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四柱坐标系与球坐标系简介学习目标1.了解柱坐标系、球坐标系的特征.2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间的互化公式.3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题知识点一柱坐标系思考要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？答案空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离梳理柱坐标系的概念(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在平面Oxy上的射影为Q，用(，)(0,02)表示点Q在平面Oxy上的极坐标这时点P的位置可用有序数组(，z)(zR)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(，z)叫做点P的柱坐标，记作P(，z)，其中0,02，zR.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为知识点二球坐标系思考要刻画空间一点的位置，在空间直角坐标系中，用三个距离来表示，在柱坐标系中，用两个距离和一个角来表示，那么，能否用两个角和一个距离来表示答案可以梳理球坐标系的概念(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|r，OP与Oz轴正向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为.这样点P的位置就可以用有序数组(r，)表示这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)叫做点P的球坐标，记作P(r，)，其中r0,0，00，.点M的柱坐标为.(2)由变换公式x2cos0，y2sin2，故点N的直角坐标为(0,2,3)类型二球坐标与直角坐标的互化例2(1)已知点P的球坐标为，求它的直角坐标；(2)已知点M的直角坐标为(2，2，2)，求它的球坐标解(1)由变换公式，得xrsincos4sincos2.yrsinsin4sinsin2.zrcos4cos2.故其直角坐标为(2,2，2)(2)由坐标变换公式，可得r4.由rcosz2，得cos，.又tan1，从而知M点的球坐标为.反思与感悟由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，)，利用变换公式求出r，即可；也可以利用r2x2y2z2，tan ，cos来求，要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚和所在的位置跟踪训练2把下列各点的球坐标化为直角坐标(1)；(2).解设点的直角坐标为(x，y，z)(1)(r，)，(1，1，)为所求(2)(r，)，为所求类型三求点的坐标例3已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面ABCD边长为1，高AA1为，建立空间直角坐标系(如图)，Ax为极轴，求点C1的直角坐标，柱坐标及球坐标解点C1的直角坐标为(1,1，)，设C1的柱坐标为(，)，tan1，所以C1的柱坐标为，设C1的球坐标为(r，)，其中r0,0，02，由xrsincos，yrsinsin，zrcos，得r2.由zrcos，得cos，又tan1，从而点C1的球坐标为，柱坐标为，直角坐标为(1,1，)反思与感悟(1)弄清空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系之间的关系，灵活运用直角坐标与柱坐标及球坐标的互化公式(2)结合图形，更直观地看到三种坐标之间的联系跟踪训练3在例3的条件下，求点C，A1的直角坐标、柱坐标及球坐标解C的直角坐标为(1,1,0)，设C的柱坐标为(，z)，球坐标为(r，)(0,0，00，盘旋的角速度为0，求t时刻蚂蚁所在的位置的球坐标解取圆锥的顶点O为坐标原点，建立球坐标系，如图，设t时刻蚂蚁在点M(r，)处，由题意得t，zvt，由于coscos，于是r2z2vt，所以t时刻蚂蚁所在的位置的球坐标为M，t0，)
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