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必备四二级结论巧用结论一函数的奇偶性1.奇函数与偶函数的定义域关于原点对称.2.函数f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.3.如果f(x)为偶函数,那么f(x)=f(|x|).4.奇函数在对称的区间内有相同的单调性,偶函数在对称的区间内有不同的单调性.跟踪集训1.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x0时,f(x)=log2(x+2)+(a-1)x+b(a,b为常数),若f(2)=-1,则f(-6)的值为.2.已知偶函数f(x)在区间0,+)上单调递增,则满足f(2x-1)f13的x的取值范围是.3.设奇函数f(x)在(0,+)上为增函数,且f(2)=0,则不等式f(x)-f(-x)x0(0,xD有解.(5)存在x1,x2D,x1x2,f(x1)=f(x2)y=f(x),xD不单调.2.函数的单调性与极值:(1)函数f(x)有三个单调区间f(x)有两个极值点f(x)=0有两个不等根;(2)函数f(x)在a,b上不单调f(x)在(a,b)上有极值点,可求出f(x)的极值点x0(a,b).3.函数的最值:函数f(x)在D上的最大值为Mx0D, f(x0)=M,f(x)M,xD恒成立.函数f(x)在D上的最小值为mx0D, f(x0)=m,f(x)m,xD恒成立.跟踪集训4.设f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,nR)是R上的单调增函数,则m的值为.5.已知函数f(x)=|x2-4|+a|x-2|,x-3,3的最大值是0,则实数a的取值范围是.6.已知函数f(x)=x3-x2+mx+2,若对任意x1,x2R,均满足(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则实数m的取值范围是.7.已知函数f(x)=-x2+ax(x1),2ax-5(x1),若存在x1,x2R,且x1x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是.结论三抽象函数的周期性与单调性1.函数的周期性(1)若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)为周期函数,2a是它的一个周期.(2)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a0)对称,则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期.(3)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a0)对称,则f(x)是周期函数,4a是它的一个周期.(4)f(x+a)f(x)=k(a0)、f(x+a)+f(x)=k(a0)(k为常数)都表明函数f(x)是周期为2a的周期函数.2.函数图象的对称性(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.(4)若f(x+a)+f(b-x)=c,则函数y=f(x)的图象关于点a+b2,c2对称.跟踪集训8.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=.9.若偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(3)=3,则f(-1)=.10.函数f(x)对任意xR都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2016)+f(2017)+f(2018)的值为.结论四函数零点1.一元二次方程实根分布理论:一元二次方程的两个实根分布在同一区间上的条件:开口方向、对称轴、判别式、区间端点的函数值的符号;两个实根分布在两个不同区间上的条件:开口方向、区间端点的函数值的符号.2.函数有零点(方程有解)问题,利用分离参数法将参数的取值范围转化为函数值域求解.3.确定函数的零点个数或者已知函数的零点个数,求参数的值或范围,一般利用数形结合法求解,画图形时尽量是动直线与定曲线的图形.跟踪集训11.已知函数f(x)=22-x,x2,log3(x+1),x2,若函数y=f(x)-m有两个不同的零点,则实数m的取值范围是.12.已知函数f(x)=3x-32x-m在-1,1上有零点,则实数m的取值范围是.13.已知函数f(x)=ex,xBsinAsinB,cosAcosB,sinAcosC,a2+b2c2,b2+c2a2,c2+a2b2.跟踪集训17.在斜ABC中,若tanAtanBtanC=123,则cosA=.18.锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.(1)求B的大小;(2)求cosA+sinC的取值范围.结论七不等式1.2aba+baba+b2a2+b22(a,b0).2.(1)xyx2+y22;(2)xyx+y22;(3)当x0时,x+1x2;(4)当x,y同号时,xy+yx2;当x,y异号时,xy+yx-2.3.不等式恒成立、有解问题:二次不等式在R上恒成立,利用判别式;若给定区间,则分离参数是常用方法.通过分离参数,不等式恒成立问题可以转化为af(x),xD恒成立,则af(x)min,xD;若是af(x),xD有解,则a0,xD恒成立,即为f(x)min0,xD.跟踪集训19.若在区间1,3内,存在实数满足不等式2x2+mx-10,b0,且2a+b=1,则S=2ab-(4a2+b2)的最大值是.结论八平面向量1.三点共线的判定A,B,C三点共线AB,AC共线;向量PA,PB,PC中,A,B,C三点共线存在实数,使得PA=PB+PC,且+=1.2.三角形“四心”的向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则(1)O为ABC的外心|OA|=|OB|=|OC|=a2sinA=b2sinB=c2sinC.