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第7练 函数的奇偶性与周期性基础保分练1.已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)x2，则f(1)等于()A.2B.1C.0D.22.“a0”是“f(x)为奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2019浙江名师预测卷)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)x22(x0)，若f(a2)0，则a的取值范围为()A.2，22，)B.2，2C.2，2D.2，)4.已知f(x)2x为奇函数，g(x)bxlog2(4x1)为偶函数，则f(ab)等于()A.B.C.D.5.设定义在R上的奇函数f(x)满足对任意x1，x2(0，)，且x1x2都有0，且f(2)0，则不等式0的解集为()A.(，22，) B.2,02，)C.(，2(0,2 D.2,0)(0,26.已知函数f(x)在R上单调递减且为奇函数，若f(2)2，则满足2f(x1)2的x的取值范围是()A.2,2 B.3,1C.1,3 D.1,37.定义在R上的奇函数f(x)满足f(2x)f(x)，当x(0,1时，f(x)ex1，则f等于()A.1eB.e1C.1D.18.已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)，若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(2019)等于()A.2019B.0C.2D.29.(2018温州九校联考)已知函数f(x)是定义在(，0)(0，)上的奇函数，在(0，)上单调递减，且f(4)0，若f(x3)0，则x的取值范围为_.10.设函数f(x)，则使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范围是_.能力提升练1.(2019绍兴模拟)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且f(x)为奇函数，g(x)的图象关于直线x1对称，则下列四个命题中错误的是()A.yg(f(x)1)为偶函数B.yg(f(x)为奇函数C.函数yf(g(x)的图象关于直线x1对称D.yf(g(x1)为偶函数2.(2019学军中学模拟)函数f(x)asinxbcosx(a0，b0，0)，则f(x)()A.是非奇非偶函数B.奇偶性与a，b有关C.奇偶性与有关D.奇偶性与a，b无关3.已知函数f(x)(x1)(axb)为偶函数，且在(0，)上单调递减，则f(3x)0的解集为()A.(2,4) B.(，2)(4，)C.(1,1) D.(，1)(1，)4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x1)为奇函数，f(0)0，当x(0,1时，f(x)log2x，则在区间(8,9)内满足方程f(x)2f的实数x为()A.B.C.D.5.定义在Z上的函数f(x)，对任意x，yZ，都有f(xy)f(xy)4f(x)f(y)，且f(1)，则f(0)f(1)f(2)f(2017)_.6.定义在R上的偶函数f(x)满足：当x1时都有f(x2)2f(x)，当x0,1)时，f(x)x2；则在区间1,3内，函数g(x)f(x)kxk零点个数最多时，实数k的取值范围是_.答案精析基础保分练1.D函数f(x)为奇函数，将1代入解析式f(x)x2，得f(1)2，故f(1)f(1)2.2.Aa0可以推出f(x)0(x1)，f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)是奇函数；若f(x)为奇函数，则aR，即不能推出a0，所以a0是f(x)为奇函数的充分不必要条件，故选A.3.A函数f(x)的图象如图所示，由题可知f(0)0且f()0，若f(a2)0，则a20或a2，解得2a2或a2，故选A.4.D根据题意，f(x)2x为奇函数，则f(x)f(x)0，即0，解得a1.g(x)bxlog2(4x1)为偶函数，则g(x)g(x)，即bxlog2(4x1)b(x)log2(4x1)，解得b1，则ab1，所以f(ab)f(1)21.5.A由题意可得，奇函数f(x)的图象关于原点对称，对任意x1，x2(0，)，且x1x2，因为0，所以当x1x2时，总有f(x1)f(x2)成立，可得函数在(0，)上是增函数，故函数在(，0)上也是增函数，由不等式0，可得0，0，再由f(2)0，可得f(2)0，或可得x2或x2，即不等式的解集是(，22，)，故选A.6.C根据题意，函数f(x)为奇函数，若f(2)2，则f(2)2.