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高考达标检测(二十八) 基本不等式一、选择题1“a0,b0”是“ab0,b0时,2ab,所以当ab时,“ab2”不成立,当“ab0,b0”不一定成立,故“a0,b0”是“ab0,b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4,则 的最小值为()A. B.C. D.2解析:选A因为直线axby20被圆x2y22x4y10截得的弦长为4,圆的圆心为(1,2),半径为2,所以直线axby20过圆心(1,2),则有a2b2,所以 (a2b),当且仅当时,等号成立故的最小值为.4(2018开封摸底考试)已知x0,y0,x2y2xy8,则x2y的最小值是()A3 B4C. D.解析:选B由题意得x2y8x2y82,当且仅当x2y时,等号成立,整理得(x2y)24(x2y)320,即(x2y4)(x2y8)0,又x2y0,所以x2y4,所以x2y的最小值为4.5设x0,y0且x4y40,则lg xlg y的最大值是()A40 B10C4 D2解析:选Dx0,y0且x4y40,402,即xy100,当且仅当x4y20时取等号则lg xlg ylg(xy)lg 1002,因此其最大值是2.6不等式x22x对任意a,b(0,)恒成立,则实数x的取值范围是()A(2,0) B(,2)(0,)C(4,2) D(,4)(2,)解析:选C不等式x22x对任意a,b(0,)恒成立,等价于x22xmin,由于2 8(当且仅当a4b时等号成立),x22x8,解得4x1,b2,则22 2,当且仅当,即ab3时,等号成立,故的最小值为2.8(2018洛阳统考)若正实数x,y,z满足x24y2z3xy,则当取最大值时,的最大值为()A2 B.C1 D.解析:选Dzx24y23xy,x,y,z(0,),1(当且仅当x2y时等号成立),此时,令t0,则tt2(t1)2(当且仅当t1时等号成立)二、填空题9已知a0,b0,圆C:(x2)2(y1)25关于直线axby10对称,则的最小值为_解析:由a0,b0,圆C:(x2)2(y1)25关于直线axby10对称,可得2ab10,所以(2ab)72 747,当且仅当且2ab10,即a2,b23时取等号故的最小值为74.答案:7410(2018湖南长郡中学月考)设正项等差数列an的前n项和为Sn,若S2 0174 034,则的最小值为_解析:由等差数列的前n项和公式,得S2 0174 034,则a1a2 0174.由等差数列的性质得a9a2 0094,所以104,当且仅当a2 0093a9时等号成立故的最小值为4.答案:411.如图,动点A在函数y(x0)的图象上,过点A,B分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为A1,A2,B1,B2,若|A1B1|4,则|A2B2|的最小值为_解析:设A,B,a0,因为|A1B1|4,所以ba4,故|A2B2|(32),当且仅当b22a2,即a44,b84时,|A2B2|取得最小值.答案:12(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是_解析:由题意,一年购买次,则总运费与总存储费用之和为64x48240,当且仅当x30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.答案:30三、解答题13已知x0,y0,且x8yxy0.(1)当x,y分别为何值时,xy取得最小值?(2)当x,y分别为何值时,xy取得最小值?解:(1)x0,y0,且x8yxy0,xyx8y4,当且仅当x8y,即x16,y2时取等号,xy32.xy的最小值为32.(2)x8yxy0,1,xy(xy)994,当且仅当,即y12,x82时取等号因此xy的最小值为94.14某工地决定建造一批房型为长方体、房高为2.5 m的简易房,房的前后墙用2.5 m高的彩色钢板,两侧墙用2.5 m高的复合钢板两种钢板的价格都用长度来计算(即:钢板的高均为2.5m用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)已知彩色钢板每米单价为450元复合钢板每米单价为200元,房的地面不需另买材料,房顶用其他材料建造,每平方米材料费200元,每套房的材料费控制在32 000元以内(1)设房前面墙的长为x(m),两侧墙的长为y(m),建造一套房所需材料费为P(元),试用x,y表示P;(2)试求一套简易房面积S的最大值是多少?当S最大时,前面墙的长度应设计为多少米?解:(1)依题得,P2x4502y200xy200900x400y200xy,即P900x400y200xy.(2)Sxy,P900x400y200xy2200S200S1 200,又因为P32 000,所以200S1 20032 000,解得010,0S100,当且仅当即x时,S取得最大值答:每套简易房面积S的最大值是100 m2,当S最大时前面墙的长度是 m.1若正实数x,y满足(2xy1)2(5y2)(y2),则x的最大值为()A1 B1C1 D1解析:选A由(2xy1)2(5y2)(y2),可得(2xy1)29y2(2y2)2,即(2xy1)2(2y2)29y2,所以229.因为22,当且仅当2x2时等号成立所以218,所以2x32,即x.所以x的最大值为1.2若两个正实数x,y满足1,且不等式xm23m有解,则实数m的取值范围是()A(1,4) B(,1)(4,)C(4,1) D(,0)(3,)解析:选B不等式xyz,且(nN)恒成立,则n的最大值为_解析:因为xyz,所以xy0,yz0,xz0,不等式恒成立等价于n(xz)恒成立因为xz(xy)(yz)2,2,所以(xz)224(当且仅当xyyz时等号成立),则要使n(xz)恒成立,只需使n4(nN),故n的最大值为4.答案:4
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