梁的变形和刚度设计.ppt

第9章 梁的变形与刚度设计 DESIGNOFBEAMSFORBENDINGDEFLECTIONS 一 弯曲变形概念 受载荷作用后 梁的轴线将弯曲成为一条光滑的连续曲线在平面弯曲的情况下 这是一条位于载荷所在平面内的平面曲线 梁弯曲后的轴线称为挠曲线 梁截面有沿垂直方向的线位移v 称为挠度 相对于原截面转过的角位移 称为转角 挠曲线是一条连续光滑平面曲线 其方程是 挠度v 截面形心在坐标y方向上的位移 其正负号与y坐标轴正负相符 转角 横截面绕中性轴转过的角度 其正负号 逆时针为正 顺时针为负 在小变形情况下 有 二 挠曲线的近似微分方程 对梁 有 对平面曲线 有关系式 由上两式可得 考虑到弯矩M的符号与挠曲线凸向之间的关系 可见 M与v 的符号相同 挠曲线的近似微分方程为 三 计算弯曲变形的积分法 用直接积分法求梁的弯曲变形 弯矩方程是一个分段函数 设某段函数为Mi 则该段的微分方程是 积分一次得 再积分一次得 如果M x 是n段分段函数 i 1 2 n 则要决定2n个积分常数 它们可以通过下列条件决定 1 边界条件 指梁的约束条件 一根静定梁有2个约束条件 1 固定端截面 挠度和转角均为0 2 铰链约束 挠度为0 2 光滑连续性条件 挠曲线的任意点上的挠度和转角是唯一的 n段分段函数有 n 1 个分段点 在分段点上有 j j 1 vj vj 1 j 1 2 n 1 共有2 n 1 个条件 而不会出现挠度和转角不等情况 在工程计算中 习惯上用f来表示梁在指定截面处的挠度 例9 1求图示简支梁受集中载荷P作用下的弯曲变形 A B和最大挠度 解使用积分法求转角和挠度 求约束反力 取梁AB作为研究对象 加上约束力RA和RB 然后使用平衡方程 b 求弯矩方程 因AC CB两段弯矩方程不同 分别写出弯矩方程 CB段 AC段 c 列挠曲线微分方程并二次积分 CB段 AC段 d 决定积分常数 利用支座A B处边界条件和左 右两段梁连接处C的光滑连续性条件代入上述转角和挠度方程 确定积分常数 1 光滑连续性条件 2 边界条件 e 结果 转角和挠度方程 AC段 CB段 f 求指定截面的弯曲变形 要决定最大挠度 令 在a b时 最大挠度发生在AC段 可求得 则最大挠度为 四 计算弯曲变形的叠加法 在几个载荷共同作用下所引起的某一物理量 等于各载荷单独作用时所引起的此物理量的总和 代数和或矢量和 这就是叠加原理 例9 2用叠加法求图示外伸梁的 C和vC 梁的抗弯刚度是EI 解使用叠加积分法求转角和挠度 a 将梁上的载荷分解为三种简单载荷单独作用的情形 b 而第三种情形又可分解为如下二种载荷单独作用的情形 c 应用挠度表确定三种下 梁c点处的转角和挠度 查表 而对第三种情形下二种载荷单独作用下 应用叠加法进行叠加 d 应用叠加法 将三种情形下转角和挠度叠加 五 梁的刚度条件与合理刚度设计 1 梁的刚度条件指梁的最大挠度和最大转角不能超过许可值 即 弯曲构件的刚度条件 2刚度的合理设计 对于主要承受弯曲的零件和构件 刚度设计就是根据对零件和构件的不同要求 将最大挠度和转角限制在一定范围内 即满足弯曲刚度条件 例9 3 简化电机轴的尺寸和载荷如图所示 已知E 200GPa d 130mm 定子与转子的许用间隙 0 35mm 校核轴的刚度 解 a 用叠加法求梁的最大挠度 b 刚度校核 轴的刚度足够 3提高梁的弯曲刚度的措施 由梁的挠曲线近似微分方程可见 梁的弯曲变形与弯矩M x 及抗弯刚度有关 而影响梁弯矩的因素又包括载荷 支承情况及梁的有关长度 因此 为提高梁的刚度 可采用如下一些措施 1 选择合理的梁截面 从而增大截面的惯性矩I 2 调整加载方式 改善梁结构 以减小弯矩 使受力部位尽可能靠近支座 或使集中力分散成分布力 3 减小梁的跨度 增加支承约束 其中第三种措施的效果最为显著 因为梁的跨长或有关长度是以其乘方影响梁的挠度和转角的 六 简单静不定梁 求解简单静不定梁 首先 根据静不定次数选取静不定梁的基本结构 解除多余约束 个数与静不定次数相同 用多余约束力来代替 得到静不定梁的基本结构 其次 找出变形几何关系 即多余约束处梁的变形应满足的条件 求出多余约束处的变形 由此得到补充方程 联立求解补充方程和平衡方程 得出所有约束力 例9 4 图示杆系中 AB和CD梁的抗弯为EI BD杆的拉压刚度是EA 不计剪切变形的影响 求BD杆的内力 解 a 确定静不定梁的基本结构取D为多余约束 b 求变形几何关系 c 求物理关系 d 补充方程 e 求BD杆的内力