资源描述
1.2一般形式的柯西不等式学习目标1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程.3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题知识点一三维形式的柯西不等式思考1类比平面向量，在空间向量中，如何用|推导三维形式的柯西不等式？答案设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则|，|.|，|a1b1a2b2a3b3|，(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.思考2三维形式的柯西不等式中，等号成立的条件是什么？答案当且仅当，共线时，即0或存在实数k，使a1kb1，a2kb2，a3kb3时，等号成立梳理三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时，等号成立知识点二一般形式的柯西不等式1一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是两组实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2.2柯西不等式等号成立的条件当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个实数k，使得aikbi(i1,2，n)时等号成立当向量(a1，a2，an)与向量(b1，b2，bn)共线时，等号成立.类型一利用柯西不等式证明不等式命题角度1三维形式的柯西不等式的应用例1设a，b，c为正数，且不全相等求证：.证明构造两组数，；，则由柯西不等式，得(abbcca)(111)2，即2(abc)9，于是.由柯西不等式知，中等号成立abbccaabc.因为题设中a，b，c不全相等，故中等号不成立，于是.反思与感悟有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过：(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项跟踪训练1已知a，b，cR，求证：9.证明由柯西不等式知，左边2(111)29，原不等式成立命题角度2一般形式的柯西不等式的应用例2设a1，a2，an为正整数，求证：a1a2an.证明由柯西不等式，得(a2a3a1)2(a1a2an)2，故a1a2an.反思与感悟一般形式的柯西不等式看着往往感觉比较复杂，这时一定要注意式子的结构特征，一边一定要出现“方、和、积”的形式跟踪训练2已知a1，a2，anR，且a1a2an1，求证：.证明2(a1a2)(a2a3)(ana1)2(a1a2an)21，.类型二利用柯西不等式求函数的最值例3(1)若实数x，y，z满足x2y3za(a为常数)，则x2y2z2的最小值为_答案解析(122232)(x2y2z2)(x2y3z)2a2，当且仅当时取等号，即14(x2y2z2)a2，x2y2z2，即x2y2z2的最小值为.(2)已知x，y，zR，且xyz1.求的最小值；解xyz1，(xyz)2(123)236.当且仅当x，即x，y，z时取等号的最小值为36.反思与感悟利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要注意等号成立的条件跟踪训练3已知a0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值解(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc，又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式，得(491)2(abc)216，即a2b2c2，当且仅当，即a，b，c时等号成立，故a2b2c2的最小值为.1已知x，y，zR且xyz2，则2的最大值为()A2B2C4D5答案C解析(2)2(12)21222()2()2()2()28(xyz)16(当且仅当xyz时取等号)，24.2若a，b，cR，且1，则a2b3c的最小值为()A9B3C.D6答案A解析由柯西不等式，得a2b3c(a2b3c)(111)29，a2b3c的最小值为9.3设a，b，c，d均为正实数，则(abcd)的最小值为_答案16解析(abcd)()2()2()2()22(1111)24216，当且仅当abcd时取等号4已知正数x，y，z满足xyz1，求证：.证明因为x0，y0，z0，所以由柯西不等式得()2()2()2(xyz)2，当且仅当，即xyz时，等号成立，所以.1柯西不等式的一般结构为(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，在利用柯西不等式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件正确解题2要求axbyz的最大值，利用柯西不等式(axbyz)2(a2b212)(x2y2z2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧对于许多不等式问题，用柯西不等式来解往往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它一、选择题1已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值是()A1B2C3D4答案A解析(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111，当且仅当1时取等号a1x1a2x2anxn的最大值是1.2已知a2b2c2d25，则abbccdad的最小值为()A5B5C25D25答案B解析(abbccdda)2(a2b2c2d2)(b2c2d2a2)25，当且仅当abcd时，等号成立abbccdad的最小值为5.3设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则等于()A.B.C.D.答案C解析由柯西不等式，得(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2400，当且仅当时取等号，因此有.4已知a，b，c0，且abc1，则的最大值为()A3B3C18D9答案B解析由柯西不等式，得()2(111)(3a13b13c1)33(abc)3abc1，()23618，3，当且仅当abc时等号成立5设a，b，c0，且abc1，则的最大值是()A1B.C3D9答案B6已知x，y是实数，则x2y2(1xy)2的最小值是()A.B.C6D3答案B解析(121212)x2y2(1xy)2xy(1xy)21，x2y2(1xy)2，当且仅当xy时等号成立二、填空题7设a，b，cR，若(abc)25恒成立，则正数k的最小值是_答案9解析因为(abc)(11)2(2)2，当且仅当ab时，等号成立，所以(abc)的最小值是(2)2.由(abc)25恒成立，得(2)225.又k0，所以k9，所以正数k的最小值是9.8设a，b，c为正数，则(abc)的最小值是_答案121解析(abc)()2()2()22(236)2121.当且仅当k(k为正实数)时，等号成立9已知a，b，cR且abc6，则的最大值为_答案4解析由柯西不等式，得()2(111)2(121212)(2a2b12c3)3(264)48.当且仅当，即2a2b12c3时等号成立又abc6，当a，b，c时，取得最大值4.10设x，y，zR,2x2yz80，则(x1)2(y2)2(z3)2的最小值为_答案9解析(222212)(x1)2(y2)2(z3)22(x1)2(y2)(z3)2(2x2yz1)281，(x1)2(y2)2(z3)29.当且仅当时取等号三、解答题11在ABC中，设其各边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2b2c2)36R2.证明2R，(a2b2c2)236R2.原不等式成立12已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a，又正数p，q，r满足pqra，求证：p2q2r23.证明因为f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3，即函数f(x)|x1|x2|的最小值为a3，所以pqr3.由柯西不等式，得(p2q2r2)(111)(pqr)29，于是p2q2r23.13(2018江苏)若x，y，z为实数，且x2y2z6，求x2y2z2的最小值解由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2.因为x2y2z6，所以x2y2z24，当且仅当时，不等式取等号，此时x，y，z，所以x2y2z2的最小值为4.四、探究与拓展14已知x，y，zR，且xyz1.(1)若2x23y26z21，求x，y，z的值；(2)若2x23y2tz21恒成立，求正数t的取值范围解(1)(2x23y26z2)(xyz)21，当且仅当时，等号成立，2x3y6z.又xyz1，x，y，z.(2)(2x23y2tz2)(xyz)21，当且仅当时，等号成立，(2x23y2tz2)min.2x23y2tz21恒成立，1.又t0，t6.
展开阅读全文