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第一课时直线与圆锥曲线的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线的位置关系1,3,4,5,6,9最值、定值问题11,15弦长问题与中点弦问题2,7,8,14直线与圆锥曲线的综合问题10,12,13基础巩固(时间:30分钟)1.已知抛物线y2=2x,过点(-1,2)作直线l,使l与抛物线有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l共有(D)(A)0条(B)1条(C)2条(D)3条解析:因为点(-1,2)在抛物线y2=2x的左侧,所以该抛物线一定有两条过点(-1,2)的切线,过点(-1,2)与x轴平行的直线也与抛物线只有一个交点,所以过点(-1,2)有3条直线与抛物线有且只有一个交点.故选D.2.已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(B)(A)(B)-(C)2(D)-2解析:设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,两式相减,得+=0,所以=-,所以k=-.故选B.3.过点P(1,1)作直线与双曲线x2-=1交于A,B两点,使点P为AB中点,则这样的直线(D)(A)存在一条,且方程为2x-y-1=0(B)存在无数条(C)存在两条,方程为2x(y+1)=0(D)不存在解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=2,y1+y2=2,- =1,- =1,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)- (y1-y2)(y1+y2)=0,所以x1-x2= (y1-y2),即kAB=2,故所求直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.联立可得2x2-4x+3=0,但=(-4)2-4230,b0)的左焦点F作直线l与双曲线交于A,B两点,使得|AB|=4b,若这样的直线有且仅有两条,则离心率e的取值范围是(D)(A)(1,) (B)(,+)(C)(,)(D)(1,)(,+)解析:过左焦点的直线如果与双曲线的两支相交,得最短弦为2a;如果与双曲线的一支相交得最短弦长为,此时弦垂直于x轴,因为满足|AB|=4b的弦有且仅有两条,所以得如图两种情况.或 或 由得所以所以解得结合e1得,1e,综合可得,有2条直线符合条件时,e或1eb0),F(,0)为其右焦点,过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为.解析:把x=c代入椭圆方程解得y=,所以弦长=2,则解得所以椭圆C的方程为+=1.答案:+=17.过点M(2,-2p)作抛物线x2=2py(p0)的两条切线,切点分别为A,B,若线段AB的中点的纵坐标为6,则p的值是.解析:抛物线x2=2py是关于x的二次函数y=x2,其导函数为y=,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则切线MA的方程是y-y1=(x-x1),即y=x-.又点M(2,-2p)位于直线MA上,于是有-2p=2-,即-4x1-4p2=0;同理有-4x2-4p2=0,因此x1,x2是方程x2-4x-4p2=0的两根,则x1+x2=4,x1x2=-4p2.由线段AB的中点的纵坐标是6得,y1+y2=12,即=12,=12,解得p=1或p=2.答案:1或28.(2017邯郸市二模)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,以抛物线C上的点M(x0,2)(x0)为圆心的圆与线段MF相交于点A,且被直线x=截得的弦长为|,若=2,则|=.解析:由题意,|MF|=x0+.因为圆M与线段MF相交于点A,且被直线x=截得的弦长为|,所以|MA|=2(x0-).因为=2,所以|MF|=|MA|,所以x0=p,所以2p2=8,所以p=2,所以|=1.答案:1能力提升(时间:15分钟)9. F为椭圆+y2=1的右焦点,第一象限内的点M在椭圆上,若MFx轴,直线MN与圆x2+y2=1相切于第四象限内的点N,则|NF|等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为MFx轴,F为椭圆+y2=1的右焦点,所以F(2,0),M(2,),设lMN:y-=k(x-2),N(x,y),则O到lMN的距离d=1,解得k=(负值舍去).又因为即N(,-),所以|NF|=.故选A.10.(2017泉州市模拟)椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P,Q两点,则F1PQ内切圆面积的最大值是.解析:因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍,且F1PQ的周长是定值8,所以只需求出F1PQ面积的最大值.