2018-2019版高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 二 综合法与分析法学案 新人教A版选修4-5.docx

二综合法与分析法学习目标1.理解综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点.2.掌握综合法、分析法证明不等式的方法和步骤.3.会用综合法、分析法证明一些不等式知识点综合法与分析法思考1在“推理与证明”中，学习过分析法、综合法，请回顾分析法、综合法的基本特征答案分析法是逆推证法或执果索因法，综合法是顺推证法或由因导果法思考2综合法与分析法有什么区别和联系？答案区别：综合法，由因导果，形式简洁，易于表达；分析法，执果索因，利于思考，易于探索联系：都属于直接证明，常用分析法分析，用综合法表达梳理(1)综合法定义：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”证明的框图表示用P表示已知条件或已有定义、定理、公理等，用Q表示所要证明的不等式，则综合法可用框图表示为(2)分析法定义：证明命题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法这是一种“执果索因”的思考和证明方法特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”证明过程的框图表示用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为类型一综合法证明不等式例1已知a，bR，且ab1，求证：22.证明方法一a，bR，且ab1，ab2.224(a2b2)4(ab)22ab4(12ab)4.22.方法二左边22a2b244a2b24a2b2114(a2b2)22422224242，22.反思与感悟综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键跟踪训练1已知x0，y0，且xy1，求证：9.证明方法一x0，y0，1xy2.xy.111189.当且仅当xy时等号成立方法二xy1，x0，y0，525229.当且仅当xy时，等号成立类型二分析法证明不等式例2若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglgalgblgc.证明要证lglglglg alg blg c，即证lglg(abc)成立，只需证abc成立又0，0，0，abc0.(*)又a，b，c是不全相等的正数，(*)式等号不成立，原不等式成立跟踪训练2已知x0，y0，求证：(x2y2)(x3y3).证明要证明(x2y2)(x3y3)，只需证(x2y2)3(x3y3)2.即证x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6，即证3x4y23x2y42x3y3.x0，y0，x2y20.即证3x23y22xy.3x23y2x2y22xy，3x23y22xy成立(x2y2)(x3y3).类型三分析综合法证明不等式例3设a0，b0，且ab1，求证：.证明要证，只需证()26，即证(ab)226.ab1，只需证，即证ab.由a0，b0，ab1，得ab2，即ab成立原不等式成立跟踪训练3已知ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证：.证明要证，只需证a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)0，即证abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcacmbcmcm20，即证abc2abm(abc)m20.由于a，b，c是ABC的边长，m0，故有abc，即(abc)m20.所以abc2abm(abc)m20是成立的因此成立1若ab0，则下列不等式中成立的是()A.BabCbaD.答案C解析ab0，ab0，0，即0.ab.2已知函数f(x)x，a0，b0，ab，Af，Bf()，Cf，则A，B，C中最大的为_答案C解析a0，b0，ab，.又函数f(x)x在R上单调递减，ff()f，即ABC.3已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明因为x0，y0，所以1xy230,1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.4已知a，bR，且2cab，求证：cac.证明要证cac，只需证ac，即证|ac|，两边平方得a22acc2c2ab，即证a2ab2ac，即a(ab)2ac.a，bR，且ab2c，a(ab)2ac显然成立原不等式成立1综合法和分析法的比较(1)相同点：都是直接证明(2)不同点：综合法，由因导果，形式简洁，易于表达；分析法，执果索因，利于思考，易于探索2证明不等式的通常做法常用分析法找证题切入点，用综合法写证题过程一、选择题1设a，b0，A，B，则A，B的大小关系是()AABBABCABD大小不确定答案C解析A2B2(ab2)(ab)20，A2B2，又A0，B0，AB.2已知a，b，c为三角形的三边，且Sa2b2c2，Pabbcca，则()AS2PBPS2PCSPDPS2P答案D解析2S2P2a22b22c22ab2bc2ca(ab)2(ac)2(bc)20，当且仅当abc时，等号成立2S2P，即PS.S2Pa2b2c22ab2bc2ac.(ab)2c22bc2ac，又abc，S2Pc2c22bc2ac2c(cba)0恒成立，S2P0，综上PS2P.3若x，yR，且x2y21，则(1xy)(1xy)有()A最小值，而无最大值B最小值1，而无最大值C最小值和最大值1D最小值和最大值1答案D解析x2y22|xy|，0|xy|，0x2y2，(1xy)(1xy)1x2y2.4已知0a1b，下列不等式一定成立的是()Alogablogba20Blogablogba20Clogablogba20Dlogablogba20答案D解析0a1b，logab0.logab0.(logab)2，当且仅当0a1b，且ab1时等号成立2，即logab2.logablogba2，logablogba20.5设ba1，则()AaaabbaBaabaabCabaabaDabbaaa答案C解析ba1，0ab1，aab1，abaa.a，又01，a0，a1，aaba，abaaba.6设a，b，c，那么a，b，c的大小关系是()AabcBacbCbacDbca答案B解析由已知，可得出a，b，c，2，bca.二、填空题7若a0，b0，则下列两式的大小关系为：lg_lg(1a)lg(1b)答案解析lg(1a)lg(1b)lg(1a)(1b)lg(1a)(1b)，又lglg，a0，b0，a10，b10，(a1)(1b)，lglg(1a)(1b).即lglg(1a)lg(1b)8要使成立，则a，b应满足_答案ab0且ab或ab0且ab解析要使成立只需()3()3成立，即ab33ab成立，只需成立，只需ab2a2b成立，即ab(ba)0成立，可得ab0且ab或ab0且ab.9已知a0，b0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，是，的等差中项，则P，Q，R按从大到小的排列顺序为_答案PQR解析P，Q，RQP，当且仅当ab时取等号10设abc，且恒成立，则m的取值范围是_答案(，4解析abc，ab0，bc0，ac0.又(ac)(ab)(bc)22 4，当且仅当abbc时取等号m(，4三、解答题11已知ab0，求证：.证明要证原不等式成立，只需证ab2，即证2()22，因为ab0，所以ab0，0，所以只需证，即1，即证1，只需证1.ab0，1成立原不等式成立12已知a，b，c都是实数，求证：a2b2c2(abc)2abbcca.证明a，b，cR，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.将以上三个不等式相加，得2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca.在不等式的两边同时加上a2b2c2，得3(a2b2c2)(abc)2，即a2b2c2(abc)2.在不等式的两端同时加上2(abbcca)，得(abc)23(abbcca)，即(abc)2abbcca.由得a2b2c2(abc)2abbcca.13已知a，b，c都是正数，求证：23.证明方法一要证23，只需证ab2abc3，即2c3，移项，得c23.由a，b，c为正数，得c2c3成立原不等式成立方法二a，b，c是正数，c33，即c23.故2c3.ab2abc3.23.四、探究与拓展14分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明“设abc，且abc0，求证：0Bac0C(ab)(ac)0D(ab)(ac)0答案C解析要证a，只需证b2ac3a2，只需证b2ac3a20.abc0，acb，只需证(ac)2ac3a20，即证(ac)(ab)0.15已知实数a，b，c满足cba，abc1，a2b2c21，求证：1ab.证明abc1，欲证结论等价于11c，即证c0.又a2b2c21，则abc2c，又ab1c，由得a，b是方程x2(1c)xc2c0的两个不等实根，从而(1c)24(c2c)0，解得c1.cba，(ca)(cb)c2c(ab)abc2c(1c)c2c0，解得c0或c(舍)c0，即1ab.