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专题八选修4系列(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号极坐标与参数方程1,2,3,6绝对值不等式的解法5绝对值不等式恒成立(或有解)问题4,51.(2018开封市模拟)在直角坐标系xOy中,直线C1的参数方程为x=tcos,y=tsin(t为参数),圆C2:(x-2)2+y2=4,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程和交点A的坐标(非坐标原点);(2)若直线C3的极坐标方程为=4(R),设C2与C3的交点为B(非坐标原点),求OAB面积的最大值.解:(1)由x=tcos,y=tsin得y=xtan ,由x=cos ,y=sin 得=(R),所以C1:=(R).将x=cos ,y=sin 代入(x-2)2+y2=4得C2:=4cos .联立C1,C2的方程,得=,=4cos,故交点A的坐标为(4cos ,).(写出直角坐标同样给分)(2)联立C2,C3的极坐标方程,得=4,=4cos,故B(22,4).所以SOAB=|12224cos sin(4-)|=|22sin(2-4)-2|22+2,故OAB的面积的最大值是22+2.2.(2018广州市普通高中综合测试)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1-12t,y=32t(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2(1+2sin2)=a (a0).(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若l与C相交于A,B两点,且|AB|=235,求a的值.解:(1)由x=1-12t,y=32t,消去t,得直线l的普通方程为y=-3(x-1),即3x+y-3=0.由2(1+2sin2)=a,得2+22sin2=a,把2=x2+y2,sin =y代入上式,得x2+3y2=a,所以曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=a(a0).(2)法一把x=1-12t,y=32t代入x2+3y2=a,得5t2-2t+2-2a=0.(*)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,得t1+t2=25,t1t2=2-2a5,|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=(25)2-42-2a5=210a-95.因为|AB|=235,所以210a-95=235,解得a=65.此时(*)式的判别式=4-45(2-265)=120,所以a的值为65.法二由y=-3x+3,x2+3y2=a,消去y,得10x2-18x+9-a=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),得x1+x2=95,x1x2=9-a10,|AB|=(1+3)(x1+x2)2-4x1x2=4(8125-49-a10)=210a-95.因为|AB|=235,所以210a-95=235,解得a=65.此时(*)式的判别式=182-410(9-65)=120,所以a的值为65.3.(2018湖南省湘东五校联考)在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为sin2-cos =0,M(1,2).以极点O为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系.斜率为-1的直线l过点M,且与曲线C交于A,B两点.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;(2)求点M到A,B两点的距离之积.解:(1)由sin2-cos =0得2sin2=cos ,所以y2=x,故曲线C的直角坐标方程为y2=x.直线l的参数方程为x=tcos 34,y=1+tsin 34(t为参数),即x=-22t,y=1+22t(t为参数).(2)将直线l的参数方程x=-22t,y=1+22t(t为参数)代入曲线C的方程得t2+32t+2=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-32,t1t2=2,由t的几何意义知|MA|MB|=|t1|t2|=|t1t2|=2.4.(2018全国卷)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x0,+)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值.解:(1)f(x)=-3x,x-12,x+2,-12x1,3x,x1.y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a3且b2时,f(x)ax+b在0,+)上成立,因此a+b的最小值为5.5.(2018石家庄市重点高中摸底考试)已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x-1|+a.(1)当a=0时,解不等式f(x)g(x);(2)若对任意的xR,都有f(x)g(x)成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=0时,由f(x)g(x)得|2x+1|x-1|,两边平方,整理得x2+2x0,解得x0或x-2,所以原不等式的解集为(-,-20,+).(2)由f(x)g(x)得a|2x+1|-|x-1|,令h(x)=|2x+1|-|x-1|,则h(x)=-x-2,x-12,3x,-12x1,x+2,x1,所以h(x)min=h(-12)=-32.故所求实数a的取值范围为(-,-32.6.在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为=4(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.解:(1)因为x=cos ,y=sin ,所以C1的极坐标方程为cos =-2,C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +4=0.(2)将=4代入2-2cos -4sin +4=0,得2-32+4=0,解得1=22,2=2.故1-2=2,即|MN|=2.由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为12.
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