资源描述
2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图内容要求1.理解用样本的频率分布估计总体分布的方法(难点)；2.会列频率分布表，画频率分布直方图、频率分布折线图(重点)；3.能够利用图形解决实际问题.知识点一频率分布表与频率分布直方图1.频率分布表当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布，我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表.2.频率分布直方图把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组的频率.这些矩形就构成了频率分布直方图.【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)制作频率分布表时，组距与组数的确定有固定的标准.()(2)频率分布直方图中，各小矩形的面积总和为1.()答案 (1)(2)知识点二频率分布折线图与总体密度曲线1.频率分布折线图如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到频率分布折线图，简称频率折线图.如图所示.2.总体分布的密度曲线如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，那么相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，我们称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线.如图所示.【预习评价】对于样本频率分布折线图与总体分布的密度曲线的关系，有下列说法：频率分布折线图与总体分布的密度曲线无关；频率分布折线图就是总体分布的密度曲线；样本容量很大的频率分布折线图就是总体分布的密度曲线；如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限趋于总体分布的密度曲线.其中正确的是_(填序号).解析总体分布的密度曲线通常都是用样本频率分布估计出来的.如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线就是总体分布的密度曲线.答案题型一基本概念的理解【例1】一个容量为n的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别为30和0.25，则n等于_.解析某一组的频率等于该组的频数与样本容量的比.由于0.25，所以n120.答案120规律方法频率，利用此式可知二求一.【训练1】一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为_组.答案9题型二频率分布表及其应用【例2】下表给出了从某校500名12岁男孩中利用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm)：区间界限122,126)126,130)130,134)134,138)138,142)人数58102233区间界限142,146)146,150)150,154)154,158人数201165(1)列出样本频率分布表；(2)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比.解(1)样本频率分布表如下：分组频数频率122,126)50.04126,130)80.07130,134)100.08134,138)220.18138,142)330.28142,146)200.17146,150)110.09150,154)60.05154,15850.04合计1201(2)由样本频率分布表可知身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.040.070.080.19，所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.规律方法1.绘制频率分布表的基本步骤：(1)求全距，决定组数和组距，组距；(2)分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；(3)登记频数，计算频率，列出频率分布表.2.(1)由频率的定义不难得出，各组数据的频率之和为1，因为各组数据的频数之和为样本容量，在列频率分布表时，可以利用这种方法检查是否有数据的丢失.(2)组数与样本容量有关，一般地，样本容量越大，分的组数也越多.当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分成512组.(3)在确定分组区间的端点，即分点时，应对分点进行适当调整，使分点比数据多一位小数，并确保每个数据均能落在一个区间内，而不是处于区间的端点.(4)组距与组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.【训练2】某中学40名男生的体重数据如下(单位：kg)：61605959595858575757575656565656565655555555545454545353525252525251515150504948请根据上述数据列相应的频率分布表.解(1)计算最大值与最小值的差，614813；(2)确定组距与组数，取组距为2，6，所以共分7组；(3)确定分点，使分点比数据多一位小数，并把第一小组分点减小0.5，即分成如下七组：47.5,49.5)，49.5,51.5)，51.5,53.5)，53.5,55.5)，55.5,57.5)，57.5,59.5)，59.5,61.5；(4)列出频率分布表如下：分组频数频率47.5,49.5)20.0549.5,51.5)50.12551.5,53.5)70.17553.5,55.5)80.2055.5,57.5)110.27557.5,59.5)50.12559.5,61.520.05合计401.00【例3】为了了解一大片经济林的生长情况，人们随机测量其中的100株树木的底部周长(单位：cm)，得到如下数据：135981021109912111096100103125 97 117 113 110 92 102 109 104 112105 124 87 131 97 102 123 104 104 128109 123 111 103 105 92 114 108 104 102129 126 97 100 115 111 106 117 104 109111 89 110 121 80 120 121 104 108 118129 99 90 99 121 123 107 111 91 10099 101 116 97 102 108 101 95 107 101102 108 117 99 118 106 119 97 126 108123 119 98 121 101 113 102 103 104 108(1)列出频率分布表；(2)绘制频率分布直方图、频率分布折线图.