2018-2019学年高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 四 直角三角形的射影定理学案 新人教A版选修4-1.docx

四直角三角形的射影定理学习目标1.通过实践，结合生活中的实例，理解点在直线上的正射影，线段在直线上的正射影的概念.2.理解射影定理，能应用定理解决相关的几何问题.知识链接已知：如图，ACB90，CDAB于D.(1)图中有几条线段？(2)图中有几对相似三角形？可写出几组比例式？(3)有几个带有比例中项的比例式？由上可得到哪些等积式？提示(1)6条，分别记为AB，AC，BC，CD，AD，BD.(2)由图中ACDCBDABC，可分别写出三组比例式：；.(3)只有三个比例中项的表达式：，.可得到等积式：CD2ADBD，BC2BDBA，AC2ADAB.预习导引1.射影从一点向一直线所引垂线的垂足，叫作这个点在这条直线上的正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段，叫作这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.2.射影定理文字语言直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项符号语言在RtABC中，ACCB，CDAB于D，则CD2BDAD；AC2ADAB；BC2BDBA图形语言作用确定成比例的线段要点一射影的概念例1如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，BCD60，AD1，AB2.求：(1)线段AD在直线BC上的射影长；(2)线段DC在直线BC上的射影长；(3)线段BC在直线DC上的射影长.解(1)过D作DD1BC于D1，则BD1就是线段AD在直线BC上的射影，如图所示，四边形ABD1D为矩形，BD1AD1，线段AD在直线BC上的射影长为1.(2)由(1)的作图知，D1C即为线段DC在直线BC上的射影.DD1AB2，DCB60，D1C.线段DC在直线BC上的射影长为.(3)过B作BB1DC于B1，则B1C就是线段BC在直线DC上的射影，如图所示.BCBD1D1C1，B1CBCcos 60.线段BC在直线DC上的射影长为.规律方法(1)射影实质上就是平行投影.(2)当线段AB所在直线与直线l平行时，设其在l上的射影为A1B1，则有ABA1B1，如图(1)所示 ；当线段AB所在直线与直线l不平行且不垂直时，设其在l上的射影为A1B1，则有ABA1B1，如图(2)所示；当线段AB与直线l垂直时，线段AB在l上的射影是一个点A1，如图(3)所示.跟踪演练1如图所示，ADBC，EFBC，指出点A，B，C，D，E，F，G和线段AB，AC，AF，FG在直线BC上的射影.解由ADBC，EFBC知：A在BC上的射影是D；B在BC上的射影是B；C在BC上的射影是C；E，F，G在BC上的射影都是E；AB在BC上的射影是DB；AC在BC上的射影是DC；AF在BC上的射影是DE，FG在BC上的射影是点E.要点二与射影定理有关的计算问题例2如图，D为ABC中BC边上的一点，CADB，若AD6，AB10，BD8，求CD的长.解在ABD中，AD6，AB10，BD8，满足AB2AD2BD2，ADB90，即ADBC.又CADB，且CCAD90，CB90.BAC90.在RtBAC中，ADBC，由射影定理可知，AD2BDCD，628CD，CD.规律方法(1)已知三角形是直角三角形，或者有直角、垂线等，这是在直角三角形中应用射影定理必需的条件.(2)运用射影定理进行相关计算时，常常还要与直角三角形的其他性质相结合，如三角函数、面积公式、勾股定理等.跟踪演练2如图所示，ABC中，ABm，ABACB123，CDAB于D.求BD，CD的长.解设Ax，B2x，ACB3x，由ABACB180，得x2x3x180，x30.A30，B60，ACB90.ABm，BCm.又CDAB，BC2BDAB，即BDm，BDm.ADABBDmmm.由CD2ADBDmmm2，得CDm.BDm，CDm.要点三与射影定理有关的证明问题例3如图，已知在矩形ABCD中，ABBC56，点E在BC上，点F在CD上，ECBC，FCCD，FGAE于点G.求证：AG4GE.证明ABBC56，设AB5k，BC6k(k0).在矩形ABCD中，有CDAB5k，BCAD6k，BCD90.ECBC，EC6kk.BE5k.FCCD，FC5k3k.DFCDFC2k.在RtADF中，由勾股定理得AF2AD2DF236k24k240k2，同理可得AE250k2，EF210k2.AF2EF240k210k250k2AE2.AEF是直角三角形.FGAE，由直角三角形的射影定理，得EF2GEAE.AE5k，GEk.4GE4k.又AGAEGE5kk4k，AG4GE.规律方法判断两线段的数量关系时，可设变量使之能表示线段，在直角三角形中，一般考虑利用射影定理或勾股定理来做.跟踪演练3如图所示，BD，CE是ABC的两条高，过点D的直线分别交BC和BA的延长线于G，H两点，交CE于F，且HBCF.求证：GD2GFGH.证明HBCE，HBG是BCE与BHG的公共角，BCEBHG.又CEBH，BECBGH90，即HGBC.又BDAC，在RtBDC中，DG是斜边BC上的高，由射影定理得GD2BGCG.又FGCBGH90，HFCG，FCGBHG，.即BGCGFGGH.由可得GD2GFGH.1.(1)点在直线上的射影就是由点向直线引垂线，垂足即为射影；(2)线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线引垂线，两垂足间的线段就是所求射影.2.