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中档题专练(七)1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是A1D1,B1C1,D1D,C1C的中点.(1)求证:EF平面ABHG;(2)求证:平面ABHG平面CFED.2.已知函数f(x)=sinx3cosx3+3cos2x3.(1)将f(x)写成y=Asin(x+)+B的形式,并求其图象对称中心的横坐标;(2)如果ABC的三个内角A,B,C所对应的三边长a,b,c满足b2=ac,且边AC所对的角为x,试求x的范围及此时函数f(x)的值域.3.(2017镇江高三期末考试)如图,准备在墙上钉一个支架,支架由两直杆AC与BD焊接而成,焊接点D把杆AC分成AD,CD两段.其中两固定点A,B间距离为1米,AB与杆AC的夹角为60,杆AC长为1米.若制作AD段的成本为a元/米,制作CD段的成本是2a元/米,制作杆BD的成本是4a元/米.设ADB=,制作整个支架的总成本记为S元.(1)求S关于的函数表达式,并指出的取值范围;(2)问AD段多长时,S最小?4.设等比数列an的首项为a1=2,公比为q(q为正整数),且满足3a3是8a1与a5的等差中项;数列bn满足2n2-(t+bn)n+32bn=0(tR,nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)试确定t的值,使得数列bn为等差数列;(3)当bn为等差数列时,对每个正整数k,在ak与ak+1之间插入bk个2,得到一个新数列cn.设Tn是数列cn的前n项和,试求满足Tm=2cm+1的所有正整数m.答案精解精析1.证明(1)因为E,F是A1D1,B1C1的中点,所以EFA1B1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1AB,所以EFAB.又EF平面ABHG,AB平面ABHG,所以EF平面ABHG.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD平面BB1C1C,又BH平面BB1C1C,所以BHCD.设BHCF=P,易证得BCHCC1F,所以HBC=FCC1,因为HBC+PHC=90,所以FCC1+PHC=90.所以HPC=90,即BHCF.因为DCCF=C,DC,CF平面CFED,所以BH平面CFED.又BH平面ABHG,所以平面ABHG平面CFED.2.解析(1)f(x)=12sin2x3+321+cos2x3=12sin2x3+32cos2x3+32=sin2x3+3+32.由sin2x3+3=0,得2x3+3=k(kZ),所以x=3k-12,kZ,所以对称中心的横坐标为3k-12(kZ).(2)由已知b2=ac及余弦定理,得:cosx=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac2ac-ac2ac=12.12cosx1,0x3,32x3+359.sin3sin2x3+31,3sin2x3+3+321+32,即f(x)的值域为3,1+32.综上所述,x0,3,f(x)的值域为3,1+32.3.解析(1)ABD中,由正弦定理得1sin=BDsin3=ADsin23-,所以BD=32sin,AD=3cos2sin+12,则S=a3cos2sin+12+2a1-3cos2sin+12+4a32sin=a43-3cos2sin+32,由题意得3,23.(2)由(1)知S=3a1-4cossin2,令S=0,设cos0=14.列表如下:3,000,23cos14,1214-12,14S-0+S极小值所以当cos=14时,S最小,此时sin=154,AD=3cos2sin+12=5+510.4.解析(1)由题意得,6a3=8a1+a5,则6q2=8+q4,解得q2=4或q2=2(舍),则q=2,又a1=2,所以an=2n.(2)当n=1时,2-(t+b1)+32b1=0,得b1=2t-4,当n=2时,222-(t+b2)2+32b2=0,得b2=16-4t,当n=3时,232-(t+b3)3+32b3=0,得b3=12-2t,由b1+b3=2b2,得t=3,当t=3时,2n2-(3+bn)n+32bn=0,得bn=2n,由bn+1-bn=2(常数)知,满足题意的t的值为3.(3)由(1)(2)知an=2n,bk=2k.由题意知,c1=a1=2,c2=c3=2,c4=a2=4,c5=c6=c7=c8=2,c9=a3=8,则当m=1时,T12c2,不合题意;当m=2时,T2=2c3,符合题意;当m3时,若cm+1=2,则Tm2cm+1一定与题意不符,从而cm+1必是数列an中的某一项ak+1,则Tm=a1+2+2b1个+a2+2+2b2个+a3+2+2b3个+a4+ak+2+2bk个,=(2+22+23+2k)+2(b1+b2+b3+bk)=2(2k-1)+2(2+2k)k2=2k+1+2k2+2k-2,而2cm+1=2ak+1=22k+1,所以2k+1+2k2+2k-2=22k+1,即2k-k2-k+1=0,所以2k+1=k2+k.因为2k+1(kN*)为奇数,而k2+k=k(k+1)为偶数,所以上式无解.即当m3时,Tm2cm+1.综上,满足题意的m的值为2.
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