解(1)从数据中可以看出，这组数据的最大值为135，最小值为80，故极差为55，可将其分为11组，组距为5.列频率分布表如下：分组频数频率80,85)10.0185,90)20.0290,95)40.0495,100)140.14100,105)240.24105,110)150.15110,115)120.12115,120)90.09120,125)110.11125,130)60.06130,13520.02合计1001.00(2)画频率分布直方图、频率分布折线图如图所示.【迁移1】为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为24171593，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率约是多少？解(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为0.08.因为第二小组的频率，所以样本容量150.(2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为100%88%.【迁移2】200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在50,60)内的汽车有_辆.解析因为小长方形的面积即为对应的频率，时速在50,60)内的频率为0.3，所以有2000.360(辆).答案60【迁移3】为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000 人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值).现按月收入分层，用分层抽样的方法在这20 000 人中抽出200 人进一步调查，则月收入在1 500,2 000)(单位：元)的应抽取_人.解析月收入在1 500,2 000)的频率为1(0.000 20.000 520.000 30.000 1)5000.2，故应抽取2000.240(人).答案40规律方法1.频率分布直方图的性质：(1)因为小矩形的面积组距频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.(3)样本容量.2.频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.课堂达标1.已知一个容量是40的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是5,6,7,10，第五组的频率是0.2，那么第六组的频数是_，频率是_.解析因为频率，所以频数频率样本容量，因为第五组的频率是0.2，样本容量是40，所以频数是0.2408，所以第六组的频数是40(567108)4，所以第六组的频率是0.1.答案40.12.某种树木的底部周长的取值范围是80,130，它的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有_株树木的底部周长小于100 cm.解析由题意知在抽测的60株树木中，底部周长小于100 cm的株数为(0.0150.025)106024.答案243.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为20,40)，40,60)，60,80)，80,100.若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是_.解析因为第一、第二小组的频率分别是0.005200.1,0.010200.2，所以低于60分的频率是0.10.20.3.设该班的学生人数为m，则0.3，所以m50.答案504.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12,13)，13,14)，14,15)，15,16)，16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为_.解析志愿者的总人数为50，所以第三组人数为500.36118，所以有疗效的人数为18612.答案125.下面是对一组数据的统计：范围频数累计频数频率频率累计10，8)38，6)66，4)174，2)282,0)250,2)200.202,4)0.134,6)86,8)988,100.02合计100(1)完成表格；(2)画出频率分布直方图.解由于样本数据已经给出，我们只要根据这些数据，按照列频率分布表的一般步骤操作即可.(1)表格如下：范围频数累计频数频率频率累计10，8)330.030.038，6)960.060.096，4)1780.080.174，2)28110.110.282,0)53250.250.530,2)73200.200.732,4)86130.130.864,6)9480.080.946,8)9840.040.988,1010020.021合计1001.00(2)频率分布直方图如图所示：课堂小结1.总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.2.当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图.基础过关1.已知样本7,10,14,8,7,12,11,10,8,10,13,10,8,11,8,9,12,9,13,20，那么这组数据落在8.5,11.5)内的频率为_.解析样本的总数为20，数据落在8.5,11.5)内的个数为8，故所求频率为0.4.答案0.42.一个样本的容量为72，分成5组，已知第一、五组的频数都为8，第二、四组的频率都为，则第三组的频数为_.解析因为频率，所以第二、四组的频数都为7216.所以第三组的频数为722821624.答案243.如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在15,20)内的频数为_.解析样本数据落在15,20内的频数为10015(0.040.1)30.答案304.为了解宿迁市高三学生的身体发育情况，抽查了宿迁市100名高三男生的体重.根据抽样测量后的男生体重(单位：kg)数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间56.5,64.5)的人数是_.解析根据频率分布直方图可知组距为2，体重值在区间56.5,64.5)内的频率为(0.030.050.050.07)20.4，体重值在区间56.5,64.5)内的人数为1000.440.答案405.对某种电子元件使用寿命跟踪调查所得样本频率分布直方图如图.由图可知这一批电子元件中寿命在100300 h的电子元件的数量与寿命在300600 h的电子元件的数量的比是_.解析由题意知数量的比即为所对应的小矩形的面积和之比，即100110014.答案146.如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在15,18)内频数为8.(1)求样本在15,18)内的频率；(2)求样本容量；(3)若在12,15)内的小矩形面积为0.06，求在18,33)内的频数.