成教Ch51定积分的概念.ppt

第五章积分 定积分的概念定积分的性质微积分基本定理 5 1定积分概念 一 定积分问题的产生 变速直线运动的路程 二 定积分定义 定积分的几何意义 定积分的定义 可积性问题 利用定义计算定积分 利用几何意义求定积分 曲边梯形 曲边梯形的面积 1 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数y f x 在区间 a b 上非负 连续 由直线x a x b y 0及曲线y f x 所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 一 定积分问题的引入 b a y f x x b x a y f x 用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A 得 用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A 得 A A1 A2 A3 A4 用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A 得 A A1 A2 An 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积 于是曲边梯形的面积A近似为 f xi f x1 f x2 f xi xi 在 a b 中任意插入n 1个分点 得n个小区间 xi 1 xi i 1 2 n 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形 任取xi xi 1 xi 以f xi Dxi近似代替第i个窄曲边梯形的面积 区间 xi 1 xi 的长度Dxi xi xi 1 曲边梯形的面积近似为 A 记 max Dx1 Dx2 Dxn 则 曲边梯形的面积的精确值为 A 曲边梯形的面积近似为 A 设物体作直线运动 已知速度v v t 是时间间隔 T1 T2 上t的连续函数 且v t 0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 在时间间隔 T1 T2 内任意插入n 1个分点T1 t0 t1 t2 tn 1 tn T2 把 T1 T2 分成n个小段 t0 t1 t1 t2 tn 1 tn 各小段时间的长依次为Dt1 t1 t0 Dt2 t2 t1 Dtn tn tn 1 任取 i ti 1 ti 在时间间隔 ti 1 ti 内物体所经过的路程近似为DS v i Dti i 1 2 n 所求变速直线运动路程S的近似值为 2 变速直线运动的路程 记 max Dt1 Dt2 Dtn 则变速直线运动的路程为 所求变速直线运动路程S的近似值为 设函数f x 在 a b 上有界 在 a b 中任意插入n 1个分点a x0 x1 x2 xn 1 xn b 把区间 a b 分成n个小区间 x0 x1 x1 x2 xn 1 xn 各小段区间的长依次为Dx1 x1 x0 Dx2 x2 x1 Dxn xn xn 1 任取xi xi 1 xi 作函数值f xi 与小区间长度Dxi的乘积f xi Dxi i 1 2 n 并作出和 二 定积分的定义 记 max Dx1 Dx2 Dxn 如果不论对 a b 怎样分法 也不论在小区间 xi 1 xi 上点xi怎样取法 只要当 0时 和S总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I为函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 即 积分上限 积分下限 根据定积分的定义 曲边梯形的面积为 变速直线运动的路程为 A 注 1 定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即 定理1设f x 在区间 a b 上连续 则f x 在 a b 上可积 定理2设f x 在区间 a b 上有界 且只有有限个间断点 则f x 在 a b 上可积 如果f x 在 a b 上的定积分存在 我们就说f x 在 a b 上可积 定积分的可积性问题 在区间 a b 上 当f x 0时 积分 在几何上表示由曲线y f x 两条直线x a x b与x轴所围成的曲边梯形的面积 定积分的几何意义 当f x 0时 由曲线y f x 两条直线x a x b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 y f x y f x 定积分在几何上表示上述曲线边梯形面积的负值 S 我们对面积赋以正负号 在x轴上方的图形面积赋以正号 在x轴下方的图形面积赋以负号 它是介于x轴 函数f x 的图形及两条直线x a x b之间的各部分面积的代数和 y f x 解把区间 0 1 分成n等份 当l 0时 n 作和 利用定义计算定积分 求积分 解以y 1 x为曲边 以区间 0 1 为底的曲边梯形为一直角 三角形 所以 利用几何意义求定积分 作业 P185 习题5 1 1 2 2 1 3 1 2