2019版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、随机变量及分布列课时训练.doc

第十一章计数原理、随机变量及分布列第1课时分类计数原理与分步计数原理一、 填空题1. 三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下由甲开始踢，经过3次传递后，毽子又被踢回给甲则不同的传递方式共有_种答案：2解析：(列举法)传递方式有甲乙丙甲；甲丙乙甲2. 将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人要求甲必须在高一年级，乙和丙均不在高三年级，则不同的安排种数为_答案：9解析：若甲、乙在高一年级，则丙一定在高二年级，此时不同的安排种数为3；若甲、丙在高一年级，则乙一定在高二年级，此时不同的安排种数为3；若甲在高一年级，乙、丙在高二年级，此时不同的安排种数为3，所以由分类计数原理知不同的安排种数为9.3. 现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是_答案：81解析：每个同学都有3种选择，所以不同选法共有3481(种) .4. 五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有_种答案：625解析：获得冠军的可能情况有5555625(种)5. 4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有_种答案：24解析：分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲，共有C种不同选法；第二步给第3位同学选课程，有2种选法；第三步给第4位同学选课程，也有2种不同选法故共有C2224(种)6. 如图所示22方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1，2，3，4中的任何一个，允许重复若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有_种ABCD答案：96解析：可分三步：第一步，填A，B方格的数字，填入A方格的数字大于B方格的数字有6种方式(若方格A填入2，则方格B只能填入1；若方格A填入3，则方格B只能填入1或2；若方格A填入4，则方格B只能填入1或2或3)；第二步，填方格C的数字，有4种不同的填法；第三步，填方格D的数字，有4种不同的填法由分步计数原理得不同的填法总数为64496(种)7. 现有红、黄、蓝不同颜色的旗各三面，每次升一面、两面或三面在某一旗杆上纵向排列，共可以组成_种不同的旗语信号答案：39解析：悬挂一面旗共可以组成3种旗语信号；悬挂两面旗共可以组成339(种)旗语信号；悬挂三面旗共可以组成33327(种)旗语信号由分类计数原理知，共有392739(种)旗语信号8. 将3个不同的小球放入编号分别为1，2，3，4的盒子内，则4号盒子中至少有一个球的放法有_种答案：37解析：根据题意，将3个不同的小球放入编号分别为1，2，3，4的盒子内，有44464(种)放法，而4号盒子中没有球，即3个小球放在1，2，3号的盒子内，有33327(种)放法所以4号盒子中至少有一个球的放法有642737(种)9. 从0，1，2，3，4，5，6七个数字中，任意取出三个不同的数字，作为二次函数yax2bxc(a0)的系数，可得_个不同的二次函数答案：180解析：由分步计算原理，可得665180(个)不同的二次函数10. 为举办校园文化节，某班推荐2名男生、3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为_(用数字作答)答案：24解析：若参加乐器培训的是女生，则各有1名男生及1名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有32212(种)方案；若参加乐器培训的是男生，则各有1名男生、1名女生及2名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有23212(种)方案，所以共有24种推荐方案11. 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为_答案：96解析：按区域1与3是否同色分类(1) 区域1与3同色：先涂区域1与3，有4种方法，再涂区域2，4，5(还有3种颜色)，有A种方法 区域1与3涂同色，共有4A24(种)方法(2) 区域1与3不同色：第一步，涂区域1与3，有A种方法，第二步，涂区域2有2种方法，第三步，涂区域4只有1种方法，第四步，涂区域5有3种方法 这时共有A21372(种)方法故由分类计数原理，不同的涂色种数为247296.二、 解答题12. 书架的第一层有6本不同的数学书，第二层有6本不同的语文书，第三层有5本不同的英语书(1) 从这些书中任取1本，有多少种不同的取法？(2) 从这些书中任取1本数学书，1本语文书，1本英语书共3本书的不同的取法有多少种？(3) 从这些书中任取3本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？解：(1) 因为共有17本书，从这些书中任取1本，共有17种取法(2) 分三步：第一步，从6本不同的数学书中取1本，有6种取法；第二步，从6本不同的语文书中取1本，有6种取法；第三步：从5本不同的英语书中取1本，有5种取法由分步计数原理知，取法总数N665180(种)(3) 实际上是从17本书中任取3本放在三个不同的位置上，完成这个工作分三个步骤，第一步：从17本不同的书中取1本，放在第一个位置，有17种方法；第二步：从剩余16本不同的书中取1本，放在第二个位置，有16种方法；第三步：从剩余15本不同的书中取1本，放在第三个位置，有15种方法由分步计数原理知，排法总数N1716154 080(种)13. 如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有多少种？