资源描述
1.2复数的有关概念(二)学习目标1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案任何一个复数zabi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以一一对应梳理当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二复数的几何意义知识点三复数的模或绝对值设复数zabi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|.两个复数不全是实数不能比较大小，但可以比较它们模的大小1在复平面内，对应于实数的点都在实轴上()2在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数()3若|z1|z2|，则z1z2.()类型一复数的几何意义例1实数x分别取什么值时，复数z(x2x6)(x22x15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)直线xy30上考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系解因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数(1)当实数x满足即当3x2时，点Z在第三象限(2)zx2x6(x22x15)i对应点Z(x2x6，x22x15)，当实数x满足(x2x6)(x22x15)30，即当x2时，点Z在直线xy30上引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在：(1)虚轴上；(2)第四象限解(1)当实数x满足x2x60，即当x3或2时，点Z在虚轴上(2)当实数x满足即当2x1，所以|z1|z2|.(2)由|z2|z|z1|，得1|z|2.因为|z|1表示以O为圆心，1为半径的圆的外部及其边界上所有点，|z|2表示以O为圆心，2为半径的圆的内部及其边界上所有点，故符合题设条件的点构成了以O为圆心，分别以1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)反思与感悟利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想跟踪训练2已知0a3，复数zai(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是()A(1，) B(1，)C(1,3) D(1,10)考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案A解析0a3，复数zai(i是虚数单位)，则|z|(1，).1当m1时，复数z(3m2)(m1)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案D解析m1，03m21，m10，复数z(3m2)(m1)i在复平面内对应的点位于第四象限2满足|z|22|z|30的复数z的对应点的轨迹是()A一个圆B线段C两个点D两个圆考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决轨迹、图形答案A解析由条件|z|22|z|30，得|z|3(|z|1舍去)，|z|3表示一个圆3设复数z1a2i，z22i(i为虚数单位)，且|z1|z2|，则实数a的取值范围是()Aa1B1a1Da0考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求参数答案B解析因为|z1|，|z2|，所以，即a245，所以a21，即1a1.4若复数z(m2)(m1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中mR，则|z|_.考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案3解析复数z(m2)(m1)i为纯虚数(i为虚数单位)，所以m20且m10，解得m2，所以z3i，所以|z|3.5当实数m为何值时，复数(m28m15)(m23m28)i(i为虚数单位)在复平面中的对应点(1)位于第四象限；(2)位于x轴的负半轴上考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系解(1)由得所以7m3.(2)由得所以m4.1复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径(1)复数zabi(a，bR)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；(2)复数zabi(a，bR)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个2复数的模(1)复数zabi(a，bR)的模|z|；(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1z2|表示点Z1和点Z2之间的距离.一、选择题1在复平面内，复数zcos3isin3的对应点所在象限为()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案B解析30，cos30，故复数zcos3isin3的对应点位于第二象限2已知复数z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3,1) B(1,3)C(1，) D(，3)考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案A解析由题意得解得3m1.3已知a为实数，若复数z(a23a4)(a4)i为纯虚数，则复数aai在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案B解析若复数z(a23a4)(a4)i是纯虚数，则得得a1，则复数aai1i对应的坐标为(1,1)，位于第二象限，故选B.4已知0a1，复数z的实数为a，虚部为2，则|z|的取值范围是()A(2,5) B(2,3)C(2，) D(2，)考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案C解析由题知za2i，所以|z|，又a(0,1)，所以|z|(2，)5复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，则()Aa2或a1Ba2且a1Ca0或a2Da0考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案C解析z在复平面内对应的点在虚轴上，a22a0，解得a0或a2.6已知复数zai在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|2，则复数z等于()A1iB1iC1i或1iD2i考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求复数答案A解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a0，由|z|2知，2，解得a1(舍正)，所以z1i.7在复平面内，复数z1，z2的对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|2，|z2|，则z2等于()A45iB54iC34iD54i或i考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求复数答案D解析设z2xyi(x，yR)，由条件得或二、填空题8若复数35i,1i和2ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为_考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案5解析由点(3，5)，(1，1)，(2，a)共线可知a5.9已知复数zx2yi的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是_考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决轨迹、图形答案(x2)2y28解析由模的计算公式得2，(x2)2y28.10设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|_.考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案解析由(1i)x1yi，得xxi1yi，即故所以|xyi|.11若复数z(a2)(a1)i，aR对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是_考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案解析复数z(a2)(a1)i对应的点的坐标为(a2，a1)，因为该点位于第二象限，所以解得1a2.由条件得|z|.因为1a1，即当m1时，复数z对应的点位于第一象限(3)由复数z对应的点位于第四象限，可得解得m0，即当m0(m，n，pR)的解集为(1,2)，则复数mpi所对应的点位于复平面内的第_象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案二解析因为不等式mx2nxp0(m，n，pR)的解集为(1,2)，所以所以故复数mpi所对应的点位于复平面内的第二象限15复数z满足|z3i|，求|z|的最大值和最小值考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决距离、角、面积解方法一|z3i|z|3i|，又|z3i|，|3i|2，|z|2|，即|z|3，|z|的最大值为3，最小值为.方法二|z3i|表示以3i对应的点P为圆心，以为半径的圆，如图所示，则|OP|3i|2，显然|z|max|OA|OP|3，|z|min|OB|OP|.
展开阅读全文