为(x2)2(y1)29.由xmy1m0，可得x1m(y1)0.由解x1，y1，所以直线l过定点(1，1)因为定点(1，1)在圆C内，所以直线l与圆C恒有两个公共点(2)设定点P(1，1)，CP的中点为D，由于CMP90，|DM|CP|，点M的轨迹是以D为圆心，|CP|为直径的圆 又CP的中点D的坐标为，|CP|.点M的轨迹的方程为2y2，(3)假设存在m的值，使得.如图所示，点N即为定点P(1，1)，因为，故，即，又|MB|29d2，|MN|25d2，其中d为C到直线l的距离所以9d24(5d2)，化简得m212m80.解得m62.所以存在m，使得，且m62.
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