资源描述
14个填空题专项强化练(七)平面向量A组题型分类练题型一平面向量的线性运算1已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若23,则的值为_解析:由23,得22,即2,所以.答案:2在ABCD中,a,b,3,M为BC的中点,则_(用a,b表示)解析:由3得(ab),ab,所以(ab)ab.答案:ab3已知RtABC的面积为2,C90,点P是RtABC所在平面内的一点,满足,则的最大值是_解析:由条件可知|4,0,因为,故979|4|9712273,当且仅当9|4|,即|,|3时等号成立答案:73临门一脚1对相等向量、零向量、单位向量等概念的理解要到位2用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:(1)观察各向量的位置;(2)寻找相应的三角形或平行四边形;(3)运用法则找关系;(4)化简结果3线性运算由于基底运用难度较大,能建立坐标系的时候,建系优先4利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点5已知 (,为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是1.题型二平面向量的坐标表示1在ABCD中,AC为一条对角线,(2,4),(1,3),则向量的坐标为_解析:因为(1,1),所以(3,5)答案:(3,5)2已知向量a(1,2),b(x,1),ua2b,v2ab,且uv,则实数x的值是_解析:因为u(12x,4),v(2x,3),uv,所以84x36x,所以x.答案:3已知向量a(1,2),b(2,3)若向量c满足(ca)b,c(ab),则c_.解析:不妨设c(m,n),则ac(1m,2n),ab(3,1),对于(ca)b,有3(1m)2(2n)对于c(ab),有3mn0.联立,解得m,n.故c.答案:临门一脚1解决向量的坐标运算问题,关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点一般地,已知有向线段两端点的坐标,应先求出向量的坐标解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)求解2若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab的充要条件不能表示成,因为x2,y2有可能等于0,应表示为x1y2x2y10.题型三平面向量的数量积1已知向量a(3,2),b(1,0),向量ab与a2b垂直,则实数的值为_解析:依题意,ab(31,2),a2b(1,2),所以(ab)(a2b)710,.答案:2已知向量与的夹角为120,且|2,|3.若,且,则实数的值为_解析:由题意得,3,由()()0,得220,即34930,故.答案:3(2018南京高三模拟)在ABC中,AB3,AC2,D为边BC上一点若5,则的值为_解析:因为D为BC边上一点,所以可设xy,xy1,x0,y0,则(xy)9xy5,(xy)x4y,联立,可得3或,当时不满足x,y0,舍去,故3.答案:34(2018武汉调研)在矩形ABCD中,AB2,AD1.边DC上的动点P(包含点D,C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足|,则的最小值为_解析:以点A为坐标原点,分别以AB,AD所在直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设P(x,1),Q(2,y),由题意知0x2,2y0.|,|x|y|,xy.(x,1),(2x,y1),x(2x)(y1)x22xy1x2x12,当x时,取得最小值,为.答案:5在ABC中,ABAC,AB,ACt,P是ABC所在平面内一点,若,则PBC面积的最小值为_解析:由于ABAC,故以AB,AC所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系(图略),则B,C(0,t),因为,所以点P坐标为(4,1),直线BC的方程为t2xyt0,所以点P到直线BC的距离为d,BC,所以PBC的面积为,当且仅当t时取等号答案:临门一脚1若向量a,b,c满足abac(a0),则不一定有bc.2两个向量a与b的夹角为锐角(钝角),则有ab0(ab0),反之不成立(因为夹角为0()时不成立)3在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式,尤其对|a|要引起足够重视,是求模常用的公式4数量积的运算中,ab0ab,是对非零向量而言的,若a0,虽然有ab0,但不能说ab.5平面向量的求解常见方法有定义法、坐标法、转化法、极化恒等式法、投影法B组高考提速练1已知向量a(2,1),b(0,1),则|a2b|_.