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2.3.2圆的一般方程1曲线x2+y2+22x-22y=0关于()A.直线x=2对称B.直线y=-x对称C.点(-2,2)中心对称D.点(-2,0)中心对称解析：将圆方程化为标准方程得(x+2)2+(y-2)2=4.圆心(-2,2)在直线y=-x上,故圆关于直线y=-x对称.故选B.答案：B2若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值是()A.-1B.2C.-1或2D.1解析：由a2=a+2,2aa22-4aa20,可得a=-1或a=2(舍).答案：A3过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是()A.y=3xB.y=-3xC.y=33xD.y=-33x解析：设直线方程为y=kx,因为圆心(-2,0)到直线kx-y=0的距离等于圆的半径1,所以|-2k-0|k2+1=1,解得k=33.又因为切点在第三象限,所以k=-33舍去.所以所求直线的方程为y=33x.答案：C4点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-1)2=1解析：设圆上任意一点的坐标为(x1,y1),其与点P连线的中点为(x,y),则x=x1+42,y=y1-22,即x1=2x-4,y1=2y+2,代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.答案：A5圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是()A.36B.18C.62D.52解析：x2+y2-4x-4y-10=0(x-2)2+(y-2)2=18,即圆心为(2,2),半径为32.由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为102=52,由数形结合思想可得:该圆上的点到已知直线的距离的最小值为22,最大值为82,故所求距离之差为62.答案：C6已知A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点,则这四点()A.共线B.不共面C.共圆D.不共圆解析：设经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有1+16+D+4E+F=0,4+9-2D+3E+F=0,16+25+4D-5E+F=0,解得D=-2,E=2,F=-23,所以经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0,将点D(4,3)的坐标代入上述方程有42+32-24+23-23=0,所以点D在此圆上,故A,B,C,D四点共圆.答案：C7已知A(-2,0),B (0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则ABC的面积的最大值为()A.3-2B.4-2C.6-22D.3+2解析：要使ABC的面积最大,即要求点C到AB的距离最大,亦即求圆上的点到直线AB距离的最大值,应为圆心到直线AB的距离d与半径r之和.由于圆心C(1,0)到直线AB:x-y+2=0的距离d为|1-0+2|2=322,即C到AB的距离的最大值为322+1,故ABC的面积的最大值为|AB|322+1=3+2.答案：D8设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1),则直线AB的方程是.解析：直线AB与点P和圆心所确定的直线垂直,由点斜式可得.答案：x+y-4=09圆x2+y2-2x-K2+2K-2=0的面积的最小值是.解析：圆的方程可化为(x-1)2+y2=K2-2K+3,因此其半径为K2-2K+3,圆的面积S=(K2-2K+3)2=(K2-2K+3)=(K-1)2+2,故当K=1时,圆的面积最小,最小值为2.答案：210判断下列方程表示什么图形.(1)x2+y2=0;(2)x2+y2-2x-2y-3=0;(3)x2+y2+2ax+2by=0.解(1)因为x2+y2=0,所以x=0,且y=0.即方程表示一个点(0,0).(2)原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5,即方程表示圆心为(1,1),半径为5的圆.(3)原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=a2+b2,当a=b=0时,方程表示一个点(0,0);当a2+b20时,方程表示圆心为(-a,-b),半径为a2+b2的圆.11已知过点M(-1,1)的直线l被圆C:x2+y2-2x+2y-14=0所截得的弦长为43,求直线l的方程.解由圆的方程可求得圆心C的坐标为(1,-1),半径为4,因为直线l被圆C所截得的弦长为43,所以圆心C到直线l的距离为2.(1)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,此时点C到l的距离为2,可求得弦长为43,符合题意.(2)若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-1=k(x+1),即kx-y+k+1=0,因为圆心C到直线l的距离为2,所以|k+1+k+1|k2+1=2,所以k2+2k+1=k2+1,所以k=0,所以直线l的方程为y=1.综上(1)(2)可得:直线l的方程为x=-1或y=1.12某圆拱桥的示意图如图,该圆拱的跨度AB是16 m,拱高OP是4 m,在建造时,每隔2 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度.分析：建立适当的坐标系,以线段AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系,设出圆的一般方程,代入点的坐标即可求出.解以线段AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系,那么点A,B,P的坐标分别为(-8,0),(8,0),(0,4),设圆拱所在的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.点A,B,P在所求的圆上,则代入坐标得(-8)2-8D+F=0,82+8D+F=0,42+4E+F=0,解得D=0,E=12,F=-64.圆拱所在的圆的方程为x2+y2+12y-64=0.将点P2的横坐标x=2代入圆的方程,解得y1=-6-46(舍)或y2=-6+46.答:支柱A2P2的长为(46-6) m.
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