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第3课时用空间向量解决空间角与距离问题学习目标1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角和距离问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲知识点空间三种角的向量求法空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为，它们的方向向量分别为a，b，则cos|cosa，b|直线与平面所成的角设直线l与平面所成的角为，l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin|cosa，n|二面角设二面角l为，平面，的法向量分别为n1，n2，则|cos|cosn1，n2|0，(1)直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角互余()(2)二面角的大小范围是.()(3)二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小()(4)直线与平面所成角的范围是.()类型一求线线角、线面角例1(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成的角的余弦值为_考点向量法求直线与直线所成的角题点向量法求线线角答案解析如图所示，以C为坐标原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系Cxyz.设CACBCC11，则B(0,1,0)，M，A(1,0,0)，N，故，所以cos，.(2)如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M，N分别为PC，PB的中点求证：PBDM；求BD与平面ADMN所成的角考点向量法求直线与直线所成的角题点向量法求线线角证明如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，设BC1，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,1,0)，M.(2,0，2)0，PBDM.解(2,0，2)(0,2,0)0，PBAD.又PBDM，ADDMD，PB平面ADMN.即为平面ADMN的一个法向量因此，的余角即是BD与平面ADMN所成的角cos，且，0，BD与平面ADMN所成的角为.反思与感悟用向量法解决线线角、线面角问题时，首先需建立适当的坐标系，然后求解相应的向量表达式，再借助于空间向量的运算进行求解跟踪训练1(1)已知在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为()A.B.CD考点向量法求线线角题点向量法求线线角答案A解析A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，(0，2,2)，(0,1,2)，|2，|，0242，cos，又异面直线所成角的范围是，AB1与ED1所成角的余弦值为.(2)如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.证明：ABA1C；若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值考点向量法求线面角题点向量法求线面角证明取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.CACB，OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，OA1AB.OCOA1O，AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.解由知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，OC平面ABC，OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直以O为坐标原点，OA，OA1，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设AB2，则A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1,0,0)，则(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则即可取n(，1，1)故cosn，A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.类型二求二面角问题例2如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值考点向量法求二面角题点向量法求二面角解取BC的中点O，连接AO，因为ABC是正三角形，所以AOBC，因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，平面ABC平面BCC1B1BC，AO平面ABC，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，分别以OB，OO1，OA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)设平面A1AD的法向量为n(x，y，z)，(1,1，)，(0,2,0)因为n，n，所以得所以令z1，得n(，0,1)为平面A1AD的一个法向量又因为(1,2，)，(2,1,0)，(1,2，)，所以2200，1430，所以，即AB1BD，AB1BA1，且BDBA1B，所以AB1平面A1BD，所以是平面A1BD的一个法向量，所以cosn，又二面角AA1DB为锐二面角，所以二面角AA1DB的余弦值为.反思与感悟求角二面角时，可以用方向向量法，也可以采用法向量法求解跟踪训练2如图，PA平面ABC，ACBC，BC，PAAC1，求二面角APBC的余弦值考点向量法求二面角题点向量法求二面角解以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，取PB的中点D，连接DC，可知DCPB，作AEPB于点E，则向量与的夹角的大小为二面角APBC的大小A(1,0,0)，B(0，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)，D为PB的中点，D.在RtPAB中，由PABAEBPEA，得，E.，.又|，|1，cos，二面角APBC的余弦值为.1已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面的法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30B60C120D150考点向量法求线面角题点向量法求线面角答案A解析设l与所成的角为，则sin|cosm，n|.30.2已知二面角l的两个半平面与的法向量分别为a，b，若a，b，则二面角l的大小为()A.B.C.或D.或考点向量法求二面角题点向量法求二面角答案C解析由于二面角的范围是0，而二面角的两个半平面与的法向量都有两个方向，因此二面角l的大小为或，故选C.3在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为()A.BC.D考点向量法求解直线与平面所成的角题点向量法解决直线与平面所成的角答案A解析取AC的中点E，连接BE，则BEAC，以B为坐标原点，BE，BB1所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则A，D(0,0,1)，B(0,0,0)，E，则，.平面ABC平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1CAC，BEAC，BE平面ABC，BE平面AA1C1C，为平面AA1C1C的一个法向量设AD与平面AA1C1C所成角为，cos，sin |cos，|.4设a，b是直线，是平面，a，b，向量a在a上，向量b在b上，a(1,1,1)，b(3,4,0)，则，所成二面角中较小的一个角的余弦值为_考点向量法求二面角题点向量法求二面角答案解析设，所成二面角中较小的一个角为，由题意得，cos|cosa，b|.5已知等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值为_考点向量法求线线角题点向量法求线线角答案解析过C点作CO平面ABDE，垂足为点O，取AB的中点F，连接CF，OF，则CFO为二面角CABD的平面角设AB1，则CF，OFCFcosCFO，OC，且O为正方形ABDE的中心以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则E，M，A，N，cos，又异面直线所成角的范围是，EM，AN所成角的余弦值为.向量法求角(1)两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即cos|cos|.(2)直线与平面所成的角可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即sin|cos|或cossin.(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角一、选择题1在一个二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为()A.B.C.D.