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第1讲三角函数的图象与性质、三角恒等变换1.(2018全国卷,文4)若sin =13,则cos 2等于(B)(A)89(B)79(C)-79(D)-89解析:因为sin =13,所以cos 2=1-2sin2=1-2132=79.故选B.2.(2016全国卷,文3)函数y=Asin(x+)的部分图象如图所示,则(A)(A)y=2sin2x-6(B)y=2sin2x-3(C)y=2sinx+6(D)y=2sinx+3解析:T=23+6=2得=2,A=2.当x=3时,y=2sin23+=2,23+=2+2k,kZ,=-6+2k,kZ.故选A.3.(2018全国卷,文6)函数f(x)=tanx1+tan2x的最小正周期为(C)(A)4(B)2(C)(D)2解析:由已知得f(x)=tanx1+tan2x=sinxcosx1+(sinxcosx)2=sinxcosxcos2x+sin2xcos2x=sin xcos x=12sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T=22=.故选C.4.(2018全国卷,文8)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则(B)(A)f(x)的最小正周期为,最大值为3(B)f(x)的最小正周期为,最大值为4(C)f(x)的最小正周期为2,最大值为3(D)f(x)的最小正周期为2,最大值为4解析:因为f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos 2x-1-cos2x2+2=32cos 2x+52,所以f(x)的最小正周期为,最大值为4.故选B.5.(2017全国卷,文6)函数f(x)=15sinx+3+cosx-6的最大值为(A)(A)65(B)1(C)35(D)15解析:f(x)=1512sin x+32cos x+12sin x+32cos x,f(x)=6512sin x+32cos x=65sinx+3,所以f(x)max=65,故选A.6.(2018全国卷,文10)若f(x)=cos x-sin x在0,a是减函数,则a的最大值是(C)(A)4(B)2(C)34(D)解析:f(x)=cos x-sin x=2cosx+4.当x0,a时,x+44,a+4,所以结合题意可知,a+4,即a34,故所求a的最大值是34.故选C.7.(2018全国卷,文15)已知tan-54=15,则tan =.解析:tan-54=tan-4=tan-11+tan=15,解得tan =32.答案:328.(2017全国卷,文15)已知0,2,tan =2,则cos-4=.解析:0,2,sin 0,cos 0,因为tan =2,所以sincos=2.sin =2cos .sin2+cos2=1.4cos2+cos2=1,5cos2=1,cos =55,sin =255.cos-4=22(cos +sin )=31010.答案:310101.考查角度考查三角函数的图象与性质、三角函数求值(利用三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式、和差三角函数公式、倍角公式等).2.题型及难易度选择题、填空题,试题难度中等.(对应学生用书第1719页) 三角函数的图象考向1三角函数的图象变换【例1】 (1)(2018广东省珠海市九月摸底)已知曲线C1:y=sin 12x,C2:y=sin12x-3,则下列说法正确的是()(A)把曲线C1向左平移23个单位长度,得到曲线C2(B)把曲线C1向右平移23个单位长度,得到曲线C2(C)把曲线C1向左平移3个单位长度,得到曲线C2(D)把曲线C1向右平移3个单位长度,得到曲线C2(2)(2018湖南省两市九月调研)若将函数f(x)=2sinx+6 的图象向右平移4个单位,再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)图象的一条对称轴为()(A)x=12(B)x=724(C)x=712(D)x=76解析:(1)因为y=sin12x-3=sin12x-23所以把C1中的x换为x-23得到C2,即把C1向右平移23个单位长度,得到C2,选B.(2)将函数f(x)=2sinx+6的图象向右平移4个单位得y=2sinx-4+6=2sinx-12的图象,将y=2sinx-12图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍得g(x)=2sin12x-12,令12x-12=2+k,(kZ),得x=76+2k,kZ,k=0时,x=76.选D.