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专题02 追赶模型模型界定本模型主要处理两物体能否追及的判定、距离极值的计算等问题.从时间和空间的角度来讲，追及相遇是指同一时刻两物体到达同一位置,包括两物体的运动轨迹在同一直线及不在同一直线上的情况。模型破解1.同一直线上的追及问题（i）空间条件：若同地出发，相遇时位移相等。若不是同地出发，通常需画出两物体运动过程示意图寻找位移联系。（ii）时间关系：同时出发且相遇时两物体还处于运动之中，则运动时间相等；不是同时出发时或相遇时两物体之一已停止运动，则运动时间一般不相等，需分析两物体的运动时间关系，如甲比乙早出发t，相遇时甲乙都处于运动状态，则运动时间关系为。（iii）常见情况两物体同方向运动且开始相距一定距离d，设前后物体的加速度大小分别为、（即a10,a20），以下几种情况能追及（碰）：二者同向加速，如果二者速度相等时后面物体比前面物体多通过的位移大于初始距离时，即时则能追上；否则以后无法追上； 二者同向加速，； 前一物体减速，后一物体加速，一定能追及；追及前二者间最大距离为 前一物体加速，后一物体减速，如果二者速度相等时不能追上则以后无法追及； 二者均减速运动，如果二者速度相等时不能追及则无法追及；，二者不相撞的安全条件是二者速度等于零时后一物体恰好追上前一物体 （iv）处理方法：数学方法设两物体同方向运动且开始相距一定距离d，前后物体的加速度大小分别为、，初速度分别为v1、v2,运动时间t时两物体间的距离为。首先根据两物体的运动性质得到两物体间距离随时间变化的表达式，通常是一个二次函数：。然后由配方法可解决求解两物体间距离的极值、距离出现极值时刻、以及判定两物体能不能相遇、相遇的次数等问题：由知当时；当时。若时不能相遇；若时可相遇两次；当时恰好相遇。当求解两物体能否相遇及相遇几次时，也可直接由二次方程的判别式判定：当时且有两个正根时，可相遇两次；一正根一负根时相遇一次当时恰好相遇不能相遇距离此时出现极值物理方法一_临界值法两物体能否相遇、能相遇几次、运动中的距离极值问题都可临界状态下两物体的位移关系来确定，设两物体同方向运动且开始相距一定距离d，前后物体的加速度大小分别为、，初速度分别为v1、v2,两物体达到相等速度v时经历时间为t，此时两物体间的距离为。首先由可确定v与t.其次可由、中之一计算两物体的位移，进而得到两物体此时的距离。然后由作出判定：若时不能相遇，为两物体运动中距离的极值；若时可相遇两次；当时恰好相遇。物理方法二_相对运动法以其中一个物体为参考系，则由物体的相对速度为零时物体通过的相对位移与两物体初始相距的距离关系可判定两物体是否相遇、相遇的次数、距离的极值等。运动图象法作出两物体的速度图象，则两物体的图线与时间轴所围面积是物体的对地位移，两图之间的面积是两物体的相对位移（即一物体比另一物体多通过的位移），两图线的交点是两物体间距离出现极值的时刻。（v）注意“刹车陷阱”对于汽车刹车、物块在粗糙面上减速运动等一类问题中，一要注意物体实际运动的时间，二要注意当物体运动方向反向时加速度的大小可能发生的变化。另外需注意有些题目中对物体加速时运动速度的的限制。例.甲乙两车在一平直道路上同向运动，其图像如图所示，图中和的面积分别为和.初始时，甲车在乙车前方处。 A若，两车不会相遇 B若，两车相遇2次C若，两车相遇1次 D若，两车相遇1次【答案】例.A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当 B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。经过12 s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？【答案】s【解析】 设A车的速度为vA，B车加速行驶时间为t，两车在t0时相遇。则有 式中，t0 =12s，sA、sB分别为 A、B两车相遇前行驶的路程。依题意有 式中 s84 m。由式得 代入题给数据vA=20m/s，vB=4m/s，a =2m/s2，有 式中t的单位为s。解得t1=6 s，t2=18 s t218s不合题意，舍去。因此，B车加速行驶的时间为 6 s。例3.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。试求：（1） 汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？（2） 什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？