或考点向量法求二面角题点向量法求二面角答案D解析由，知这个二面角的余弦值为或，故选D.2已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A45B135C45或135D90考点向量法求面面角题点向量法求面面角答案C解析cosm，n，即m，n45.所以两平面所成二面角为45或18045135.3设直线l与平面相交，且l的方向向量为a，的法向量为n，若a，n，则l与所成的角为()A.B.C.D.考点向量法求线面角题点向量法求线面角答案C解析线面角的范围是.a，n，l与法向量所在直线所成角为，l与所成的角为.4若平面的一个法向量为n(4,1,1)，直线l的一个方向向量a(2，3,3)，则l与所成角的余弦值为()AB.CD.考点向量法求线面角题点向量法求线面角答案D解析设与l所成的角为，则sin |cosa，n|，故直线l与所成角的余弦值为.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为()A.B.C.D.考点向量法求线面角题点向量法求线面角答案C解析以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，(1,0,1)，(1,1,1)，(0,1，1)，(1,0，1)110，110.AC1A1B，AC1A1D.又A1BA1DA1，且A1B，A1D平面A1BD，AC1平面A1BD.是平面A1BD的一个法向量cos，.直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为.6.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90，则PMN的大小()A等于90B小于90C大于90D不确定考点向量法求线线角题点向量法求线线角答案A解析A1B1平面BCC1B1，故A1B1MN，()0，MPMN，即PMN90.7.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SASBSC，且ASBBSCCSA90，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为()AB.CD.考点向量法求线线角题点向量法求线线角答案B解析不妨设SASBSC1，以S为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，M，N.因为，所以|，|，cos，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为.二、填空题8如图，在长方形ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为_答案9在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_考点向量法求二面角题点向量法求二面角答案解析如图所示，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，设正方体的棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，所以(0,1，1)，.设平面A1ED的法向量为n1(1，y，z)，则即所以所以n1(1,2,2)平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，所以cosn1，n2，即所求的锐二面角的余弦值为.10.如图，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD90，且PAAD2，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为_考点向量法求线线角题点向量法求线线角答案解析以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，F(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)(1,2，1)，(2,2,0)，故cos，.11.如图，已知矩形ABCD与ABEF全等，D-AB-E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为，且cos.则AB与BC的边长之比为_答案2解析设ABa，BCb，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则相关各点坐标为F(b,0,0)，M，B(0，a,0)，D(0,0，b)，(0，a，b)，所以|，|，|cos，|，整理得，45260，解得2或(舍)所以.三、解答题12.如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AFABBCFEAD.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)证明：平面AMD平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值考点向量法解决二面角问题题点求二面角(1)解如图所示，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.设AB1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)，M，A(0,0,0)则(1,0,1)，(0，1,1)，于是cos，.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.(2)证明由，(1,0,1)，(0,2,0)，可得0，0.因此，CEAM，CEAD.又AMADA，AM平面AMD，AD平面AMD，故CE平面AMD.又CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.(3)解设平面CDE的法向量为u(x，y，z)，则即令x1，可得u(1,1,1)又由题设知，平面ACD的一个法向量为v(0,0,1)所以，cosu，v.因为二面角ACDE为锐角，所以其余弦值为.13.如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值；(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值；(3)求平面B1EDF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值考点向量法求面面角题点向量法求面面角解以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.(1)则A1(0,0，a)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，E，(a，a，a)，cos，故A1C与DE所成角的余弦值为.(2)连接DB1，ADEADF，AD在平面B1EDF内的射影在EDF的平分线上又B1EDF为菱形，DB1为EDF的平分线，故直线AD与平面B1EDF所成的角为ADB1.由A(0,0,0)，B1(a,0，a)，D(0，a,0)，得(0，a,0)，(a，a，a)，cos，又直线与平面所成角的范围是，故直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值为.(3)由已知得A(0,0,0)，A1(0,0，a)，B1(a,0，a)，D(0，a,0)，E，则，平面ABCD的一个法向量为m(0,0，a)设平面B1EDF的一个法向量为n(1，y，z)，由得n(1,2,1)，cosn，m，平面B1EDF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为.四、探究与拓展14在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM与CN所成角的余弦值为()A.B.C.D.考点向量法求线线角题点向量法求线线角答案D解析如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，|，cos，又异面直线所成角的范围是，异面直线AM与CN所成角的余弦值为.15.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值考点向量法求二面角题点向量法求二面角(1)证明由已知可得AFDF，AFFE，DFFEF，DF平面EFDC，FE平面EFDC，所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)解过D作DGEF，垂足为G，由(1)知DG平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，则DF2，DG，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)由已知得，ABEF，EF平面EFDC，AB平面EFDC，所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，即CEF60，从而可得C(2,0，)连接AC，则(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3,0，)设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)则cosn，m.故二面角EBCA的余弦值为.
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