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2.2.2直线方程的几种形式1在同一平面直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a的图象正确的是()解析：结合四个图象,a在两个方程中分别表示斜率和纵截距,它们的符号应一致.逐一判断知A,B,D项均错,只有C项正确.答案：C2下列命题:y-y0x-x0=k表示过定点P(x0,y0)且斜率为k的直线;直线y=kx+b和y轴交于点B,O是原点,那么b=|OB|;一条直线在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,那么该直线的方程为xa+yb=1;方程(x1-x2)(y-y1)+(y2-y1)(x-x1)=0表示过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点的直线.其中错误命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析：不是点斜式,因为它不包含点(x0,y0);b|OB|,b是点B的纵坐标,可正、可负、可为零;当a=b=0时,直线方程不能写成xa+yb=1;正确,这是两点式的变形形式,其可以表示过P1 (x1,y1),P2(x2,y2)的所有直线.答案：D3已知两直线的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在平面直角坐标系中的位置如图所示,则()A.b0,d0,a0,dcC.b0,acD.b0,a-1c0-ba0ca0,b0.答案：C4过点P(3,2)的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析：画图分析：此题会比较简单,符合条件的直线有两种情况(如图).若直线经过第一、二、四象限,此时三角形面积一定大于长与宽分别为3与2的矩形的面积,即大于6,不符合条件.答案：B5直线2x-y+4=0在两坐标轴上的截距之和是()A.6B.4C.3D.2解析：令x=0得y=4;令y=0得x=-2,于是截距是4+(-2)=2.答案：D6如果直线经过点A(1,4),且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍,那么直线的方程为()A.2x+y-9=0B.y=4xC.y=4x和2x+y-9=0D.y=4x和x+2y-9=0解析：当直线经过坐标原点时,直线在x轴、y轴上的截距都是0,符合题意,设其方程为y=kx,又直线经过点A(1,4),所以4=k,即方程为y=4x.当直线不经过坐标原点时,设其方程为x2a+ya=1,又直线经过点A(1,4),所以12a+4a=1,解得a=,此时直线方程为x9+y92=1,即x+2y-9=0.故所求直线方程为y=4x或x+2y-9=0.答案：D7若一条直线经过点M(2,1),且在两坐标轴上的截距之和是6,则该直线的方程为.解析：由题意,设直线在x轴上的截距为a,则其在y轴上的截距为6-a.于是我们可列出此直线的截距式方程为xa+y6-a=1,代入点M的坐标(2,1),得到关于a的一元二次方程,解得a=3或a=4,从而得到直线的方程为x3+y3=1或x4+y2=1,化为一般式方程即为x+y-3=0或x+2y-4=0.答案：x+y-3=0或x+2y-4=08已知直线l过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于A,B两点.若P点恰为线段AB的中点,则直线l的方程为.解析：设直线l的斜率为k,则其方程为y-3=k(x+2).令y=0得x=-2;令x=0,得y=2k+3,因此A-3k-2,0,B(0,2k+3).因为P是AB的中点,所以-3k-22=-2,且2k+32=3,解得k=.因此l的方程为3x-2y+12=0.答案：3x-2y+12=09经过点(-2,1),且斜率与直线y=-2x-1的斜率相等的直线方程为.解析：由直线y=-2x-1的斜率为-2,则所求直线的斜率也是-2,故其方程为y-1=-2(x+2),即2x+y+3=0.答案：2x+y+3=010若直线2x+3y+m=0经过第一、二、四象限,则实数m的取值范围是.解析：直线方程可化为y=-x-m,则-m0,即m0.答案：m011设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.(1)经过定点P(2,-1);(2)在y轴上的截距为6;(3)与y轴平行;(4)与x轴平行.解(1)点P在直线l上,即P(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,把点P的坐标(2,-1)代入,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=.(2)令x=0,得y=2m-62m2+m-1,由题意知2m-62m2+m-1=6,解得m=-13或m=0.(3)与y轴平行,则有m2-2m-30,2m2+m-1=0,解得m=12.(4)与x轴平行,则有m2-2m-3=0,2m2+m-10,解得m=3.12已知直线l:5ax-5y-a+3=0.(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;(2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值范围.(1)证明(方法一)将直线l的方程整理为y-=ax-15,l的斜率为a,且过定点A15,35,而点A15,35在第一象限,故不论a为何值,直线l恒过第一象限.(方法二)直线l的方程可化为(5x-1)a-(5y-3)=0.由于上式对任意的a总成立,必有5x-1=0,5y-3=0,则有x=15,y=35,即l过定点A15,35,以下同方法一.(2)解直线OA的斜率为k=35-015-0=3.要使l不经过第二象限,需它在y轴上的截距不大于零,即令x=0时,y=-a-350,故a3.13已知点A(2,5)与点B(4,-7),试在y轴上求一点P,使得|PA|+|PB|的值最小,并求出最小值.解如图,作点A(2,5)关于y轴的对称点A,则其坐标为(-2,5),在y轴上任取一点P,由对称的知识易知|PA|=|PA|.则求|PA|+|PB|的最小值,即求|PA|+|PB|的最小值.由平面几何知识知,当A,P,B三点共线时,|PA|+|PB|最小,由两点式得AB所在直线的方程为y+75+7=x-4-2-4,即2x+y-1=0.令x=0,得y=1,故所求点P的坐标为(0,1).此时,(|PA|+|PB|)min=|AB|=(-7-5)2+(4+2)2=65.
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