三角函数图象变换中容易出错的地方是沿x轴方向的平移和伸缩变换:把函数f(x)=sin x的图象向右(左)平移个单位长度,得到函数g(x)=sin (x-)(g(x)=sin (x+)的图象,把函数f(x)=sin 1x的图象上各点的横坐标变为原来的12倍021称为缩小为原来的12,得到函数g(x)=sin(12x)的图象.考向2函数y=Asin(x+)的图象与解析式【例2】 (1)(2018湖北省5月冲刺卷)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|0,0,|2的一部分图象如图所示,将函数上的每一个点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到的图象表示的函数可以为()(A)y=sinx+3(B)y=sin4x+3(C)y=sinx+6(D)y=sin4x+6解析:(1)由题图得A=2,T=78-8=,所以=2T=2,因为x=38-82=8时y=2,所以28+=2+2k(kZ),所以=4+2k(kZ),因为|0,0,|0,0,|0)个单位后,得到y=g(x)为偶函数,则m的最小值为()(A)12(B)2(C)3(D)6(2)(2018河北石家庄二中八月模拟)已知f(x)=sin2x+sin xcos x+2sinx+4cos x+4.当x12,2时,求f(x)的值域;若函数f(x)的图象向右平移8个单位后,所得图象恰与函数g(x)的图象关于直线x=6对称,求函数g(x)的单调递增区间.(1)解析:y=sin xsinx+3=12sin2x+32sin xcos x=1-cos2x4+3sin2x4=12sin2x-6+14,将y=12sin2x-6+14的图象沿x轴向右平移m(m0)个单位后,得到g(x)=12sin2x-2m-6+14的图象,因为g(x)=12sin2x-2m-6+14为偶函数,所以2m+6=2+k,kZ,即m=6+k2,kZ,即正数m的最小值为6.故选D.(2)解:f(x)=sin2x+sin x cos x+2sinx+4cosx+4=1-cos2x2+12sin 2x+sin2x+2=12+12(sin 2x-cos 2x)+cos 2x=12(sin 2x+cos 2x)+12=22sin2x+4+12,由x12,2,得5122x+454,所以-22sin2x+41,0f(x)2+12,即f(x)在12,2上的值域是0,2+12.函数f(x)的图象向右平移8个单位后得到h(x)的图象,则h(x)=fx-8=22sin 2x+12,设点P(x,y)是g(x)图象上任意一点,则点P关于直线x=6对称的点Q3-x,y在h(x)的图象上,所以g(x)=h3-x=22sin23-2x+12=22sin2x+3+12.所以当-2+2k2x+32+2k(kZ),即-512+kx12+k(kZ)时,g(x)单调递增,所以g(x)的单调递增区间是-512+k,12+k(kZ).三角函数的主要性质为奇偶性、周期性、单调性和最值.(1)y=sin(x+)为奇函数的充要条件是=k(kZ)、为偶函数的充要条件是=k+2(kZ),函数y=cos(x+)为奇函数的充要条件是=k+2(kZ)、为偶函数的充要条件是=k(kZ);(2)函数y=sin(x+),y=cos(x+)的最小正周期为2|,函数y=tan(x+)的最小正周期T=|;(3)确定y=sin(x+),y=cos(x+)的单调性时首先化为正值,然后把x+看作整体,利用y=sin x,y=cos x的单调区间,得出关于x+的不等式,解不等式即得所求函数的单调区间;(4)确定函数y=sin(x+)的值域时,一定要准确求出x+的取值范围,结合函数y=sin x的单调性得出所求的值域.热点训练2:(1)(2018广东广州市海珠区一模)设函数f(x)=cos2x-3,则下列结论错误的是()(A)f(x)的一个周期为-(B)y=f(x)的图象关于直线x=23对称(C)fx+2的一个零点为x=-3(D)f(x)在区间3,2上单调递减(2)(2018安徽宿州第三次质检)将函数y=2sin3-xcos6+x-1的图象向左平移(0)个单位,所得的图象恰好关于原点对称,则的最小值为()(A)24(B)12(C)4(D)3(3)(2018山东青岛二模)已知向量a=cos x,-12,b=(3sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)=ab.求f(x)的最小正周期;求函数f(x)的单调递减区间;求f(x)在0,2上的最大值和最小值.(1)解析:f(x)=cos2x-3的周期为T=k,kZ,所以A对,不符合题意;当x=23时,2x-3=,cos =-1,所以B对,不符合题意;fx+2=cos2x+-3=cos2x+23,当x=-3时,fx+2=1;所以x=-3不是fx+2的零点.所以C错,符合题意;x3,2时,2x-33,23,y=cos x在3,23上递减,所以D对,不符合题意.