解：如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按ABCD顺序涂色，下面分两种情况：(1) A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有432248(种)；(2) A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有431336(种)所以不同的涂色方法共有84种第2课时排列与组合一、 填空题1. 若A6C，则n_答案：7解析：6，得n34，解得n7.2. 5人站成一排，甲、乙两人必须站在一起的不同排法有_种答案：48解析：可先排甲、乙两人，有A2(种)排法，再把甲、乙两人与其他三人进行全排列，有A24(种)排法，由分步计数原理，得一共有22448(种)排法3. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为_答案：72解析：由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5.分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C种，再将剩下的4个数字排列得到A，则满足条件的五位数有CA72(个)4. 5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是_种答案：36解析：分三类：甲站第2个位置，则乙站1，3中的一个位置，不同的排法有CA12(种)；甲站第3个位置，则乙站2，4中的一个位置，不同的排法有CA12(种)；甲站第4个位置，则乙站3，5中的一个位置，不同的排法有CA12(种)故共有12121236(种)5. 某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有_种答案：8解析：分三步进行分析：第一步，最后一个排商业广告有A种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有A种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A种根据分步计数原理，可得不同的播放方式共有AAA8(种)6. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为_答案：36解析：由题可知，五位数为奇数，则个位数只能是1，3；分为两步：先从1，3两个数中选一个作为个位数有C种，再将中间3个位置中选一个放入0，剩下的3个数字排列得到A，则满足条件的五位数有CCA36(个)7. 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有_种答案：24解析：分类讨论，有2种情形孪生姐妹乘坐甲车，则有CCC12(种)乘车方式；孪生姐妹不乘坐甲车，则有CCC12(种)乘车方式由分类计数原理，得共有24种乘车方式8. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)答案：336解析：若7个台阶上每一个只站一人，则有A种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有CA种，因此共有不同的站法种数是336.9. 用1，2，3，4，5，6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_(用数字作答)答案：40解析：本小题主要考查排列组合知识依题先排除1和2的剩余4个元素有2AA8种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有A种插法， 不同的安排方案共有2AAA40(种)10. 由0，1，2，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是_答案：280解析：当十位数字为0，千位数字为7时，四位数的个数是A；当十位数字与千位数字为1，8时，四位数的个数是AA；当十位数字与千位数字为2，9时，四位数的个数是AA，故所求的四位数的个数是AAAAA280.11. 身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有_种答案：48解析：分类计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分：(1) 当红红之间有蓝时，则有AA24(种)；(2) 当红红之间无蓝时，则有CAA24(种)因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法二、 解答题12. 一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分已知甲球队已赛4场，积4分在这4场比赛中，甲球队胜、平、负(包括顺序)的情况共有多少种？解：由题意，甲队积4分分三类情况： 2胜2负，有CC6(种)； 1胜2平1负，有CC12(种)； 0胜4平0负，有C1(种)综上可知共有612119(种)情况13. 某国际旅行社共有9名专业导游，其中6人会英语，4人会日语，若在同一天要接待5个不同的外国旅游团队，其中3个队要安排会英语的导游，2个队要安排会日语的导游，则不同的安排方法共有多少种？解：依题意，导游中有5人只会英语，3人只会日语，1人既会英语又会日语按只会英语的导游分类： 3个英语导游从只会英语人员中选取，则有AA720(种)； 3个英语导游从只会英语的导游中选2名，另一名由既会英语又会日语的导游担任，则有CAA360(种)故不同的安排方法共有AACAA1 080(种)第3课时二项式定理一、 填空题1. (2016北京卷)在(12x)6的展开式中，x2的系数为_(用数字作答)答案：60解析：由二项展开式的通项公式Tr1C(2)rxr可知，x2的系数为C(2)260.2. (2016山东卷)若(ax2)5的展开式中x5的系数是80，则实数a_答案：2解析：因为Tr1C(ax2)5r()rCa5rx10r，所以由10r5得r2，因此由Ca5280得a2.3. 在(ab0，且a，b为常数)的展开式中，含x项的系数为10a3b2，则n_答案：5解析：由题意，得展开式中含x项的系数为Ca3b2，则由Ca3b210a3b2，即C10，解得n5.4. 