又函数f(x)在R上单调递减，且2f(x1)2，即f(2)f(x1)f(2)，所以2x12，解得1x3.7.Cf(x)是奇函数，f(x)f(2x)f(x2)，f(x4)f(x2)f(x)，f(x)的周期为4.ffff1，故选C.8.Bf(x)是奇函数，且f(1x)f(1x)，f(1x)f(1x)f(x1)，f(0)0，则f(x2)f(x)，则f(x4)f(x2)f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，f(1)2，f(2)f(0)0，f(3)f(12)f(1)f(1)2，f(4)f(0)0，则f(1)f(2)f(3)f(4)20200，则f(1)f(2)f(3)f(2019)504f(1)f(2)f(3)f(4)f(2017)f(2018)f(2019)f(1)f(2)f(3)20(2)0，故选B.9.1,3)7，)解析由于奇函数f(x)在(0，)上单调递减，且f(4)0，所以函数在(，0)上是减函数，f(4)0.所以不等式f(x)0的解为x4或4x0，所以x34或4x30.所以x7或1x0时，y和y均为单调递减函数，所以f(x)在(0，)上单调递减，在(，0)上单调递增.由f(x)f(2x1)，得f(|x|)f(|2x1|)，|x|2x1|，整理得3x24x10，解得x1.能力提升练1.B由已知得f(x)f(x)，g(1x)g(1x)，则g(f(x)1)g(1f(x)g(f(x)1)，故g(f(x)1)为偶函数；g(f(x)g(f(x)g(2f(x)，即g(f(x)为非奇非偶函数.f(g(x)f(g(2x)，故f(g(x)的图象关于直线x1对称；又f(g(x1)f(g(1x)，故f(g(x1)为偶函数.由此可知，选项A，C，D为真命题，选项B为假命题，故选B.2.Af(x)asinxbcosxsin(x)，其中sin，cos，要使函数f(x)sin(x)为奇函数，则f(0)sin0，因为a0，b0，所以0，又因为sin0，所以f(0)sin0，所以函数f(x)不是奇函数.若函数f(x)sin(x)为偶函数，则f(0)sin，则sin1，cos0，因为a0，所以cos0，所以f(0)sin，所以函数f(x)不是偶函数，故选A.3.Bf(x)(x1)(axb)ax2(ba)xb为偶函数，f(x)f(x)，则ax2(ba)xbax2(ba)xb，即(ba)ba，得ba0，得ba，则f(x)ax2aa(x21)，又f(x)在(0，)上单调递减，则a0，由f(3x)0得a(3x)210，得x4或x2，即不等式的解集为(，2)(4，)，故选B.4.Df(x1)为奇函数，即f(x1)f(x1)，即f(x)f(2x)，当x(1,2)时，2x(0,1)，f(x)f(2x)log2(2x).又f(x)为偶函数，即f(x)f(x)，于是f(x)f(x2)，即f(x)f(x2)f(x4)，故f(x)是以4为周期的函数.f(1)0，当8x9时，0x81，f(x)f(x8)log2(x8).由f1，f(x)2f可化为log2(x8)21，得x.故选D.5.解析令y1得f(x1)f(x1)f(x)，f(x2)f(x)f(x1)，f(x1)f(x2)即f(x1)f(x2)0，f(x)f(x3)0，f(x6)f(x33)f(x3)f(x)f(x)，即函数f(x)周期为6，且f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(0)f(3)f(1)f(4)f(2)f(5)0，f(0)f(1)f(2)f(3)f(2017)f(2016)f(2017)f(0)f(1)，令x1，y0，得2f(1)f(0)，f(0)，f(0)f(1)，即答案为.6.解析当x(1,0时，x0,1)，f(x)f(x)x2，又f(12)2f(1)2f(1)f(1)，故f(1)0，所以当x1,1时，f(x)当x(1,3)时，x2(1,1)，f(x)2f(x2)2(x2)2，而f(3)2f(1)0，故函数yf(x)，x1,3的图象如图所示.ykxk的图象恒过点(1,0)，它与yf(x)，x1，3的图象最多有5个交点，此时k.
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