高数函数与极限习题.ppt

第一章函数与极限习题课 一 主要内容 一 函数的定义 二 极限的概念 三 连续的概念 函数的定义 函数的性质奇偶性单调性有界性周期性 反函数 隐函数 反函数与直接函数之间关系 基本初等函数 复合函数 初等函数 双曲函数与反双曲函数 一 函数 1 函数的定义 函数的分类 2 函数的性质 有界 单调 奇偶 周期 3 反函数 4 隐函数 5 基本初等函数 6 复合函数 7 初等函数 8 双曲函数与反双曲函数 左右极限 极限存在的充要条件 无穷大 两者的关系 无穷小的性质 极限的性质 求极限的常用方法 判定极限存在的准则 两个重要极限 无穷小的比较 等价无穷小及其性质 唯一性 二 极限 1 极限的定义 单侧极限 2 无穷小与无穷大 无穷小 无穷大 无穷小与无穷大的关系 无穷小的运算性质 3 极限的性质 四则运算 复合函数的极限 极限存在的条件 4 求极限的常用方法 a 多项式与分式函数代入法求极限 b 消去零因子法求极限 c 无穷小因子分出法求极限 d 利用无穷小运算性质求极限 e 利用左右极限求分段函数极限 f 利用等价无穷小 g 利用重要极限 5 判定极限存在的准则 夹逼定理 单调有界原理 6 两个重要极限 7 无穷小的比较 8 等价无穷小的替换性质 9 极限的唯一性 局部有界性 保号性 三 连续 左右连续 连续的充要条件 间断点定义 在区间 a b 上连续 连续函数的运算性质 初等函数的连续性 非初等函数的连续性 连续函数的性质 1 连续的定义 单侧连续 连续的充要条件 闭区间的连续性 2 间断点的定义 间断点的分类 第一类 第二类 3 初等函数的连续性 连续性的运算性质 反函数 复合函数的连续性 4 闭区间上连续函数的性质 最值定理 有界性定理 介值定理 零点定理 二 例题 例 解 将分子 分母同乘以因子 1 x 则 例 解 例 解 例6 解 例 证明 讨论 由零点定理知 综上 例 证 即xn单调减 有下界 故由单调有界原理得 例求 解一 例求 解 例 求极限 例 解一 解二 例证明 证 由夹逼定理知 例 解 因f x 在x 0处为无穷间断 即 又x 1为可去间断 例 解 从而由等价无穷小的代换性质得 例 利用介值定理证明 当n为奇数时 方程 至少有一实根 证 故由函数极限的保号性质可知 又n是奇数 所以 故由零点定理知 和差化积sin sin 2sin 2 cos 2 sin sin 2cos 2 sin 2 cos cos 2cos 2 cos 2 cos cos 2sin 2 sin 2 积化和差sin sin cos cos 2cos cos cos cos 2sin cos sin sin 2cos sin sin sin 2