资源描述
第2讲导数的简单应用(B)(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号导数的几何意义2,3,4,7导数与函数的单调性1,5,6,8,10导数与函数的极值、最值9,11,12一、选择题1.(2018河北武邑中学高三期中)已知偶函数f(x)(x0)的导函数为f(x),且满足f(1)=0.当x0时,xf(x)0成立的x的取值范围是(C)(A)(-,-1)(0,1)(B)(-,-1)(1,+)(C)(-1,0)(0,1)(D)(-1,0)(1,+)解析:根据题意,设g(x)=f(x)x2,当x0时,g(x)=f(x)x-2f(x)x30,所以函数g(x)在(0,+)上单调递减,又f(x)为偶函数,所以g(x)为偶函数,又f(1)=0,所以g(1)=0,故g(x)在(-1,0)(0,1)的函数值大于零,即f(x)在(-1,0)(0,1)的函数值大于零,故选C.2.(2018福建厦门第二次质检)设函数f(x)=x-e-x,直线y=mx+n是曲线y=f(x)的切线,则m+n的最小值是(C)(A)-1e (B)1 (C)1-1e (D)1+1e3解析:设切点是P(t,f(t),由f(x)=1+e-x,切线斜率k=f(t)=1+e-t,所以切线方程为y-f(t)=f(t)(x-t),整理得y=(1+e-t)x-(t+1)e-t,所以m+n=(1+e-t)-(t+1)e-t=1-tet,记g(t)=1-tet,所以g(t)=t-1et,当t1,g(t)1,g(t)0,g(t)单调递增;故g(t)min=g(1)=1-1e,即m+n的最小值是1-1e.故选C.3.(2018西南名校联盟4月适应考)设过曲线f(x)=ex+x+2a(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,若总存在过曲线g(x)=a2(1-2x)-2sin x上一点处的切线l2,使得l1l2,则实数a的取值范围为(C)(A)-1,1(B)-2,2(C)-1,2(D)-2,1解析:设y=f(x)上的切点为(x1,y1),y=g(x)上的切点为(x2,y2),f(x)=ex+1,g(x)=-a-2cos x,由题意,对任意x1R存在x2使得(ex1+1)(-a-2cos x2)=-1,所以2cos x2=1ex1+1-a对任意x1R均有解x2,故-21ex1+1-a2对任意x1R恒成立,则a-21ex1+1a+2对任意x1R恒成立,又1ex1+1(0,1),所以a-20且2+a1,所以-1a2.故选C.4.(2018广东东莞二次综合考试)已知函数f(x)=x2-x(x1),x2-3x+2(x0时,不等式f(x)mx不恒成立,设过原点的直线与函数f(x)=x2-3x+2(x0,g(x)是增函数,g(x)g(1)=10,(*)无解.当k2时,g(x)在(1,ek-2)上单调递减,在(ek-2,+)上单调递增,又g(1)=10,且g(ek)=ek+k0,所以ek-21,g(ek-2)=0,即ek-2-k=0(k2),设h(k)=ek-2-k,则h(k)=ek-2-10,h(k)单调递增,又h(3)=e-30,所以3k-1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)0,则实数a的取值范围是.解析:函数f(x)=-ex(2x+1)-ax+a存在唯一的整数x0,使得f(x0)0,设g(x)=ex(2x+1)与y=-ax+a=-a(x-1),即存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线y=-a(x-1)下方,g(x)=ex(2x+3),当x(-,-32)时,g(x)0,所以g(x)在(-,-32)上单调递减,在(-32,+)上单调递增,所以当x=-32时,g(x)取到最小值-2e-32,且g(0)=1;直线y=-a(x-1)恒过点(1,0),斜率为-a1,由图知当-a0时不合题意,故0-a1,若要存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线y=-a(x-1)下方,则x0=-1,即g(-1)-a(-1-1),g(-2)-a(-2-1),代入得-e-10),f(x)=ln x+1+2ax.令g(x)=ln x+1+2ax,函数f(x)=ax2+xln x有两个极值点g(x)=0在区间(0,+)上有两个实数根.g(x)=1x+2a=1+2axx,当a0时,g(x)0,则函数g(x)在区间(0,+)单调递增,因此g(x)=0在区间(0,+)上不可能有两个实数根,应舍去.当a0,解得0x-12a,此时函数g(x)单调递增;令g(x)-12a,此时函数g(x)单调递减.所以当x=-12a时,函数g(x)取得极大值.要使g(x)=0在区间(0,+)上有两个实数根,则g(-12a)=ln(-12a)0,解得-12a0,所以f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增,因为f(1e)=e1e(-1+2)=e1e,所以f(1-12a)e1e=f(1e),可得1-12a0,1-12a1e,解得12ae2(e-1),即实数a的取值范围是(12,e2(e-1).答案:(12,e2(e-1).三、解答题11.(2018安徽江南十校二模)设f(x)=xln x-32ax2+(3a-1)x.(1)g(x)=f(x)在1,2上单调,求a的取值范围;(2)已知f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.解:(1)由f(x)=ln x-3ax+3a,即g(x)=ln x-3ax+3a,x(0,+),g(x)=1x-3a,g(x)在1,2上单调递增,所以1x-3a0对x1,2恒成立,即a13x对x1,2恒成立,得a16;g(x)在1,2上单调递减,所以1x-3a0对x1,2恒成立,即a13x对x1,2恒成立,得a13,由可得a的取值范围为(-,1613,+).(2)f(1)=0,由(1)知,a0,f(x)在(0,+)上单调递增,所以x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,符合题意;0a1,又f(x)在(0,13a)上单调递增,所以x(0,1)时,f(x)0,所以f(x)在(0,1)上单调递减,(1,13a)上单调递增,f(x)在x=1处取得极小值,符合题意;a=13时,13a=1,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,所以x(0,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,不合题意;a13时,013a0,f(x)单调递增,当x(1,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意;综上所述,可得a(-,13).12.(2018山东济南二模)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2,(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=-1时,函数g(x)=f(x)-xex+x的最大值为m,求不超过m的最大整数.解:(1)f(x)=xex-2ax=x(ex-2a),当a0时,x(-,0)时,f(x)0,f(x)单调递增;当0a0,f(x)单调递增;x(ln 2a,0)时,f(x)0,f(x)单调递增;当a=12时,x(-,+)时,f(x)0,f(x)单调递增;当a12时,x(-,0)时,f(x)0,f(x)单调递增;x(0,ln 2a)时,f(x)0,f(x)单调递增;综上,当a0时,f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增;当0a12时,f(x)在(-,0)上单调递增,在(0,ln 2a)上单调递减,在(ln 2a,+)上单调递增.(2)g(x)=-ex+x2+x,g(x)=-ex+2x+1,g(x)=-ex+2,当x(0,ln 2)时,g(x)0,g(x)单调递增;x(ln 2,+)时,g(x)0,g(32)=4-e32=16-e30,g(x)单调递增;x(x0,+)时,g(x)0,g(x)单调递减;所以m=g(x0)=-ex0+x02+x0=-(2x0+1)+x02+x0=x02-x0-1=(x0-12)2-54,又x0(1,32),所以m(-1,-14).所以不超过m的最大整数为-1.
展开阅读全文