【答案】（）s，m（）4s,12m/s即（2）汽车追上自行车时，二车位移相等，则 , 解法二：由临界速度求解汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车的速度是定值。当汽车的速度还小于自行车速度时，两者的距离将越来越大，而一旦汽车速度增加到超过自行车速度时，两车距离就将缩小。因此两者速度相等时两车相距最大，有，所以， 解法三：用相对运动求解更简捷选匀速运动的自行车为参考系，则从运动开始到相距最远这段时间内，汽车相对此参考系的各个物理量为：初速度v0 = v汽初v自 =（06）m/s = 6m/s末速度vt = v汽末v自 =（66）m/s = 0加速度 a = a汽a自 =（30）m/s2 = 3m/s2所以相距最远 s= =6m（负号表示汽车落后）解法四：用图象求解（1）自行车和汽车的v-t图如图，由于图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小，所以由图上可以看出：在相遇之前，在t时刻两车速度相等时，自行车的位移（矩形面积）与汽车的位移（三角形面积）之差（即斜线部分）达最大，所以t=v自/a=s=2ss= vtat2/2 =（62322/2）m= 6m（2）由图可看出：在t时刻以后，由v自或与v汽线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车的位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时，t= 2t = 4s，v= 2v自=12m/s例.如图所示，A、B两物体相距S=7m，物体A以=4m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时的速度B=l0m/s，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动，加速度=2ms2那么物体A追上物体B所用的时间A7s B8S C9s D10s【答案】 可得t=8s，选项B正确。模型演练.甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9 mis的速度跑完全程：乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记，在某次练习中，甲在接力区前S0-13.5 m处作了标记，并以V-9 m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令，乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒，已知接力区的长度为L=20m.求：(1)此次练习中乙在接棒前的加速度a.(2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离.【答案】（)3s(2)6.5m【解析】(1)设经过时间t，甲追上乙，则根据题意有vt-vt/2=13.5将v=9代入得到：t=3s,再有 v=at解得：a=3m/s2(2)在追上乙的时候，乙走的距离为s,则：s=at2/2 代入数据得到 s=13.5m所以乙离接力区末端的距离为s=20-13.5=6.5m.在平直道路上，甲汽车以速度v匀速行驶。当甲车司机发现前方距离为d处的乙汽车时，立即以大小为a1的加速度匀减速行驶，与此同时，乙车司机也发现了甲，立即从静止开始以大小为a2的加速度沿甲运动的方向匀加速运动。则 A甲、乙两车之间的距离一定不断减小B甲、乙两车之间的距离一定不断增大C若，则两车一定不会相撞D若，则两车一定不会相撞【答案】 3.处于平直轨道上的甲、乙两物体相距s，乙在甲前且两物体同时、同向开始运动，甲以初速度v、加速度a1做匀加速直线运动，乙做初速度为零、加速度为a2的匀加速直线运动，假设甲能从乙旁边通过，下述情况可能发生的是 ( )Aa1a2时，能相遇两次Ba1a2时，能相遇两次Ca1a2时，能相遇两次Da1a2时，能相遇一次【答案】【解析】利用图象进行分析，如图所示，分别表示a1a2时、a1a2时、a1a2时的速度图象对于A选项，甲的速度总是大于乙的速度，它们只能相遇一次，即甲追上乙车并超过乙；对于B选项，甲追上乙后，并超过乙，只能相遇一次；对于C选项，当甲、乙速度相等时，若是甲刚好追上乙，那么它们只能相遇一次，若是甲在速度未相等之前追上乙，以后乙的加速度比甲大，故其速度总会超过甲，乙会追上甲并超过甲，有可能相遇两次，若甲在速度与乙相等时还没有追上乙，则永远追不上乙，一次相遇的机会都没有故正确答案为C、D.4.