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第五章 数列单元过关检测(五) (120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知数列,5,那么15是数列的()A.第22项B.第23项C.第24项D.第25项【解析】选B.根据通项公式an=有=15,解得n=23.2.已知等比数列an的前n项和为Sn,且Sn=3n+a(nN*),则实数a的值是()A.-3B.3C.-1D.1【解析】选C.当n2时,an=Sn-Sn-1=23n-1,当n=1时,a1=S1=3+a,因为数列an是等比数列,所以3+a=2,解得a=-1.3.已知等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S5=25,则S7=()A.41B.48C.49D.56【解析】选C.设Sn=An2+Bn(A0),由题意知,解得所以S7=49.【变式备选】已知等差数列an的前13项之和为39,则a6+a7+a8=()A.6B.9C.12D.18【解析】选B.设等差数列an的公差为d,根据等差数列的求和公式可得:S13 =13a1+d=39,化简得:a1+6d=3,所以a6+a7+a8=a1+5d+a1+6d+a1+7d=3a1+18d=3(a1+6d)=33=9.【一题多解】本小题还可以采用以下解法:选B.由等差数列的性质得S13=13a7=39,所以a7=3,所以a6+a7+a8=3a7=9.4.(2018长沙模拟)等差数列an的前n项和为Sn,且a1m时,Sn与an的大小关系是()A.SnanD.大小不能确定【解析】选C.由题意得公差d0,且am0,所以当nm时,Sn-an=Sn-Sm+am-an=am+am+1+an-10,所以Snan.5.数列an满足an+1=若a1=,则a2 018的值是()A.B.C.D.【解析】选D.由数列的递推公式及首项a1=可得a2=,a3=,a4=,所以数列具有周期性,所以a2 018=a2=.6.若an是由正数组成的等比数列,其前n项和为Sn,已知a1a5=1且S3=7,则S7=()A.B.C.D.【解析】选C.由an0,且a1a5=1,得a3=1.由S3=7,得+a3=7,即+=6,又q0,解得q=.所以S7=S3+a3q+a3q2+a3q3+a3q4=7+=.7.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且对于任意n1,nN*,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),则S10的值为()A.91B.90C.55D.54【解析】选A.由Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)得Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2即an+1=an+2,所以an=即数列从第二项起为等差数列,公差为2,所以S10=1+92+2=91.8.(2018重庆模拟)在数列an中,已知an=(nN*),则an的前n项和Sn=()A.-B.C.D.【解析】选D.由an=,Sn=(-+-+-+-+-)=.9.在等差数列an中,a10,a2 012+a2 0130,a2 012a2 0130成立的最大自然数n是 ()A.4 025B.4 024C.4 023D.4 022【解析】选B.an为等差数列,a10,a2 012+a2 0130,a2 012a2 0130,a2 0130,所以d0.因为S4 025=,a1+a4 025=2a2 013.所以S4 0250成立的最大自然数n是4 024.10.(2018临川模拟)我国古代数学名著九章算术中,有已知长方形面积求一边的算法(“少广”算法),其方法的前两步如下.第一步:构造数列1, ,.第二步:将数列的各项乘以,得到一个新数列a1,a2,a3,an.则a1a2+a2a3+a3a4+an-1an等于()A.B.C.D.【解析】选C.由题意,所得新数列为1,所以a1a2+a2a3+a3a4+an-1an=+=+(-)=.11.(2018杭州模拟)设an是等差数列,bn是等比数列,且a1=b1=1,a2 017=b2 017=2 017,则下列结论正确的是()A.a1 008a1 009B.a2 016b2 016C.nN*,1nbnD.n0N*,1n02 017,使得=【解析】选C.A项,an是等差数列,a1=1,a2 017=2 017,所以数列单调递增,错误;因为等差数列的图象为一次函数上孤立的点,而等比数列为指数函数上孤立的点,且由题意两个函数分别单调递增,故画出相对应的函数图象,一条直线与一条下凸的曲线,在自变量n取1和2 017时有交点,因此在1nbn,n2 017时,an0,所以an+1=3an,又因为a1=2,所以数列an是首项为2,公比为3的等比数列,所以数列an的前n项和Sn=3n-1.答案:3n-115.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形边上再连接正方形,如此继续,若共得到1 023个正方形,设初始正方形的边长为,则最小正方形的边长为_.【解析】设1+2+4+2n-1=1 023,即=1 023,2n=1 024,n=10.正方形边长构成数列,其中第10项为=,即所求最小正方形的边长为.答案:16.