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第17讲坐标系与参数方程1.已知直线l的参数方程为x=1+12t,y=3+3t(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的方程为sin -3cos2=0.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标.2.(2018安徽联考)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为2-22sin-4-2=0,曲线C2的极坐标方程为=4,C1与C2相交于A,B两点.(1)把C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程,并求点A,B的直角坐标;(2)若P为C1上的动点,求|PA|2+|PB|2的取值范围.3.(2018沈阳质量检测(一)设过平面直角坐标系的原点O的直线与圆(x-4)2+y2=16的一个交点为P,M为线段OP的中点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求点M的轨迹C的极坐标方程;(2)设点A的极坐标为3,3,点B在曲线C上,求OAB面积的最大值.4.(2018福州质量检测)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos-6=2.已知点Q为曲线C1上的动点,点P在线段OQ上,且满足|OQ|OP|=4,动点P的轨迹为C2.(1)求C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为2,3,点B在曲线C2上,求AOB面积的最大值.5.(2018郑州第二次质量预测)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为2,4,直线l的极坐标方程为cos-4=a,且l过点A,曲线C1的参数方程为x=2cos,y=3sin(为参数).(1)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值;(2)过点B(-1,1)且与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M,N两点,求|BM|BN|的值.6.(2018课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.7.(2018武汉调研测试)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=4cos,y=2sin(为参数),直线l的参数方程为x=t+3,y=2t-23(t为参数),直线l与曲线C交于A,B两点.(1)求|AB|;(2)若F为曲线C的左焦点,求FAFB的值.8.(2018潍坊统一考试)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2cos,y=2+2sin(为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为cos2=sin (0,00),Q的极坐标为(1,)(10),由题设,知|OP|=,|OQ|=1=2cos-6,由|OQ|OP|=4,得C2的极坐标方程为=2cos-6(0),因此C2的直角坐标方程为x-322+y-122=1,但不包括点(0,0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0),由题设知|OA|=2,B=2cos-6,于是AOB的面积S=12|OA|BsinAOB=2cos-6sin-3=2sin2-3432,当=0时,S可取得最大值32,所以AOB面积的最大值为32.5.解析(1)由直线l过点A可得2cos4-4=a,故a=2,则易得直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.根据点到直线的距离公式可得曲线C1上的点到直线l的距离d=|2cos+3sin-2|2=|7(sin+)-2|2,其中sin =277,cos =217,dmax=7+22=14+222.即曲线C1上的点到直线l的距离的最大值为14+222.(2)由(1)知直线l的倾斜角为34,则直线l1的参数方程为x=-1+tcos34,y=1+tsin34(t为参数).易知曲线C1的普通方程为x24+y23=1.把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得72t2+72t-5=0,设M,N对应的参数分别为t1,t2,t1t2=-107,根据参数t的几何意义可知|BM|BN|=|t1t2|=107.6.解析(1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,点A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,点A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.7.解析(1)由x=4cos,y=2sin(为参数),消去参数得x216+y24=1.由x=t+3,y=2t-23消去参数t得y=2x-43.将y=2x-43代入x2+4y2=16中,得17x2-643x+176=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=64317,x1x2=17617.所以|AB|=1+22|x1-x2|=1+417(643)2-417176=4017.(2)由(1)易知F(-23,0).FAFB=(x1+23,y1)(x2+23,y2)=(x1+23)(x2+23)+(2x1-43)(2x2-43)=x1x2+23(x1+x2)+12+4x1x2-23(x1+x2)+12=5x1x2-63(x1+x2)+60=517617-6364317+60=44.所以FAFB的值为44.8.解析(1)由题意可得曲线C1的普通方程为x2+(y-2)2=4,把x=cos ,y=sin 代入,得曲线C1的极坐标方程为=4sin ,由=4sin,cos2=sin,得4sin cos2=sin ,因为0,所以当sin =0时,=0,=0,得交点的极坐标为(0,0);当sin 0时,cos2=14,当cos =12时,=3,=23,得交点的极坐标为23,3,当cos =-12时,=23,=23,得交点的极坐标为23,23,C1与C2交点的极坐标为(0,0),23,3,23,23.(2)将=代入C1的极坐标方程中,得1=4sin ,代入C2的极坐标方程中,得2=sincos2,|OA|OB|=4sinsincos2=4cos2 ,63,14cos2 3,|OA|OB|的取值范围为1,3.
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