在()n的展开式中，各项的二项式系数和为256，则展开式中常数项是_答案：7解析：依题意，得2n256，则n8，则()8展开式的通项Tr1C(1)rx8r，令8r0，则r6，因此展开式中的常数项T7C(1)67.5. 若多项式x2x10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，则a9_答案：10解析：因为 x2x10(x1)12(x1)110，所以a9C(1)10.6. 在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)_答案：120解析：由题意可得f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)CCCCCCCC2060364120.7. 设(12x)7a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6a7x7，则代数式a12a23a34a45a56a67a7的值为_答案：14解析：对已知等式的两边求导，得14(12x)6a12a2x3a3x24a4x35a5x46a6x57a7x6，令x1，有a12a23a34a45a56a67a714.8. 已知多项式(3x1)7a0x7a1x6a2x5a3x4a4x3a5x2a6xa7，则|a0|a1|a2|a3|a4|a5|a6|a7|_答案：16 384解析：求 |a0|a1|a2|a3|a4|a5|a6|a7|的值相当于求(3x1)7的系数和即令x1，|a0|a1|a2|a3|a4|a5|a6|a7|4716 384.9. 设二项式(x)6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B4A，则a的值是_答案：2解析：Tr1(1)rCx6r(1)rarCx6r，令6r3，得r2，则A(1)2a2C15a2.令6r0得r4，则B(1)4a4C15a4.由B4A得15a4415a2，又a0，则a2.10. 已知(1x)(1x)2(1x)3(1x)na0a1xa2x2anxn，且a0a1a2an126，那么()n的展开式中的常数项为_答案：20解析：令x1得a0a1a2an2222n22n121262n11282n127n6，又Tr1C()6r()rC(1)rx3r，所以由3r0得r3，则常数项为C20.二、 解答题11. 求证：(1) 32n28n9能被64整除(nN*)；(2) 3n(n2)2n1(nN*，n2)证明：(1) 32n28n93232n8n999n8n99(81)n8n99(C8nC8n1C8C1)8n99(8nC8n1C82)98n98n9982(8n2C8n3C)64n649(8n2C8n3C)n， 32n28n9能被64整除(2) nN*，且n2， 3n(21)n展开后至少有4项(21)n2nC2n1C212nn2n12n12nn2n1(n2)2n1， 3n(n2)2n1(nN*，n2)12. 二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1) 二项式系数之和；(2) 各项系数之和；(3) 所有奇数项系数之和解：设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1) 二项式系数之和为CCCC29.(2) 令x1，y1，得各项系数之和为a0a1a2a9(23)91.(3) 由(2)知a0a1a2a91，令x1，y1，得a0a1a2a959，将两式相加，得a0a2a4a6a8，即为所有奇数项系数之和13. (2017徐州第一学期期末)已知等式(1x)2n1(1x)n1(1x)n.(1) 求(1x)2n1的展开式中含xn的项的系数，并化简：CCCCCC；(2) 求证：(C)22(C)2n(C)2nC.(1) 解：(1x)2n1的展开式中含xn的项的系数为C.由(1x)n1(1x)n(CCxCn1n1xn1)(CCxCxn)可知，(1x)n1(1x)n的展开式中含xn的项的系数为CCCCCC.所以CCCCCCC.(2) 证明：当kN*时，kCknnC.所以(C)22(C)2n(C)2第4课时离散型随机变量及分布列、超几何分布一、 填空题1. 已知随机变量X的分布列为P(Xk)，k1，2，3，4，5，则P(0.5X2.5)_答案：0.2解析：P(0.5X2.5)P(X1)P(X2)0.2.2. 设随机变量X的概率分布列如下表所示：X012PaF(x)P(Xx)，则当x的取值范围是1，2)时，F(x)_.答案：解析： a1， a. x1，2)， F(x)P(Xx).3. 设X是一个离散型随机变量，其分布列为X101P12qq2则q_答案：1 解析：由分布列的性质知所以q1.4. 在含有3件次品的10件产品中，任取4件，则取到次品数X2的概率为_答案：解析：由题意，X服从超几何分布，其中N10，M3，n4，所以分布列为P(Xk)，k0，1，2，3.即X0123P5. 若P(xx2)1，P(xx1)1，其中x1x2，则P(x1xx2)_答案：1()解析：由分布列性质可有P(x1xx2)P(xx2)P(xx1)1(1)(1)11()6. 甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得1分)若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是_答案：1，0，1，2，3解析：X1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题都答错了；X0，甲没抢到题，乙抢到3个题且答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙抢到一个题目并答错；X1，甲抢到1题且答对，乙抢到2个题目且至少答错一个或甲抢到3题，且1错2对；X2，甲抢到2题均答对；X3，甲抢到3题均答对7. 从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X1的概率为_答案：0.6解析：P(X1)0.6.8. 已知随机变量X的分布列为P(Xi)(i1，2，3，4)，则P(2X4)_答案：解析：由分布列的性质得1，则a5.所以P(2X4)P(X3)P(X4).9. 