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课时跟踪检测（五十四）解题上5大技法破解“计算繁而杂”这一难题1(2018惠州二模)设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A.B.C. D.解析：选D如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OMPF2，可得PF2x轴，|PF2|，|PF1|2a|PF2|，故选D.2设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()ABCD1解析：选C如图所示，设P(x0，y0)(y00)，则y2px0，即x0.设M(x，y)，由2，得化简可得直线OM的斜率k(当且仅当y0p时取等号)3(2019合肥质检)如图，椭圆1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则F2MN的周长为()A20 B10C2 D4解析：选D由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(c,0)，点N的横坐标为c，联立方程，得得N，H，M.把点M的坐标代入椭圆方程得1，化简得c2，又c2a24，a24，解得a25，a.由椭圆的定义知|NF2|NF1|MF2|MF1|2a，F2MN的周长为|NF2|MF2|MN|NF2|MF2|NF1|MF1|4a4，故选D.4已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c,0)，P为双曲线上任一点，且最小值的取值范围是，则该双曲线的离心率的取值范围为()A(1， B，2C(0， D2，)解析：选B设P(x0，y0)，则(cx0，y0)(cx0，y0)xc2ya2c2y，上式当y00时取得最小值a2c2，根据已知c2a2c2c2，所以c2a2c2，即24，即2，所以所求双曲线的离心率的取值范围是，25过抛物线y22px(p0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若 (1)，则的值为()A5B4C D解析：选B根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得，故y1y2，即.设直线AB的方程为y，联立直线与抛物线方程，消去x，得y2pyp20.故y1y2p，y1y2p2，则2，即2.又1，解得4.6中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y3x2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为_解析：由已知得c5，设椭圆的方程为1，联立消去y得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，设直线y3x2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数的关系得x1x2，由题意知x1x21，即1，解得a275，所以该椭圆方程为1.答案：17已知AB为圆x2y21的一条直径，点P为直线xy20上任意一点，则的最小值为_解析：由题意，设A(cos ，sin )，P(x，x2)，则B(cos ，sin )，(cos x，sin x2)，(cos x，sin x2)，(cos x)(cos x)(sin x2)(sin x2)x2(x2)2cos2sin22x24x32(x1)21，当且仅当x1，即P(1，1)时，取最小值1.答案：18(2019武汉调研)已知A，B分别为椭圆1(0b3)的左、右顶点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若点A到直线y x的距离为1，则该椭圆的离心率为_解析：根据椭圆的标准方程1(0b3)知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，A(3,0)，B(3,0)，设P(x0，y0)，Q(x0，y0)，则1，kAPm，kBQn，mn，直线y xx，即x3y0.又点A到直线y x的距离为1，1，解得b2，c2a2b2，e.答案：9已知椭圆C：y21过点A(2,0)，B(0,1)两点设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值解：设P(x0，y0)(x00，y00)，则x4y4，又A(2,0)，B(0,1)，所以，直线PA的方程为y(x2)，令x0，得yM，从而|BM|1yM1，直线PB的方程为yx1，令y0，得xN，从而|AN|2xN2，所以四边形ABNM的面积S|AN|BM|2，从而四边形ABNM的面积为定值10已知离心率为的椭圆1(ab0)的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|.(1)求此椭圆的方程；(2)已知直线ykx2与椭圆交于C，D两点，若以线段CD为直径的圆过点E(1,0)，求k的值解：(1)设焦距为2c，e，a2b2c2，.由题意可知，b1，a，椭圆的方程为y21.(2)将ykx2代入椭圆方程，得(13k2)x212kx90，又直线与椭圆有两个交点，所以(12k)236(13k2)0，解得k21.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2.若以CD为直径的圆过E点，则0，即(x11)(x21)y1y20，而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，所以(x11)(x21)y1y2(k21)x1x2(2k1)(x1x2)550，解得k，满足k21，所以k.
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