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第一章 常用逻辑用语测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是()A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”解析:原命题的逆命题是:若一个数的平方是正数,则它是负数.答案:B2.命题“若函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内是减函数,则loga20,a1)在其定义域内不是减函数B.若loga20,a1)在其定义域内不是减函数C.若loga20,则函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内是减函数D.若loga20,a1)在其定义域内是减函数解析:原命题的逆否命题为“若loga20,则函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内不是减函数”.答案:A3.已知命题p:存在xR,log2(3x+1)0,则()A.p是假命题;非p:对任意xR,log2(3x+1)0B.p是假命题;非p:对任意xR,log2(3x+1)0C.p是真命题;非p:对任意xR,log2(3x+1)0D.p是真命题;非p:存在xR,log2(3x+1)0解析:3x+11,log2(3x+1)0,命题p为假命题.非p:对任意xR,log2(3x+1)0.故选B.答案:B4.“x1”是“lo(x+2)1lo(x+2)0,lo(x+2)1x-1,“x1”是“lo(x+2)0”的充分而不必要条件.答案:B5.已知向量a=(1,2x),b=(4,-x),则“x=”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:abab=04-2x2=0x=,x=是ab的充分不必要条件.故选A.答案:A6.在下列结论中,正确的结论为()“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件;“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件;“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件;“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件.A.B.C.D.解析:利用真值表和充要条件的定义判定.答案:B7.下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x1”B.命题“存在xR,3x2-x+20”C.命题“若x=y,则sin 2x=sin 2y”的逆否命题为假命题D.若“p或q”为真命题,则p,q至少有一个为真命题解析:命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x21,则x1”,所以A错误;命题“存在xR,3x2-x+20”的否定是“对任意xR,3x2-x+20”,所以B错误;命题“若x=y,则sin 2x=sin 2y”正确,所以逆否命题也正确,即C错误;若“p或q”为真命题,则p,q至少有一个为真命题,所以D正确.答案:D8.命题p:任意xR,0B.存在xR,1x3C.存在xR,x3D.存在xR,x1或x3解析:求一个命题的非p形式,一般先将原命题化简.p:1xcb2”的充要条件是“ac”C.命题“对任意xR,有x20”的否定是“存在xR,有x20”D.l是一条直线,是两个不同的平面,若l,l,则解析:对于A项,当ac”推不出“ab2cb2”.对于C项,否定应为存在xR,x20,故C不正确.对于D项,由线面垂直的性质可得成立.故选D.答案:D11.已知命题p:“对任意x1,2,x2-a0”,命题q:“存在xR,使x2+2ax+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是()A.a|a1B.a|a-2或1a2C.a|-2a1D.a|a-2或a=1解析:p为真时,ax2,x1,2恒成立,则a(x2)min=1;q为真时,=4a2-4(2-a)0,即a-2或a1.若p且q为真,则p为真且q为真,则故a-2或a=1.答案:D12.导学号90074014设定义域为R的函数f(x)=则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是()A.b0B.b0,且c0C.b0,且c0;D项:b0).对于A,不妨令b=-3,c=2,则方程为t2-3t+2=0,解得t1=1,t2=2,即f(x)=1或f(x)=2,由图知有8个根,排除选项A,故选C.实际上当b0,由f(x)=-b0,结合图像,此时有4个根,f(x)=0有根为0,1,2计7个.答案:C二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.a=3是直线l1:ax+2y+3a=0和直线l2:3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的条件.解析:当a=3时,l1:3x+2y+9=0,l2:3x+2y+4=0,l1与l2平行且不重合.