2018-2019学年高中数学 第一章 解三角形 专题1.1.2 余弦定理试题 新人教A版必修5.doc

1.1.2 余弦定理1余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即，2余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论，_；_3余弦定理与勾股定理从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是_；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是_；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是_从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广4正弦定理与余弦定理的关系（1）正弦定理和余弦定理都从不同的角度刻画了三角形边角之间的数量关系，它们是解决斜三角形问题的两个最重要的定理 （2）在同一个三角形中，正弦定理和余弦定理又是等价的，即由正弦定理可以推出余弦定理，由余弦定理同样也可以推出正弦定理（同学们可以自己尝试证明一下）因此，在解三角形时，凡是能用正弦定理求解的三角形，必能用余弦定理求解，反之亦然我们把正弦定理和余弦定理结合起来应用，就能很好地解决三角形的问题K知识参考答案：1 2 3直角 钝角 锐角K重点利用余弦定理解三角形K难点综合运用正、余弦定理解三角形及三角形形状的判断K易错解三角形时，除了保证三边长均为正数，还应判断三边能否构成三角形解三角形问题的常见类型与解法正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素（三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素），如果其中三个元素是已知的（至少要有一个元素是边），那么这个三角形一定可解斜三角形的解法可以归纳为以下四种类型：1已知两角及其中一角的对边，如已知【一解】（上节内容，此处不再赘述）2已知两边及其夹角，如已知【一解】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，5，4，120，则_【答案】【解析】由余弦定理，得=，故，所以【解题技巧】已知两边及其夹角的解题步骤：（1）由求；（2）由求；（3）由求【名师点睛】求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论（因为正弦函数在区间上是不单调的），应先求较小边所对的角，因为它必是锐角3已知三边【一解】在中，已知，则_【答案】【解析】由余弦定理的推论，得 所以，由余弦定理的推论，得所以，所以【解题技巧】此类问题可以连续用余弦定理的推论求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由求第三个角；或者由余弦定理的推论求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但应先求较小边所对的角（因为较小的角必定为锐角）4已知两边及其中一边的对角，如已知【两解、一解或无解】已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则_【答案】或【解析】方法1： 利用正弦定理求解，此处不再赘述方法2：由余弦定理，得，整理得解得或【解题技巧】此类问题的求解步骤：方法1：根据正弦定理经讨论求；求出后，由求；由求；方法2：可以根据余弦定理，列出以边为未知数的一元二次方程，根据一元二次方程的解法求边，然后应用正弦定理或余弦定理求其他元素判断三角形的形状判断三角形的形状有以下几种思路：（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”；（2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【答案】B【解析】方法1（化角为边）：由余弦定理可得，即 故为等腰三角形故选B方法2（化边为角）：由正弦定理可得，又，所以，化简可得即，由，可得，即，故为等腰三角形故选B忽略三边不能构成三角形导致错误已知是钝角三角形的三边，求实数的取值范围【错解】因为是三角形的三边，所以，所以是三角形的最大边，设其所对的角为（钝角），则，化简得，解得又，所以故实数的取值范围为【错因分析】错解中只能保证都是正数，而要表示三角形的三边，还需满足三角形的隐含条件“两边之和大于等三边”【正解】因为是三角形的三边，所以，即，所以是三角形的最大边，设其所对的角为（钝角），则，化简得，解得要使构成三角形，需满足，即综合，可得故实数的取值范围为【名师点睛】在利用余弦定理求三角形的三边时，除了要保证三边长均为正数，还要判断一下三边能否构成三角形1在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，a，b1，则cA1BC2D12在中，已知，则a等于AB6C或6D3在中，若AB，AC5，且cosC，则BC的长为A4B5C4或5D34在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB3CD5在中，则ABCD6边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为A90B120C135D1507在中，若，则最大角的余弦值是ABCD8在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则ABCD与的大小关系不能确定9已知中，则_10在中，则的外接圆的直径为_11若钝角三角形的三边长分别是，则_12在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_13在中，C2A，ac5，cosA，求b的值14在中，角A，B，C的对边为a，b，c，且（1）求角A的大小；（2）若，求bc的值15在中，B，AB，BC3，则sin