解由样本频率分布直方图可知组距为3.(1)由样本频率分布直方图得样本在15,18)内的频率为3.(2)样本在15,18)内频数为8，由(1)可知样本容量为850.(3)在12,15)内的小矩形面积为0.06，故样本在12,15)内的频率为0.06，故样本在15,33)内的频数为50(10.06)47，又在15,18)内频数为8，故在18,33)内的频数为47839.7.新华中学高三年级参加市一轮验收考试的同学有1 000人，用系统抽样法抽取了一个容量为200的学生总成绩的样本，分数段及各分数段人数如下(满分750分)：分数段/分250,350)350,450)450,550)550,650)650,750人数2030804030(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)一批本科模拟上线成绩为550分，试估计该校的一批本科上线人数.解(1)频率分布表如下：分数段/分频数频率250,350)200.10350,450)300.15450,550)800.40550,650)400.20650,750300.15合计2001.00(2)频率分布直方图如图(3)由频率分布表知，在样本中成绩在550分以上的人数的频率为0.200.150.35.由此可以估计，该校一批本科模拟上线人数约为0.351 000350(人).能力提升8.某中学举行的电脑知识竞赛，满分100分，80分以上为优秀，现将高一两个班参赛学生的成绩整理后分成五组，绘制成频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组频率分别为0.30,0.05,0.10,0.05.第二小组频数为40，则参赛的人数和成绩优秀的频率分别为_.解析第二小组的频数为40，第二小组的频率为10.300.050.100.050.50，参赛人数为80，第四，五小组的频率为0.100.050.15.答案80,0.159.某路段检查站监控录像显示，在某段时间内有2 000辆车通过该站，现随机抽取其中的200辆进行车速分析，分析结果表示为如图所示的频率分布直方图，则图中a_，估计在这段时间内通过该站的汽车中速度不小于90 km/h的约有_辆.解析由于本题中的组距为10，所以直方图中5组的频率分别为0.1,10a,0.4,0.25和0.05，由频率和为1可得a0.02.样本中不小于90 km/h的汽车所占的频率为0.250.050.3，故在这段时间内通过该站的汽车中速度不小于90 km/h的约有2 0000.3600(辆).答案0.0260010.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示.(1)直方图中x的值为_；(2)在这些用户中，用电量落在区间100,250)内的户数为_.解析(1)第一组的频率为0.002 4500.12，第二组的频率为0.003 6500.18，第三组的频率为0.006 0500.3，第五组的频率为0.002 4500.12，第六组的频率为0.001 2500.06，所以第四组的频率为10.120.180.30.120.060.22，所以x0.22500.004 4.(2)用电量落在区间100,250)内的户数为第二、三、四组的数据，所以(0.180.30.22)1000.710070.答案(1)0.004 4(2)7011.某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96,106，样本数据分组为96,98)，98,100)，100,102)，102,104)，104,106，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是_.解析样本中产品净重小于100克的频率为(0.0500.100)20.3，频数为36，样本总数为120.样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.1000.1500.125)20.75，样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为1200.7590.答案9012.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155,160)，第二组160,165)，第八组190,195，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm以上(含180 cm)的人数.解(1)第六组的频率为0.08，所以第七组的频率为10.085(0.00820.0160.0420.06)0.06.(2)身高在第一组155,160)的频率为0.00850.04，身高在第二组160,165)的频率为0.01650.08，身高在第三组165,170)的频率为0.0450.2，身高在第四组170,175)的频率为0.0450.2，由于0.040.080.20.320.5,0.040.080.20.20.520.5，估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m cm，则170m175.由0.040.080.2(m170)0.040.5，得m174.5.所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5 cm.由(1)和直方图得后三组的频率为0.080.060.00850.18，故身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为0.18800144.13.(选做题)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm时，则视为合格品，否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：分组频数频率3，2)0.102，1)8(1,20.50(2,310(3,4合计501.00(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置；(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3内的频率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品.据此估算这批产品中的合格品的件数.解(1)如下表所示频率分布表.分组频数频率3，2)50.102，1)80.16(1,2250.50(2,3100.20(3,420.04合计501.00(2)由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3内的频率约为0.500.200.70.(3)设这批产品中的合格品数为x件，依题意，解得x201 980.所以该批产品的合格品件数是1 980.
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