故选C.(2)解析:由于sin3-x=sin2-6+x=cos6+x,故三角函数的解析式即y=2cos26+x-1=cos3+2x,令cos3+2x=0可得3+2x=k+2(kZ),则x=k2+12(kZ),取k=0可得x=12,即函数图象与x轴正半轴的第一个交点坐标为P12,0,函数图象如图所示,数形结合可知的最小值为12.故选B.(3)解:f(x)=cos x,-12(3sin x,cos 2x)=3cos xsin x-12cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=cos6sin 2x-sin6cos 2x=sin2x-6.f(x)的最小正周期为T=22=,即函数f(x)的最小正周期为.2+2k2x-632+2k,kZ,得3+kx56+k,kZ,所以f(x)的单调递减区间是3+k,56+k,kZ.因为0x2,所以-62x-656.由正弦函数的性质,当2x-6=2,即x=3时,f(x)取得最大值1.当2x-6=-6,即x=0时,f(0)=-12,当2x-6=56,即x=2时,f2=12,所以f(x)的最小值为-12.因此,f(x)在0,2上的最大值是1,最小值是-12.利用三角恒等变换求值【例4】 (1)(2018湖南两市九月调研)已知sin =25,则cos (+2)等于()(A)725(B)-725(C)1725(D)-1725(2)(2018吉林省百校联盟联考)已知cos2+=3sin+76,则tan 12+等于()(A)4-23(B)23-4(C)4-43(D)43-4解析:(1)因为sin =25,所以cos(+2)=-cos 2=-1-2sin2=2252-1=-1725,故选D.(2)由题意可得-sin =-3sin+6,即sin+12-12=3sin+12+12,展开得sin+12cos 12-cos+12sin 12=3sin+12cos 12+3cos+12sin 12,整理可得tan +12=-2tan 12=-2tan 4-6=-2tan4-tan61+tan4tan6=23-4.选B.(1)利用三角恒等变换求值中使用的知识点:任意角三角函数的定义、同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,以及上述公式的变形.(2)利用三角恒等变换求值的基本思路:变换函数名称、变换角、整体代入等.热点训练3:(1)(2018河北武邑中学调研)下列式子结果为3的是()tan 25+tan 35+3tan 25tan 35;2(sin 35cos 25+cos 35cos 65);1+tan151-tan15;tan61-tan26.(A)(B)(C)(D)(2)(2018安徽安庆一中高考热身)已知tan(+)=25,tan-4=14,则cos+sincos-sin的值为;(3)(2018河南最后一模)已知x0,2,tan x=34,则2sin(-x)+sin2x1+cosx=.解析:(1)对于,tan 25+tan 35+3tan 25tan 35=tan(25+35)(1-tan 25tan 35)+3tan 25tan 35=3-3tan 25tan 35+3tan 25tan 35=3;对于,2(sin 35cos 25+cos 35cos 65)=2(sin 35cos 25+cos 35sin 25)=2sin 60=3;对于,1+tan151-tan15=tan45+tan151-tan45tan15=tan 60=3;对于,tan61-tan26=122tan61-tan26=12tan3=32,所以结果为3的是.故选C.(2)因为cos+sincos-sin=1+tan1-tan=tan4+tan1-tan4tan=tan+4,且tan+4=tan(+)-4=tan(+)-tan(-4)1+tan(+)tan(-4),将tan(+)=25,tan-4=14代入可得cos+sincos-sin=25-141+2514=322.(3)因为x0,2,tan x=34,所以sin x=35.又2sin(-x)+sin2x1+cosx=2sinx(1+cosx)1+cosx=2sin x,所以2sin(-x)+sin2x1+cosx=65.答案:(1)C(2)322(3)65 【例1】 (1)(2018福建厦门二检)函数f(x)=cos(2x+)(0)在区间-6,6上单调递减,在区间-6,0上有零点,则的取值范围是()(A)6,2(B)23,56(C)2,23(D)3,2(2)(2018广东省六校联考)已知函数f(x)=cos x sin 2x,下列结论中不正确的是()(A)y=f(x)的图象关于点(,0)中心对称(B)y=f(x)的图象关于直线x=2对称(C)f(x)的最大值为32(D)f(x)既是奇函数,又是周期函数解析:(1)当x-6,6时,2x+-3+,3+,又因为(0,),则-3+,3+0,即-30,+3,323,由cos(2x+)=0得2x+=k+2,kZ,x=k2+4-2,所以-64-20,解得256,综上,223.