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5.函数与导数1(2018浙江省杭州二中模拟)已知函数f(x)lnx.(1)求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求证:f(x)0.(1)解f(x)lnx的定义域是(0,),f(x),所以f(1),又f(1)1,则切线方程为x2y30.(2)证明令h(x)x32x23x2,则h(x)3x24x3,设h(x)0的两根为x1,x2,由于x1x210,不妨设x10,则h(x)在(0,x2)上是单调递减的,在(x2,)上是单调递增的而h(0)0,h(1)0,所以h(x)在(0,)上存在唯一零点x0,且x0(1,2),所以f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增所以f(x)f(x0)lnx0,因为x0(1,2),lnx00,f(x)0,所以f(x)0.2已知函数f(x)x2(a2)xalnx(aR)(1)求函数yf(x)的单调区间;(2)当a1时,证明:对任意的x0,f(x)exx2x2.(1)解函数f(x)的定义域是(0,),f(x)2x(a2).当a0时,f(x)0对任意x(0,)恒成立,所以函数f(x)在区间(0,)上单调递增当a0时,由f(x)0,得x,由f(x)0,得0x,所以函数f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减(2)证明当a1时,f(x)x2xlnx,要证明f(x)exx2x2,只需证明exlnx20,设g(x)exlnx2,则问题转化为证明对任意的x0,g(x)0,令g(x)ex0,得ex,容易知道该方程有唯一解,不妨设为x0,则x0满足,当x变化时,g(x)和g(x)的变化情况如下表:x(0,x0)x0(x0,)g(x)0g(x)单调递减单调递增g(x)ming(x0)lnx02x02,因为x00,且x01,所以g(x)min22220,因此不等式得证3已知函数f(x)x22x2alnx(aR)(1)若a1,求函数在A(1,1)处的切线方程;(2)若函数yf(x)有两个极值点x1,x2,且x1.(1)解当a1时,f(x)x22x2lnx,f(x)2x2,f(1)1,所以函数在A(1,1)处的切线方程y1f(1)(x1),化简,得xy0.(2)证明函数的定义域为(0,),f(x)2x2,则x1,x2是方程2x22xa0的两个根,所以x1x21,x1x2,所以a2x22x,又x1x2,所以x20,则g(t)在上为增函数,所以g(t)g,所以f(x2).4.已知函数f(x)lnx,g(x)f(x)ax2bx,函数g(x)的图象在点(1,g(1)处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系;(2)若a0,试讨论函数g(x)的单调性解(1)依题意得g(x)lnxax2bx,x0,则g(x)2axb,由函数g(x)的图象在点(1,g(1)处的切线平行于x轴得,g(1)12ab0,b2a1.(2)由(1)得g(x).函数g(x)的定义域为(0,),当a0时,g(x),由g(x)0得0x1,由g(x)1;当a0时,令g(x)0,则x1或x,若0时,由g(x)0得x1或0x,由g(x)0得x1,即0a0得x或0x1,由g(x)0得1x;若1,即a时,在上恒有g(x)0.综上得,当a0时,函数g(x)在(0,1)上单调递增,在上单调递减;当0a时,函数g(x)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增5已知函数f(x)xlnx,g(x)(x2ax3)ex(a为实数)(1)当a5时,求函数g(x)的图象在x1处的切线方程;(2)求f(x)在区间t,t2(t0)上的最小值;(3)若存在两个不等实数x1,x2,使方程g(x)2exf(x)成立,求实数a的取值范围解(1)当a5时,g(x)(x25x3)ex,g(1)e,g(x)(x23x2)ex,故切线的斜率为g(1)4e,所以切线方程为ye4e(x1),即4exy3e0.(2)f(x)xlnx的定义域为(0,),因为f(x)lnx1,令f(x)0,得x,所以在(0,)上,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:xf(x)0f(x)极小值(最小值)当t时,在区间t,t2上,f(x)为增函数,所以f(x)minf(t)tlnt,当0t0,则h(x)1.当x变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表:x1(1,e)h(x)0h(x)极小值(最小值)因为h3e2,h(e)e2,h(1)4,所以h(e)h42e0,所以h(e)h,所以实数a的取值范围为.6已知函数f(x)x2(a2)xalnx(a为实常数)(1)若a2,求曲线yf(x)在x1处的切线方程;(2)若存在x1,e,使得f(x)0成立,求实数a的取值范围解(1)当a2时,f(x)x22ln x,则f(x)2x,f(1)0,所求切线方程为y1.(2)f(x)2x(a2),x1,e当1,即a2时,x1,e,f(x)0,此时f(x)在1,e上单调递增所以f(x)的最小值为f(1)a1,所以1a2;当1e,即2a2e,x时,f(x)0,f(x)在上单调递增,所以f(x)的最小值为faalna.因为2a2e,所以0ln1,所以fa0恒成立,所以2a,所以f(e)0,所以a2e,综上,a1.
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