解析:因为a2b(2,1),所以. 答案:2.如图,已知a,b,3,用a,b表示,则_.解析:因为ab,又3,所以(ab),所以b(ab)ab.答案:ab3已知D为ABC边BC的中点,ABC所在平面内有一个点P,满足,则的值为_解析:由知,四边形ABPC为平行四边形,如图所示,则1.答案:14已知|a|3,|b|4,且a与b不共线,若向量akb与akb垂直,则k_.解析:因为(akb)(akb),所以(akb)(akb)0,即|a|2k2|b|20.又因为|a|3,|b|4,所以k2,即k.答案:5若a,b均为单位向量,且a(a2b),则a,b的夹角大小为_解析:设a,b的夹角为.因为a(a2b),所以a(a2b)a22ab0,所以12cos 0,所以cos ,而0,故.答案:6.如图,在ABC中,ABAC3,cosBAC,2,则的值为_解析:由2,得(2)又,ABAC3,cosBAC,所以 (2)()(93)2.答案:27已知边长为1的正方形ABCD,2,则|_.解析:法一:由题意得,2(2)24224.又四边形ABCD是边长为1的正方形,所以,所以0.又|,|,所以242210,所以|.法二:由题意,作出2,如图所示,则|为边长分别为,2的矩形CFME的对角线的长,所以| .答案:8将向量(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60得到,则_.解析:法一:(1,1),设(x,y),则|,|cos 601,又由向量的坐标运算可知xy1,|,化简得x2y22,因为点B在第二象限,故x0,所以解得故.法二:因为|,直线OB的倾斜角为6045105,故点B的横坐标xB|cos(6045),纵坐标yB|sin(6045),故 .答案:9若向量a(cos 15,sin 15),b(cos 75,sin 75),则ab与a的夹角为_解析:ab(cos 15cos 75,sin 15sin 75)(cos 15sin 15,sin 15cos 15),则(ab)acos 15(cos 15sin 15)sin 15(cos 15sin 15)12cos 15sin 151sin 30,|ab|,cosab,a,又ab,a0,所以ab,a.答案:10已知a(1,t),b(t,6),则|2ab|的最小值为_解析:由a(1,t),b(t,6),得|a|,|b|,所以|2ab|.由二次函数的性质知,当t2时,|2ab|min2 .答案:211.如图,等边ABC的边长为2,顶点B,C分别在x轴的非负半轴,y轴的非负半轴上移动,M为AB的中点,则的最大值为_解析:设OBC,因为BC2,所以B(2cos ,0),C(0,2sin ),则(2cos ,2sin ),设(x,y),因为ABC是边长为2的等边三角形,所以解得即(sin cos ,cos sin ),则(sin cos ,cos sin ),因为M为AB的中点,所以,所以sin 2sin 2cos2sin 2cos 2sin(2),所以的最大值为.答案:12已知ABC的三个内角为A,B,C,重心为G,若2sin Asin B3sin C0,则cos B_.解析:设a,b,c分别为角A,B,C所对的边,由正弦定理得2ab3c0,则2ab3c3c(),即(2a3c)(b3c)0.又,不共线,所以由此得2ab3c,所以ab,cb,于是由余弦定理得cos B.答案:13已知平面向量,满足|1,且与的夹角为120,则|的取值范围为_解析:法一:由|1,且与的夹角为120,作向量,则,在OAB中,OAB60,OB1,则由正弦定理,得OAsinABO,即00,故0u,即0|.答案:14在平面直角坐标系xOy中,设点A(1,0),B(0,1),C(a,b),D(c,d),若不等式2(m2)m()()对任意实数a,b,c,d都成立,则实数m的最大值是_解析:原不等式可化为(ac)2(bd)2(m2)(acbd)mbc,即a2b2c2d2m(acbdbc)0,整理成关于实数a的不等式为a2mcab2c2d2mbdmbc0恒成立,从而1m2c24(b2c2d2mbdmbc)0,再整理成关于实数d的不等式为d2mbdb2c2mbcm2c20,从而2m2b240,再整理成关于实数b的不等式为(4m2)b24mcb4c2m2c20,从而解得1m1,所以m的最大值是1.答案:1
展开阅读全文