故选C.(2)对于A中,因为f(+x)=cos (+x)sin 2(+x)=-cos xsin 2x,f(-x)=cos (-x)sin 2(-x)=cos xsin 2x,所以f(+x)+f(-x)=0,可得y=f(x)的图象关于(,0)中心对称,故A正确,不符合题意;对于B,因为f2+x=cos2+xsin 22+x=-sin x(-sin 2x)=sin xsin 2x,f2-x=cos2-xsin 22-x=sin xsin 2x,所以f2+x=f2-x,可得y=f(x)的图象关于x=2对称,故B正确,不符合题意;对于C,化简得f(x)=cos x sin 2x=2cos2x sin x=2sin x(1-sin2x),令t=sin x,f(x)=g(t)=2t(1-t2),-1t1,因为g(t)=2t(1-t2)的导数g(t)=2-6t2=2(1+3t)(1-3t),所以当t-1,-33或t33,1时,g(t)0,函数g(t)为增函数,因此函数g(t)的最大值为t=-1或t=33时的函数值,结合g(-1)=0g33=439,可得g(t)的最大值为439,由此可得f(x)的最大值为439,而不是32,所以不正确,符合题意;对于D,因为f(-x)=cos (-x)sin (-2x)=-cos xsin 2x=-f(x),所以f(x)是奇函数,因为f(2+x)=cos (2+x)sin (4+2x)=cos xsin 2x=f(x),所以2为函数的一个周期,得f(x)为周期函数,可得f(x)既是奇函数,又是周期函数,所以正确,不符合题意,故选C.【例2】 (1)(2018广东珠海市高三摸底)已知曲线C1:y=sin x,C2:y=cos12x-56,则下列说法正确的是()(A)把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移3个单位长度,得到曲线C2(B)把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移23个单位长度,得到曲线C2(C)把曲线C1向右平移3个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到曲线C2(D)把曲线C1向右平移6个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到曲线C2(2)(2018福建百校临考冲刺)若函数f(x)=sin2x-3与g(x)=cosx+4都在区间(a,b)(0ab0,|2的图象过点B(0,-1),f(x)在区间18,3上为单调函数,且f(x)的图象向左平移个单位后与原来的图象重合,则等于()(A)-12(B)12(C)6(D)-6解析:(1)对于A,y=sin xy=sin12xy=sin12x-6cos12x-56;对于B,y=sin xy=sin12xy=sin12x-3=cos12x-56;对于C,y=sin xy=sinx-3y=sin2x-3cos12x-56;对于D,y=sin xy=sinx-6y=sin2x-6cos12x-56.故选B.(2)对于函数f(x),令2+2k2x-332+2k(kZ),解得512+kx1112+k(kZ),当x(0,)时,令k=0,则512x1112;对于函数g(x),令2kx+4+2k(kZ),解得-4+2kx34+2k(kZ),当x(0,)时,令k=0,则0x34.易得当函数f(x)与g(x)均在区间(a,b)(0ab)单调递减时,b的最大值为34,a的最小值为512,所以b-a的最大值为34-512=3,故选B.(3)由函数f(x)=2sin(x+)的图象过点B(0,-1),所以2sin =-1,解得sin =-12,又|0,0,|2的图象时,在列表过程中,列出了部分数据如表:x+02322x3712f(x)3-1(1)请根据上表求f(x)的解析式;(2)将y=f(x)的图象向左平移12个单位,再向下平移1个单位得到y=g(x)的图象,若g+4=-65(为锐角),求f()的值.解:(1)B=3-12=1,所以A=3-(-1)2=2,又3+=2,712+=,所以=2,=-6,所以f(x)=2sin2x-6+1.(2)g(x)=2sin2x+12-6+1-1=2sin 2x,因为g+4=2sin2+2=-65,所以cos 2=-35,又为锐角,所以sin 2=45,所以f()=2sin2-6+1=2sin 2cos6-cos 2sin6+1=24532-3512+1=8+435.
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