反之,若l1l2,则a(a-1)=6,即a=3或a=-2.但a=-2时,l1与l2重合,a=3.答案:充要14.“存在,使cos(-)=cos -cos ”是(填“全称”或“特称”)命题,该命题是(填“真”或“假”)命题.答案:特称真15.给出下列结论:若命题p:存在x0R,tan x0=1;命题q:任意xR,x2-x+10,则命题“p且(非q)”是假命题;已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,命题p:若l1l2,则=-3,则命题“非p”是假命题;命题p:若x2-3x+2=0,则x=1,则p:若x1,则x2-3x+20.其中正确结论的序号为.解析:中命题p为真命题,命题q为真命题,所以“p且(非q)”为假命题,故正确;中当b=a=0时,有l1l2,所以p为假命题,故“非p”是真命题,因此不正确;中p:若x2-3x+2=0,则x1,因此不正确.所以正确结论的序号为.答案:16.导学号90074015设命题p:点(2x+3-x2,x-2)在第四象限,命题q:x2-(3a+6)x+2a2+6a-6.若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.解析:命题p:-1x2,所以命题p:x-1或x2.命题q:ax2a+6,所以命题q:xa或x2a+6.设集合M=x|x-1或x2,N=x|xa或x2a+6.由题意,得N是M的真子集,所以解得-2a-1或-2a-1,即-2a-1.答案:-2,-1三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(满分10分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.(1)若mn0,则方程mx2-x+n=0有实数根;(2)若m0或n0,则m+n0;(3)正数a的立方根不等于0.解(1)逆命题:若方程mx2-x+n=0有实数根,则mn0且n0,则m+n0,真命题.逆否命题:若m+n0,则m0且n0,假命题.(3)原命题:若a是正数,则a的立方根不等于0,是真命题.逆命题:若a的立方根不等于0,则a是正数,是假命题.否命题:若a不是正数,则a的立方根等于0,是假命题.逆否命题:若a的立方根等于0,则a不是正数,是真命题.18.(满分12分)写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:所有的分数都是无理数;(2)q:有些实数是无理数;(3)r:至少有一个实数x,使x;(4)s:所有的负数都是奇数.解(1)非p:有些分数不是无理数(真命题).(2)非q:所有的实数都不是无理数(假命题).(3)非r:对于任意实数x,都有x(假命题).(4)非s:有的负数不是奇数(真命题).19.(满分12分)已知集合A=x|x2-4x+30,集合B=y|y=x2-2x+a,集合C=x|x2-ax-40.命题p:AB,命题q:AC.(1)若命题p为假命题,求实数a的取值范围;(2)若命题p,q都为真命题,求实数a的取值范围.解(1)A=x|1x3,B=y|y=(x-1)2+a-1=y|ya-1.由p为假命题,知AB=,a-13,a4,故实数a的取值范围是(4,+).(2)p,q都为真命题,AB且AC,解得a4,即实数a的取值范围为.20.(满分12分)已知p:函数f(x)为(0,+)内的减函数,实数m满足不等式f(m+1)f(3-2m);q:当x时,m=sin2x-2sin x+1+a.若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解设p,q所对应的m的取值集合分别为A,B.对于p,由函数f(x)为(0,+)内的减函数,可得解得m,即A=.对于q,由x,得sin x0,1,m=sin2x-2sin x+a+1=(sin x-1)2+a,则当sin x=1时,mmin=a;当sin x=0时,mmax=a+1,即B=a,a+1.由p是q的充分不必要条件,可得AB,则有解得a.即实数a的取值范围为.21.(满分12分)“若存在实数x,不等式x2+a|x|+10成立”是假命题,求实数a的取值范围.解“若存在实数x,不等式x2+a|x|+10成立”的否定是“对一切实数x,不等式x2+a|x|+10恒成立”.又原命题是假命题,它的否定是真命题.当x=0时,10恒成立,此时aR.当x0时,a=-.又|x|+2,当且仅当|x|=1时等号成立,-2,当且仅当|x|=1时等号成立,a-2.综上,实数a的取值范围为-2,+).22.导学号90074016(满分12分)已知命题p:在R上定义运算:xy=(1-x)y,不等式x(1-a)x0对任意实数x恒成立,当1-a=0,即a=1时,10恒成立,a=1;当1-a0时,-3a1.综合得,-30,x+10,则x2+ax+62(x+1)对任意的xN*恒成立,即a-+2对任意的xN*恒成立,令f(x)=-+2,只需af(x)max,f(x)-2+2=-4+2=-2,当且仅当x=(xN*),即x=2时取“=”,a-2.p且q为假命题,p或q为真命题,p,q中必有一个真命题,一个假命题.若p为真q为假,则-3a1.综上可得a的取值范围是(-3,-2)(1,+).
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