两辆完全相同的汽车，沿平直公路一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车已知前车在刹车过程中所行的距离为s，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时的距离至少应为：As B2s C3s D4s【答案】 5.汽车甲沿着平直的公路以速度v0做匀速直线运动，当它路过某处的同时，该处有一辆汽车乙开始做初速度为零的匀加速运动去追赶甲车，根据上述的已知条件（ ）A. 可求出乙车追上甲车时乙车的速度B. 可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程C. 可求出乙车从开始起动到追上甲车时所用的时间D. 不能求出上述三者中任何一个【答案】【解析】根据题意，从汽车乙开始追赶汽车甲直到追上，两者运动距离相等，即s甲=s乙=s，经历时间t甲=t乙=t.那么，根据匀速直线运动公式对甲应有：根据匀加速直线运动公式对乙有：，及由前2式相除可得at=2v0，代入后式得vt=2v0，这就说明根据已知条件可求出乙车追上甲车时乙车的速度应为2v0。因a不知，无法求出路程和时间，如果我们采取作vt图线的方法，则上述结论就比较容易通过图线看出。图中当乙车追上甲车时，路程应相等，即从图中图线上看面积s甲和s乙，显然三角形高vt等于长方形高v0的2倍，由于加速度a未知，乙图斜率不定，a越小，t越大，s也越大，也就是追赶时间和路程就越大。6.测速仪安装有超声波发射和接收装置，如图所示，B为测速仪，A为汽车，两者相距335 m，某时刻B发出超声波，同时A由静止开始做匀加速直线运动当B接收到反射回来的超声波信号时，A、B相距355 m，已知声速为340 m/s，则汽车的加速度大小为 A20 m/s2 B10 m/s2 C5 m/s2 D无法确定【答案】 7.如图所示，将小球从地面以初速度竖直上抛的同时，将另一相同质量的小球从距地面处由静止释放，两球恰在处相遇（不计空气阻力）。则 A两球同时落地 B相遇时两球速度大小相等 C从开始运动到相遇，球动能的减少量等于球动能的增加量 D相遇后的任意时刻，重力对球做功功率和对球做功功率相等 【答案】【解析】相遇时b球速度,所经历时间.相遇时两球位移满足，所以，此时A球的速度,可见相遇时两球虽在同一高度,但速度不同,故不能同时着地,AB皆错误；两球运动中各自的机械能守恒,而相遇前两球的重力势能改变量相等,故两球动能改变量也必相同,C正确；相遇后的任意时刻，球的速度始终大于球的速度，因而重力对球做功功率大于对球做功功率，D错误。8.从离地面高度为h处有自由下落的甲物体，同时在它正下方的地面上有乙物体以初速度v0竖直上抛，要使两物体在空中相碰，则做竖直上抛运动物体的初速度v0应满足什么条件？（不计空气阻力，两物体均看作质点）.若要乙物体在下落过程中与甲物体相碰，则v0应满足什么条件？【答案】当v0,两物体在空中相碰；v0时,乙物体在下落过程中与甲物体相碰【解析】（巧选参照物法）选择乙物体为参照物，则甲物体相对乙物体的初速度:v甲乙=0-v0=-v0甲物体相对乙物体的加速度a甲乙=-g-（-g）=0由此可知甲物体相对乙物体做竖直向下，速度大小为v0的匀速直线运动.所以，相遇时间为：t=对第一种情况，乙物体做竖直上抛运动，在空中的时间为：0t 即:0所以当v0,两物体在空中相碰.对第二种情况，乙物体做竖直上抛运动，下落过程的时间为：t 即.所以当 v0时,乙物体在下落过程中与甲物体相碰 9.如图所示，在倾角为的光滑斜面顶端有一个质点A3由静止释放，与此同时，在斜面底部有另一个质点B由静止开始，以加速度a在光滑水平面上向左做匀加速运动。设斜面与水平面通过极小的一段光滑圆弧连接，A质点能平稳地通过该圆弧，且它通过圆弧所用的时间可以忽略。要使质点A不能追上质点B，试求质点B的加速度a的取值范围。【答案】 （3分）由化简得： （2分）要使A不能追上B，只需t2无实数解即可，即即，故A不能追上B时，B的加速度的取值范围为 10.甲、乙两物体相距s，在同一直线上同方向做匀减速运动，速度减为零后就保持静止不动。甲物体在前，初速度为v1，加速度大小为a1。乙物体在后，初速度为v2，加速度大小为a2且知v1v2，但两物体一直没有相遇，求甲、乙两物体在运动过程中相距的最小距离为多少？【答案】【解析】若是，说明甲物体先停止运动或甲、乙同时停止运动。