从装有除颜色外没有区别的3个黄球、3个红球、3个蓝球的袋中摸3个球，设摸出的3个球的颜色种数为随机变量X，则P(X2)_答案：解析：X2，即摸出的3个球有2种颜色，其中一种颜色的球有2个，另一种颜色的球有1个，故P(X2).10. 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为_答案：解析：1个红球，2个白球和3个黑球分别记为a1，b1，b2，c1，c2，c3，从袋中任取两球共有a1，b1；a1，b2；a1，c1；a1，c2；a1，c3；b1，b2；b1，c1；b1，c2；b1，c3；b2，c1；b2，c2；b2，c3；c1，c2；c1，c3；c2，c315种，满足两球颜色为一白一黑有6种，概率为.二、 解答题11. 从集合M1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取三个元素构成子集a，b，c(1) 求a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；(2) 记a，b，c三个数中相邻自然数的组数为X(如集合3，4，5中3和4相邻，4和5相邻，X2)，求随机变量X的分布列及其数学期望E(X)解：(1) 从9个不同的元素中任取3个不同元素，为古典概型记“a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2”为事件A，其基本事件总数nC.由题意，a，b，c均不相邻，利用插空法得，事件A包含基本事件数mC.故P(A).所以，a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率为.(2) X012P所以E(X)012.12. 某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的(1) 求恰有2人申请A大学的概率；(2) 求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)解：(1) 记“恰有2人申请A大学”为事件A，P(A).(2) X的所有可能值为1，2，3.P(X1)，P(X2)，P(X3).X的概率分布列为X123P所以X的数学期望E(X)123.13. 某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球(红、黄、黑、白)顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励(1) 求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；(2) 记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望解：(1) 设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件A，则P(A)，故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率为.(2) 随机变量X的所有取值为0，10，20，30，40.P(X0)，P(X10)，P(X20)，P(X30)，P(X40)，所以随机变量X的分布列为X010203040P所以E(X)01020304020. 第5课时独立性及二项分布一、 填空题1. 周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估计做对第二道题的概率为_答案：0.75解析：记做对第一道题为事件A，做对第二道题为事件B，则P(A)0.80，P(AB)0.60，因为做对第一道、第二道题这两个事件是相互独立的，所以P(AB)P(A)P(B)，即P(B)0.75.2. 已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为_答案：解析：事件A：“第一次拿到白球”，事件B：“第二次拿到红球”，则P(A)，P(AB)，故P(B|A).3. 设随机变量XB，则P(X3)_答案：解析：XB，由二项分布可得，P(X3)C.4. (2017徐州期末改编)甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B题，则甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率为_答案：解析：设“甲选做D题，且乙、丙都不选做D题”为事件E.甲选做D题的概率为，乙、丙不选做D题的概率都是.则P(E)，即甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率为.5. 一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为_答案：解析：由题意可知该射手对同一目标独立地射击了四次全都没有命中的概率为1，设该射手每次射击命中的概率为p，则(1p)4，所以p.6. 有3位同学参加某项测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有2位同学能通过测试的概率为_答案：解析：记“至少有2位同学能通过测试”为事件A，则其包含的事件为“恰好有2位同学能通过测试”或“恰好有3位同学能通过测试”，而每位同学不能通过测试的概率都是1，且相互独立，故P(A)CC.7. 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率是，两次闭合都出现红灯闪烁的概率为.则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下第二次出现红灯闪烁的概率为_答案：解析：设事件A：第一次闭合后出现红灯闪烁；事件B：第二次闭合出现红灯闪烁则P(A)，P(AB)，故满足条件的P(B|A).8. 甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为_答案：0.88解析：因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，由对立事件和相互独立事件概率公式知，P1(10.6)(10.7)10.120.88.9. 