设直线l方程为x=my+1,与椭圆方程联立得(3m2+4)y2+6my-9=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,于是=|F1F2|y1-y2|=12.设m2+1=t1,+),则=,在t1,+)内,9t+是单调递增的,所以t=1取得最大的=12=3.所以内切圆半径r=,因此其面积最大值是.答案:11.(2017武汉市模拟)已知直线MN过椭圆+y2=1的左焦点F,与椭圆交于M,N两点.直线PQ过原点O与MN平行,且PQ与椭圆交于P,Q两点,则=.解析:不妨取直线MNx轴,椭圆+y2=1的左焦点F(-1,0),令x=-1,得y2=,所以y=,所以|MN|=,此时|PQ|=2b=2,则=2.答案:212.(2017鞍山市一模)设A,B分别为椭圆+=1(ab0)和双曲线-=1的公共顶点,P,M分别为双曲线和椭圆上异于A,B的两动点,且满足+=(+),其中R,|1,设直线AP,BP,AM,BM的斜率分别为k1,k2,k3,k4且k1+k2=5,则k3+k4=.解析:如图所示,因为满足+=(+),其中R,|1,所以-2=(-2),所以O,M,P三点共线.设P(x1,y1),M(x2,y2),=k0.则-=1,+=1,所以=,=-,因为k1+k2=5,所以5=+=.所以k3+k4=+=-=-5.答案:-513.(2017张家口市模拟)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F和椭圆E:+=1的右焦点重合,直线l过点F交抛物线于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为135,求|AB|的长;(2)若直线l交y轴于点M,且=m,=n,试求m+n的值.解:(1)据已知得椭圆E的右焦点为F(1,0),所以=1,故抛物线C的方程为y2=4x.因为直线l的倾斜角为135,所以y=-x+1,由得到(-x+1)2=4x,即x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=6,所以|AB|=p+x1+x2=8.(2)根据题意知斜率必存在,于是设方程为y=k(x-1),点M坐标为M(0,-k),因为A(x1,y1),B(x2,y2)为l与抛物线C的交点,得到k2x2-2(k2+2)x+k2=0,因为=16(k2+1)0,所以x1+x2=2+,x1x2=1.因为=m, =n,所以(x1,y1+k)=m(1-x1,-y1),(x2,y2+k)=n(1-x2,-y2),所以m=,n=,所以m+n=+=-1.14.(2017贵阳市二模)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,椭圆C的焦点F1到双曲线-y2=1渐近线的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)直线AB:y=kx+m(k0)与椭圆C交于不同的A,B两点,以线段AB为直径的圆经过点F2,且原点O到直线AB的距离为,求直线AB的方程.解:(1)因为双曲线-y2=1的一条渐近线方程为x-y=0,椭圆C的左焦点F1(-c,0),因为椭圆C的焦点F1到双曲线-y2=1渐近线的距离为.所以d=得c=1,又离心率e=,则a=,b=1,则椭圆C的方程为+y2=1.(2)设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由原点O到直线AB的距离为,得=,即m2= (1+k2), 将y=kx+m(k0,x1+x2=-,x1x2=,因为以线段AB为直径的圆经过点F2,所以=0,即(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即(x1-1)(x2-1)+(kx1+m)(kx2+m)=0,即(1+k2)x1x2+(km-1)(x1+x2)+m2+1=0,所以(1+k2) +(km-1)(-)+m2+1=0,化简得3m2+4km-1=0, 由得11m4-10m2-1=0,得m2=1,因为kb0)经过点(,),且其左焦点坐标为(-1,0).(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线l,m,其中l交椭圆于M,N,m交椭圆于P,Q,求|MN|+|PQ|的最小值.解:(1)因为2a=+=4,又c=1,所以b=,所以椭圆的方程为+=1.(2)当直线l1,l2中有一条直线的斜率不存在时,|MN|+|PQ|=+2a=3+4=7,当直线l1的斜率存在且不为0时,设直线l1的方程y=k(x-1),设M(x1,y1),N(x2,y2),由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,所以x1+x2=,x1x2=,|MN|=,直线l2的方程为y=- (x-1),同理(只是把k代换成-)得|PQ|=,所以|MN|+|PQ|=,设t=k2+1,则t1,所以|MN|+|PQ|=,因为t1,所以=时,|MN|+|PQ|有最小值=7.综上,|MN|+|PQ|的最小值是.
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