在运动过程中，乙的速度一直大于甲的速度，只有两物体都停止运动时，才相距最近，可得最近距离为若是，说明乙物体先停止运动那么两物体在运动过程中总存在速度相等的时刻，此时两物体相距最近，根据，求得在t时间内甲的位移乙的位移代入表达式求得11.年月南京军区某部进行了一次海上军事演习一艘鱼雷快艇以30m/s的速度追击前面同一直线上正在匀速逃跑的敌舰。当两者相距L0=2km时，以60m/s的速度发射一枚鱼雷，经过t1=50s艇长通过望远镜看到了鱼雷击中敌舰爆炸的火光，同时发现敌舰仍在继续匀速逃跑，于是马上发出了第二次攻击的命令，第二枚鱼雷以同样的速度发射后，又经t2=30s，鱼雷再次击中敌舰将其击沉。求第一枚鱼雷击中前后，敌舰逃跑的速度v1、v2分别为多大？【答案】20 m/s，10 m/s.击中敌舰时，鱼雷快艇与敌舰的距离为L0(30v1)t11500 m，马上发射第二枚鱼雷，第一枚鱼雷击中后敌舰的速度为v2，经t230 s，鱼雷再次击中敌舰，则有(vv2)t21500，即：(60v2)301500，解得v210 m/s.12.甲乙两年在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v-t图象如图所示。两图象在t=t1时相交于P点，P在横轴上的投影为Q，OPQ的面积为S。在t=0时刻，乙车在甲车前面，相距为d。已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t，则下面四组t和d的组合可能是 A. tt1 ,d=S B. t= C. t D. t=【答案】【解析】:由于两车能相遇两次,则在t1时间内甲与乙通过的位移最大差值S应大于d,t时刻甲与乙的位移差值恰好等于d.由图可知,当t=t1/2时,乙通过的位移为S/4,甲通过的位移为S,故这种情况下d=3S/4,D正确.13. 在平直的飞机跑道上进行了一次特殊的比赛，飞机与摩托车同时从同一起跑线出发，做初速度为零的匀加速直线运动。已知飞机的加速度为a1、最大速度为v1，摩托赛车的加速度为a2、最大速度为v2，且a1a2、v1=2v2，以下说法正确的是运动初始阶段摩托赛车在前，经过时间摩托赛车与飞机相距最远运动初始阶段摩托赛车在前，经过时间摩托赛车与飞机相距最远当飞机与摩托赛车再次相遇时，飞机已经达到最大速度当飞机与摩托赛车再次相遇时，飞机没有达到最大速度【答案】位移为，这表明在飞机速度达到最大之前飞机已赶上了摩托赛，错误正确。14.一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h 以内问：（1）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？（2）警车发动后要多长时间才能追上货车？【答案】（）75m（）s【解析】（l）当两车速度相等时.它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等则： s货=v1(t0+t1)=10(5.5+4)m = 95m s警 所以两车间的最大距离s=s货-s警=75m (2) 警车刚达到最大速度v=90km/h=25m/s的时间： t = t内两车的位移 t时刻两车距离 警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过t时间追赶上货车则： 所以警车发动后要经过才能追上货车 15.在光滑水平面上有两个半径都是r的小球A和B，其质量分别是m和2m，当两球心的距离大于l(l2r)时，两球之间无相互作用力当两球心的距离等于或小于l时，两球间有相互作用的恒定斥力F设A球从远离B球处以速度v0沿两球连心线向原来静止的B球运动，如图所示，欲使两球不发生接触，则v0应满足何条件?【答案】v0 ，由前设两球刚好接触的条件应有 SA(l2r)SB，由上四式联立可解得 v 0 以上所得的v0对应于两球刚好能接触这一临界情况，显然，为使两球不相接触，则v0应满足的条件是v0v0，即v0解法二：如图，在vt图中两条直线分别表示A，B两球速度随时间的变化规律，当两球速度相同时，A相对于B运动的距离即为OPv0的面积由于vAv0，vB，当vAvB时，可得OPv0的面积 代入A、B不接触的条件、Sl2r得v0v2，地球半径为R，表面重力加速度为 g）（ ）A. B. C. D.【答案】【解析】:由有，当两卫星同向转动时，由相距最近到相距最远的最短时间内角速度大的卫星多转半周，可得，A正确；当两卫星反向转动时，由相距最近到相距最远的最短时间内两卫星共转动半周，可得，BCD皆错误。
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