AABCD16的三个内角满足：，则ABCD或17在中，如果，那么等于ABCD18在中，三边上的高依次为，则为A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不存在这样的三角形19在中，已知(角A，B，C的对边分别为a，b，c)，则是_三角形20如图，在三角形中，以为直角顶点向外作等腰直角三角形，当变化时，线段的长度的最大值为_21如图所示，在中，点在线段上，且，则_22的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinBbcos2Aa（1）求的值；（2）若c2b2a2，求B23在中，角，的对边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若角，求的值24（2018新课标全国理）在中，则ABCD25（2018浙江）在中，角，所对的边分别为，若，则_，_26（2018新课标全国理）在平面四边形中，（1）求；（2）若，求27（2018天津文理）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知（1）求角B的大小；（2）设，求和的值28（2017天津文）在中，内角，所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）求的值29（2017天津理）在中，内角，所对的边分别为，已知，（1）求和的值；（2）求的值30（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32cm，容器的底面对角线AC的长为10cm，容器的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm分别在容器和容器中注入水，水深均为12cm现有一根玻璃棒l，其长度为40cm（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将放在容器中，的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度； （2）将放在容器中，的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度1【答案】D【解析】由余弦定理可得，故选D2【答案】A【解析】由余弦定理得48122()84，所以故选A3【答案】C【解析】设BCx，由余弦定理可得即解得，所以BC的长为4或5故选C4【答案】A【解析】，则，故选A7【答案】C【解析】由余弦定理得，解得，可知角最大，则故选C8【答案】A【解析】由余弦定理知，则，即，则，所以，所以，故选A11【答案】2【解析】设边长为的边所对的角为，则，又，所以，所以，又，所以12【答案】或【解析】因为，所以，即，所以或13【答案】【解析】由正弦定理，得，又ac5，a2，c3由余弦定理a2b2c22bccosA，得，b2或当b2时，a2，AB又C2A，且ABC，与已知矛盾，不合题意，舍去当b时，满足题意14【答案】（1）60；（2）3【解析】（1）因为，所以根据正弦定理可得，因为，所以，又0A0，故cosB，B4523【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以由正弦定理可得，即，结合余弦定理可得，又，所以（2）因为，所以，故由正弦定理可得24【答案】A【解析】设角，所对的边分别为，因为，所以，所以，故选A26【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，由正弦定理得由题设知，所以由题设知，所以（2）由题设及（1）知在中，由余弦定理得，所以27【答案】（1）；（2），【解析】（1）在中，由正弦定理可得，又由可得，即，化简可得又，所以28【答案】（1）；（2）【思路分析】（1）首先根据正弦定理得到，再根据余弦定理即可求得的值；（2）根据（1）的结论和条件，由求得，然后根据求得，再求，然后由二倍角公式求，最后代入的展开式即可【解析】（1）由及，得由及余弦定理，得（2）由（1）可得，代入，得由（1）知A为钝角，所以于是，故【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值；（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题29【答案】（1），；（2）（2）由（1）及，得，所以，故30【答案】（1）16；（2）20【解析】（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，记玻璃棒的另一端落在上点处因为，所以，从而，如图，记与水面的交点为，过作P1Q1AC，Q1为垂足，则P1Q1平面ABCD，故P1Q1=12，从而AP1=答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心由正棱台的定义，OO1平面EFGH，所以平面E1EGG1平面EFGH，O1OEG同理，平面E1EGG1平面E1F1G1H1，O1OE1G1记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处，过G作GKE1G1，K为垂足，则GK =OO1=32因为EG = 14，E1G1= 62，所以KG1=，从而设则因为，所以在中，由正弦定理可得，解得因为，所以于是记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2EG，Q2为垂足，则P2Q2平面EFGH，故P2Q2=12，从而EP2=答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)