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课时跟踪检测（十） 抛物线及其标准方程层级一学业水平达标1抛物线y12x2上的点到焦点的距离的最小值为()A3 B6C D解析：选C将方程化为标准形式是x2y，因为2p，所以p故到焦点的距离最小值为2已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为()A B1C2 D4解析：选C抛物线y22px的准线x与圆(x3)2y216相切，1，即p23已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|()A BC3 D2解析：选C过点Q作QQl交l于点Q，因为4，所以|PQ|PF|34，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|QQ|3故选C4设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为()A抛物线 B双曲线C椭圆 D圆解析：选A由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线5已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析：选D双曲线的渐近线方程为yx，由于 2，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx抛物线的焦点坐标为，所以2，所以p8，所以抛物线方程为x216y6抛物线xy2的焦点坐标是_解析：方程改写成y24mx，得2p4m，p2m，即焦点(m,0)答案：(m,0)7若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_解析：设点M的横坐标为x，则点M到准线x1的距离为x1，由抛物线的定义知x110，x9，点M到y轴的距离为9.答案：98对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)其中满足抛物线方程为y210x的是_(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y210x的焦点在x轴上，满足，不满足；设M(1，y0)是y210x上一点，则|MF|116，所以不满足；由于抛物线y210x的焦点为，过该焦点的直线方程为yk，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k2，此时存在，所以满足答案：9已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x22py(p0)，则焦点F，准线l：y，作MNl，垂足为N，则|MN|MF|5，而|MN|3，35，即p4所以抛物线方程为x28y，准线方程为y2由m28(3)24，得m2法二：设所求抛物线方程为x22py(p0)，则焦点为FM(m，3)在抛物线上，且|MF|5，故解得抛物线方程为x28y，m2，准线方程为y210如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有05米(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到01米)?解：如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x25y(2)设车辆高为h，则|DB|h05，故D(35，h65)，代入方程x25y，解得h405，所以车辆通过隧道的限制高度为40米层级二应试能力达标1过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为()A圆B椭圆C直线 D抛物线解析：选D设P为满足条件的点，则点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，所以点P的轨迹为抛物线故选D2抛物线y24x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当FPM为等边三角形时，其面积为()A2 B4C6 D4解析：选D如图，FPM是等边三角形由抛物线的定义知PMl在RtMQF中，|QF|2，QMF30，|MF|4，SPMF424故选D3已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为()ABC1D2解析：选D设AB的中点为M，焦点为F(0,1)过M作准线l：y1的垂线MN，过A作ACl于C，过B作BDl于D，则|MN|3，所以AB中点到x轴的最短距离为312，此时动弦AB过焦点，故选D4设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28x Cy24x或y216x Dy22x或y216x解析：选C由已知得抛物线的焦点F，设点A(0，2)，抛物线上点M(x0，y0)，则，由已知得，0，即y8y0160，因而y04，M由|MF|5得， 5，又p0，解得p2或p8，故选C5设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|_解析：因为0，所以点F为ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xAxBxC3，所以|xA1xB1xC16答案：66从抛物线y24x上的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线的焦点为F，则MPF的内切圆的面积为_解析：如图，|PM|5，点P的坐标为(4,4)，SPMF5410设PMF的内切圆圆心为O，半径为r，SPMFSO PMSO PFSO MF，即(552)r10，解得r，故PMF内切圆的面积为r2答案：7已知M是抛物线y22px(p0)上任一点(不与原点重合)，F是其焦点求证：以MF为直径的圆与y轴相切证明：如图，过M作MNl于N，交y轴于点Q，O是MF的中点，作ORy轴于R|MF|MN|，|OF|OP|QN|，|OR|(|OF|QM|)(|QM|QN|)|MN|MF|，以MF为直径的圆与y轴相切8设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点(1)若点P到直线x1的距离为d，A(1,1)，求|PA|d的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1由抛物线的定义，知|PF|d，于是问题转化为求|PA|PF|的最小值如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为(2)把点B的横坐标代入y24x中，得y，因为2，所以点B在抛物线内部自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)由抛物线的定义，知|P1Q|P1F|，则|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314即|PB|PF|的最小值为4
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