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高考达标检测（二十八） 基本不等式一、选择题1“a0，b0”是“ab0，b0时，2ab，所以当ab时，“ab2”不成立，当“ab0，b0”不一定成立，故“a0，b0”是“ab0，b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则 的最小值为()A. B.C. D.2解析：选A因为直线axby20被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，圆的圆心为(1,2)，半径为2，所以直线axby20过圆心(1,2)，则有a2b2，所以 (a2b)，当且仅当时，等号成立故的最小值为.4(2018开封摸底考试)已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4C. D.解析：选B由题意得x2y8x2y82，当且仅当x2y时，等号成立，整理得(x2y)24(x2y)320，即(x2y4)(x2y8)0，又x2y0，所以x2y4，所以x2y的最小值为4.5设x0，y0且x4y40，则lg xlg y的最大值是()A40 B10C4 D2解析：选Dx0，y0且x4y40，402，即xy100，当且仅当x4y20时取等号则lg xlg ylg(xy)lg 1002，因此其最大值是2.6不等式x22x对任意a，b(0，)恒成立，则实数x的取值范围是()A(2,0) B(，2)(0，)C(4,2) D(，4)(2，)解析：选C不等式x22x对任意a，b(0，)恒成立，等价于x22xmin，由于2 8(当且仅当a4b时等号成立)，x22x8，解得4x1，b2，则22 2，当且仅当，即ab3时，等号成立，故的最小值为2.8(2018洛阳统考)若正实数x，y，z满足x24y2z3xy，则当取最大值时，的最大值为()A2 B.C1 D.解析：选Dzx24y23xy，x，y，z(0，)，1(当且仅当x2y时等号成立)，此时，令t0，则tt2(t1)2(当且仅当t1时等号成立)二、填空题9已知a0，b0，圆C：(x2)2(y1)25关于直线axby10对称，则的最小值为_解析：由a0，b0，圆C：(x2)2(y1)25关于直线axby10对称，可得2ab10，所以(2ab)72 747，当且仅当且2ab10，即a2，b23时取等号故的最小值为74.答案：7410(2018湖南长郡中学月考)设正项等差数列an的前n项和为Sn，若S2 0174 034，则的最小值为_解析：由等差数列的前n项和公式，得S2 0174 034，则a1a2 0174.由等差数列的性质得a9a2 0094，所以104，当且仅当a2 0093a9时等号成立故的最小值为4.答案：411.如图，动点A在函数y(x0)的图象上，过点A，B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A1，A2，B1，B2，若|A1B1|4，则|A2B2|的最小值为_解析：设A，B，a0，因为|A1B1|4，所以ba4，故|A2B2|(32)，当且仅当b22a2，即a44，b84时，|A2B2|取得最小值.答案：12(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_解析：由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为64x48240，当且仅当x30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.答案：30三、解答题13已知x0，y0，且x8yxy0.(1)当x，y分别为何值时，xy取得最小值？(2)当x，y分别为何值时，xy取得最小值？解：(1)x0，y0，且x8yxy0，xyx8y4，当且仅当x8y，即x16，y2时取等号，xy32.xy的最小值为32.(2)x8yxy0，1，xy(xy)994，当且仅当，即y12，x82时取等号因此xy的最小值为94.14某工地决定建造一批房型为长方体、房高为2.5 m的简易房，房的前后墙用2.5 m高的彩色钢板，两侧墙用2.5 m高的复合钢板两种钢板的价格都用长度来计算(即：钢板的高均为2.5m用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)已知彩色钢板每米单价为450元复合钢板每米单价为200元，房的地面不需另买材料，房顶用其他材料建造，每平方米材料费200元，每套房的材料费控制在32 000元以内(1)设房前面墙的长为x(m)，两侧墙的长为y(m)，建造一套房所需材料费为P(元)，试用x，y表示P；(2)试求一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？解：(1)依题得，P2x4502y200xy200900x400y200xy，即P900x400y200xy.(2)Sxy，P900x400y200xy2200S200S1 200，又因为P32 000，所以200S1 20032 000，解得010，0S100，当且仅当即x时，S取得最大值答：每套简易房面积S的最大值是100 m2，当S最大时前面墙的长度是 m.1若正实数x，y满足(2xy1)2(5y2)(y2)，则x的最大值为()A1 B1C1 D1解析：选A由(2xy1)2(5y2)(y2)，可得(2xy1)29y2(2y2)2，即(2xy1)2(2y2)29y2，所以229.因为22，当且仅当2x2时等号成立所以218，所以2x32，即x.所以x的最大值为1.2若两个正实数x，y满足1，且不等式xm23m有解，则实数m的取值范围是()A(1,4) B(，1)(4，)C(4,1) D(，0)(3，)解析：选B不等式xyz，且(nN)恒成立，则n的最大值为_解析：因为xyz，所以xy0，yz0，xz0，不等式恒成立等价于n(xz)恒成立因为xz(xy)(yz)2，2，所以(xz)224(当且仅当xyyz时等号成立)，则要使n(xz)恒成立，只需使n4(nN)，故n的最大值为4.答案：4
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