设随机变量XB(2，p)，B(4，p)若P(X1)，则P(2)的值为_答案：解析：由P(X1)，得Cp(1p)Cp2，即9p218p50，解得p或p(舍去)， P(2)Cp2(1p)2Cp3(1p)Cp464.二、 解答题10. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1) 求至少有一种新产品研发成功的概率；(2) 若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列解：记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功，由题设知P(E)，P()，P(F)，P()，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立(1) 记H至少有一种新产品研发成功，则，于是P()P()P()，故所求的概率为P(H)1P()1.(2) 设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220.因为P(X0)P()，P(X100)P(F)，P(X120)P(E)，P(X220)P(EF).故所求的分布列为X0100120220P11. 某考生从6道预选题中一次性随机的抽取3道题作答，其中4道填空题，2道解答题(1) 求该考生至少抽到1道解答题的概率；(2) 若所抽取的3道题中有2道填空题，1道解答题已知该考生答对每道填空题的概率为，答对每道解答题的概率为，且各题答对与否相互独立用X表示该考生答对题的个数，求X的分布列和数学期望解：(1) 记该考生至少抽到1道解答题为事件A，则P(A)1P(A)11.(2) X所有的可能取值为0，1，2，3.P(X0)；P(x1)C；P(X2)C；P(X3).所以X的分布列为X0123P所以E(X)0123.12. 在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题规定每位考生必须且只需从其中选做一题设4名考生选做每一道题的概率均为.(1) 求其中甲、乙两名考生选做同一道题的概率；(2) 设这4名考生中选做第22题的考生个数为X，求X的分布列解：(1) 设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，则甲、乙两名考生选做同一道题的事件为“AB ”，且事件A与事件B相互独立故P(AB )P(A)P(B)P()P().(2) 随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，且XB，则P(Xk)CC(k0，1，2，3，4)故随机变量X的分布列为X01234P13. 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1) 设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2) 若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率解：(1) 设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)0.5，P(B)0.4，因为利润产量市场价格成本，500101 0004 000，50061 0002 000，300101 0002 000，30061 000800.所以X所有可能的取值为4 000，2 000，800.P(X4 000)P()P()(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P()P(B)P(A)P()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2.则X的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2(2) 设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i1，2，3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1，2，3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(1C2C3)P(C12C3)P(C1C23)30.820.20.384.所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.5120.3840.896.第6课时离散型随机变量的均值与方差一、 填空题1. 设X是一个离散型随机变量，其概率分布列如下表：X101P0.51q2则q_答案：解析： 随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1， 解得q或1，而把q1代入不合题意，舍去， q.2. 设随机变量X的分布列为P(Xk)(k2，4，6，8，10)，则V(X)_答案：8解析： E(X)(246810)6， V(X)(4)2(2)20222428.3. 某老师从课本上抄录一个随机变量X的分布列如下表：X123P？！？请小牛同学计算x的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案E(X)_答案：2解析：设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为12x，则E(X)1x2(12x)3xx24x3x2.4. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_答案：解析：由题意知，试验成功的概率p，故XB，所以E(X)2.5. 若离散型随机变量X的分布列如下表：X01P则X的数学期望E(X)_答案： 解析： 分布列中概率和为1， 1，即a2a20，解得a2(舍去)或a1， E(X).6. 