应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的高.应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量，还可研究相似问题、比例式等问题.3.直角三角形射影定理的逆定理如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形.1.在直角三角形ABC中，斜边AB5 cm，BC2 cm，D为AC上一点，DEAB于点E，且AD3.2 cm，则DE等于()A.1.24 cm B.1.26 cmC.1.28 cm D.1.3 cm解析由已知ADEABC，DE1.28.答案C2.如图所示，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，在图中的六条线段中，你认为只要知道几条线段的长，就可以求出其他线段的长()A.1 B.2C.3 D.4解析图中所有三角形都是直角三角形，由勾股定理，射影定理，可知只需知道两条线段的长，就可以求出其他线段的长.答案B3.如图所示，在矩形ABCD中，DEAC于E，ADECDE，则EDB_.解析由已知ADEDBA，ADEABDBDC，且ADECDE，EDBADC45.答案454.已知线段a，b(ab)，求作：线段a，b的比例中项c.解如图所示.(1)作ABb；(2)在AB上截取ADa；(3)过D作DHAB；(4)以AB为直径画半圆交DH于C，连接AC，BC.则AC即为a，b的比例中项c.一、基础达标1.如图所示，在RtMNP中，MNMP，MQPN于点Q，NQ3，则MN等于()A.3PNB.PNC.D.9PN解析MNMP，MQPN，MN2NQPN，又NQ3，MN.答案C2.在RtABC中，BAC90，ADBC于点D，若，则()A.B.C.D.解析如图，由射影定理得AC2CDBC，AB2BDBC，即，.答案C3.如图所示，ACB90，CDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A.CECBADDBB.CECBADABC.ADABCD2D.CEEBCD2解析在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2ADDB，再根据切割线定理可得CD2CECB，所以CECBADDB，故选A.答案A4.已知在RtABC中，CD是斜边上的高，若ADp，BDq，则tan A的值是()A.pqB.qC.pD.解析由已知可利用射影定理得：CD，在RtACD中tan A.答案C5.如图，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足为E，则ED_.解析ABBC，BEAC，AC2，由射影定理得：BC2CEAC，CE.又在RtBEC中，cosBCE，BCE30，ECD60，由余弦定理可求DE2.DE.答案6.如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，DE是RtBCD斜边BC上的高，若BE6，CE2，求AD的长.解CDAB，即CDB90，DEBC.由射影定理可知：DE2CEBE12，DE2，CD2CEBC16，CD4，BD2BEBC48，BD4，在RtABC中，由射影定理可得：CD2ADBD，AD.二、能力提升7.如图所示，在ABC中，CDAB，BDABAC，则BAC等于()A.60 B.30C.45 D.75解析BDABAC，ABBDACAD，又CDAB，CDA90，在RtADC中，由ADAC，则BAC60.答案A8.如图，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD_.解析如图，依题意有AB5(cm)，连接CD，则CDAB，所以BC2BDAB，所以BD(cm).答案9.在ABC中，ACB90，CDAB于D，ADBD23，则ACD与CBD的面积比为_.解析由已知可设AD2x，则BD3x，ACB90，CDAB，由射影定理得：CD2ADBD6x2，CDx，SACDSCBD.答案10.如图所示，在ABC中，BAC90，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E.求证：(1)ABACADBC；(2)AD3BCBECF；(3).证明(1)在RtABC中，ADBC，SABCABACBCAD，ABACBCAD.(2)在RtADB中，DEAB，由射影定理得BD2BEAB.同理，在RtADC中，DFAC，CD2CFAC，BD2CD2BEABCFAC.又在RtABC中，ADBC，AD2BDDC，AD4BD2DC2，即AD4BEABCFAC.由(1)知ABACBCAD，AD4BECFBCAD，AD3BECFBC.(3)由射影定理得BD2BEAB，BE.又CD2CFAC，CF，由得.又AB2BDBC，BD，同理，AC2CDBC，CD，.将代入得，即.11.如图，在ABC中，D，F分别在AC，BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC.解在ABC中，设AC为x，ABAC，AFBC.又FC1，根据射影定理，得AC2FCBC，即BCx2.再由射影定理，得AF2BFFC(BCFC)FC，即AF2x21，AF.在BDC中，过D作DEBC于E.BDDC1，BEECx2.又AFBC，DEAF，DE.在RtDEC中，DE2EC2DC2，即12，1.整理得x64，x，即AC.三、探究与创新12.在RtABC中，ACB90，CDAB于D，SSABCSADC.求证：BDAC.证明如图，SSABCSADC，即，即，BD2ABAD.由射影定理，得AC2ADAB，AC2BD2，即ACBD.