已知an是等差数列, d为其公差, Sn是其前n项和,若只有S4是数列Sn中的最小项,则可得出的结论中正确的是_.d0,a40,S70.【解析】Sn=na1+d,因为只有S4是Sn中的最小项,所以因为a4=a1+3d,a5=a1+4d,所以-da1+3d0,0a1+4dd,即a40.S7=7a1+d=7(a1+3d)=7a40.S8=8a1+d=4(2a1+7d),由-4da1-3d可得-d2a1+7dd,即-4dS80,则解得:或(舍去)所以an=2n+1.(2)因为bn+1-bn=an+1且an=2n+1,所以bn+1-bn=2n+3,当n2时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=(2n+1)+(2n-1)+5+3=n(n+2),当n=1时,b1=3满足上式,所以bn=n(n+2),所以=所以Tn=+=+(-)+=-.19.(12分)(2018武汉模拟)已知Sn是等比数列an的前n项和,S3+2,S9+2,S6+2成等差数列且a2+a5=4.(1)求数列an的公比q.(2)设bn=log2|an|,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设等比数列an的公比为q,当q1时,因为S3+2,S9+2,S6+2成等差数列,且a2+a5=4,所以2(S9+2)=S6+2+S3+2,a1(q+q4)=4.所以2=+,化为(2q3+1)(q3-1)=0,解得:q3=-,a2=8,当q=1时,不满足条件,舍去,所以q=-.(2)由(1)可得an=a2qn-2=(-1)n-2.bn=log2|an|=当n11时,数列bn的前n项和Tn=.当n12时,数列bn的前n项和Tn=T11+=+-11(n-11)=.20.(12分)已知数列an,bn,Sn为数列an的前n项和,a2=4b1,Sn=2an-2,nbn+1-(n+1)bn=n2+n(nN*)(1)求数列an的通项公式.(2)证明为等差数列.(3)若数列的通项公式为cn=令Tn为的前n项的和,求T2n.【解析】(1)当n1时,an=2an-2an-1=2,当n=1时,S1=2a1-2a1=2,综上,an是首项为2,公比为2的等比数列,an=2n.(2)因为a2=4b1,所以b1=1,因为nbn+1-(n+1)bn=n2+n,所以-=1综上,是首项为1,公差为1的等差数列.(3)由(2)得,=1+n-1bn=n2.令pn=c2n-1+c2n=-+=(4n-1)22n-2=(4n-1)4n-1,T2n=340+741+1142+(4n-1)4n-1,4T2n=341+742+1143+(4n-5)4n-1+(4n-1)4n,-,得-3T2n=340+441+442+44n-1-(4n-1)4n,-3T2n=3+-(4n-1)4n,T2n=+4n.【变式备选】已知an是单调递增的等差数列,首项a1=3,前n项和为Sn,数列是等比数列,首项b1=1,且a2b2=12,S3+b2=20.(1)求数列an和的通项公式.(2)设cn=anbn,求数列的前n项和Tn.【解析】(1)设数列an的公差为d,数列bn的公比为q,则由题意得:解得:d=-,q=18或d=3,q=2.因为an是单调递增的等差数列,所以d0,所以d=3,q=2,所以an=3+(n-1)3=3n,bn=2n-1.(2)cn=anbn=3n2n-1,则Tn=3120+3221+3322+3(n-1)2n-2+3n2n-1,又因为2Tn=3121+3222+3(n-1)2n-1+3n2n,所以-Tn=3+3(21+22+2n-1)-3n2n,=3-3n2n=32n-3-3n2n=-3-32n(n-1),所以Tn=3+32n(n-1).21.(12分)(2018成都模拟)已知等比数列an的各项均为正数,a1=1,公比为q;等差数列bn中,b1=3,且bn的前n项和为Sn,a3+S3=27,q=.(1)求an与bn的通项公式.(2)设数列cn满足cn=,求cn的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列bn的公差为d,因为所以解得所以an的通项公式为an=3n-1,bn的通项公式为bn=3n.(2)由题意得:Sn=,所以数列cn的通项公式为cn=3,所以cn的前n项和为Tn=3+=.22.(12分)(2018北京师大附中)设数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=nan- 3n(n-1)(nN*).(1)求数列an的通项公式an.(2)是否存在正整数n,使得+-(n-1)2=2 016?若存在,求出n值;若不存在,说明理由.【解析】(1)Sn=nan-3n(n-1)(nN*),所以当n2时,Sn-1=(n-1)an-1-3(n-1)(n-2),两式相减得:an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-3(n-1)即(n-1)an=(n-1)an-1+6(n-1),也即an-an-1=6,所以an是首项为1,公差为6的等差数列,所以an=6n-5.(2)Sn=nan-3n(n-1)=n(6n-5)-3n(n-1)=3n2-2n,所以=3n-2,+=3(1+2+3+n)-2n=-2n=n2-n,所以+-(n-1)2=n2-n-(n-1)2=-=2 016,所以5n=4 035,所以n=807,即当n=807时,+-(n-1)2=2 016.
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