已知随机变量X服从二项分布XB(n，p)若E(X)30，V(X)20，则p_答案：解析：依题可得E(X)np30且V(X)np(1p)20，解得p.7. 抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为_答案： 解析：抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1，用X表示10次试验中成功的次数，则随机变量X满足二项分布XB，E(X)10.8. 设整数m是从不等式x22x80的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量Xm2，则x的数学期望E(X)_答案：5解析：由不等式x22x80，得2x4， S2，1，0，1，2，3，4， X0，1，4，9，16，其分布列为X014916P E(X)0149165.9. 一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了设放对个数记为X，则X的数学期望为_答案：1解析：将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数X可取的值有0，1，2，4，其中P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X4)，E(X)01241.二、 解答题10. 某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排生活趣味数学和校园舞蹈赏析两场讲座已知A，B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座中任意选听一场A组1人选听生活趣味数学，其余4人选听校园舞蹈赏析；B组2人选听生活趣味数学，其余3人选听校园舞蹈赏析(1) 若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率；(2) 若从A，B两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听生活趣味数学的人数，求X的分布列和数学期望E(X)解：(1) 设“选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析”为事件M，则P(M).所以选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率为.(2) X可能的取值为0，1，2，3，P(X0)，P(X1)，P(X3)，故P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3).所以X的分布列为 X 0123 P所以X的数学期望E(X)0123.11. 甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个(1) 求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；(2) 设X表示选中舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望解：(1) 设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈”，则P(A)，P(B)，P(C). 事件A，B，C相互独立， 甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)1P(B)1P(C).(2) X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)， X的分布列为X0123P X的数学期望E(X)0123.12. 某同学参加3门课程的考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(pq)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立记X为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为X0123Pab(1) 求该同学至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2) 求p，q的值；(3) 求数学期望E(X)解：设事件Ai表示“该同学第i门课程取得优秀成绩”，i1，2，3，由题意知P(A1)，P(A2)p，P(A3)q.(1) 由于事件“该同学至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“X0”是对立的，所以该同学至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1P(X0)1.(2) 由题意知，P(X0)P(A1A2A3)(1p)(1q)，P(X3)P(A1A2A3)pq，整理得pq，pq1，由pq，可得p，q.(3) 由题意知，aP(X1)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)(1p)(1q)p(1q)(1p)q，bP(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)，E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3).13. (2017山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示(1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率(2) 用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者的人数，求X的分布列与数学期望E(X)解：(1) 记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M).(2) 由题意知X可取的值为0，1，2，3，4.则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，因此X的分布列为X01234PX的数学期望是E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)4P(X4)012342.