(2)O为ABC的重心OA+OB+OC=0.(3)O为ABC的垂心OAOB=OBOC=OCOA.(4)O为ABC的内心aOA+bOB+cOC=0.3.向量中线定理:ABC中,点D为BC的中点,则AB+AC=2AD.4.|a|-|b|a-b|a|+|b|,注意等号成立的条件.5.若a,b都是非零向量,则aba=bx1y2=x2y1夹角等于0或180|ab|=|a|b|.6.若a,b都是非零向量,则abab=0x1x2+y1y2=0夹角等于90|a+b|=|a-b|.7.数量积的其他结论:当a与b同向共线时,ab=|a|b|;当a与b反向共线时,ab=-|a|b|;当a与b共线时,|ab|=|a|b|;当a与b为任意向量时,|ab|=|a|b|cos|a|b|(为a与b的夹角);a与b的夹角为锐角的充要条件是ab=x1x2+y1y20,x1y2-x2y10.a与b的夹角为钝角的充要条件是ab=x1x2+y1y20,且a1)必是等差数列.跟踪集训28.在等比数列an中,若S10=10,S20=30,则S30=.29.数列an中,an+12=4an,a1=1,an0,则an=.30.等比数列an共有奇数项,所有奇数项和S奇=255,所有偶数项和S偶=-126,末项是192,则首项a1=.结论十一直线与圆1.阿波罗尼斯圆:若点A、B是定点,M是动点,且MA=kMB,k0,k1,则动点M的轨迹是圆(阿波罗尼斯圆).2.定点A到动直线l的距离等于定长的直线l是以A为圆心,定长为半径的圆的切线.3.以AB为直径的圆经过点C,则ACBC,可以利用斜率或向量求解.4.对角互补的四边形有外接圆.5.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径两端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.6.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2,过圆外一点可以作圆的两条切线.7.过圆内一定点的弦长最长的有1条,是过该点的直径,最短的弦有1条,是垂直于过该点直径的弦.跟踪集训31.若A(1,1),B(3,4),且点A和B到直线l的距离都等于1,则这样的直线l有条.32.已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l:x+y-6=0,A为直线l上一点.若圆M上存在两点B,C,使得BAC=60,则点A横坐标的取值范围是.33.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1,圆O2均与x轴相切且圆心O1,O2与原点O共线,O1,O2两点的横坐标之积为6,设圆O1与圆O2相交于P,Q两点,直线l:2x-y-8=0,则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为.结论十二圆锥曲线1.椭圆中的常用结论:(1)焦点弦长公式:左焦点弦AB=2a+e(x1+x2);右焦点弦AB=2a-e(x1+x2);(2)通径长为2b2a;(3)焦点三角形的面积S=b2tan2;(4)若A、B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上关于坐标原点对称的两点,P为椭圆C上任意一点,则kPAkPB=-b2a2.2.双曲线中焦点三角形的面积S=b2tan2.3.若点M(x0,y0)在曲线x2a2y2b2=1上,则过M的切线方程为x0xa2y0yb2=1.4.过抛物线y2=2px(p0)焦点的弦AB有如下结论:(1)xAxB=p24;(2)yAyB=-p2;(3)|AB|=2psin2(是直线AB的倾斜角).跟踪集训34.设P是有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点,且PF1PF2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,若e2=3e1,则e1=.35.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2(k1k20),若椭圆的离心率为32,则|k1|+|k2|的最小值为.36.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为.答案精解精析结论一函数的奇偶性跟踪集训1.答案4解析由已知得f(0)=0=1+b,b=-1,又f(2)=2+2(a-1)-1=-1,a=0,f(x)=log2(x+2)-x-1(x0),f(-6)=-f(6)=-3+6+1=4.2.答案13,23解析由f(x)是偶函数知f(x)=f(-x)=f(|x|),则f(2x-1)f13f(|2x-1|)f13,结合f(x)在0,+)上单调递增得|2x-1|0,在(-,-2)和(0,2)上f(x)0时,由f(x)-f(-x)x0,可得f(x)-f(-x)=2f(x)0,结合图象可知,x(0,2);当x0时,由f(x)-f(-x)x0,结合图象可知x(-2,0).综上,x(-2,0)(0,2).结论二函数的单调性、极值与最值跟踪集训4.答案6解析由f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,nR)是R上的单调增函数,得f(x)=12x2+2mx+m-30在R上恒成立,则4m2-48(m-3)0,即(m-6)20,故m=6.5.答案(-,-5解析易知f(2)=0,则要使f(x),x-3,3的最大值是0,只需f(x)0,x-3,3恒成立,则-a|x-2|x2-4|,x-3,3,-a|x+2|max=5,x-3,2)(2,3,所以a-5,实数a的取值范围是(-,-5.6.答案13,+解析由对任意x1,x2R,均满足(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,得函数f(x)=x3-x2+mx+2在R上递增,则f(x)=3x2-2x+m0在R上恒成立,则m(-3x2+2x)max=13,当x=13时取等号,故实数m的取值范围是13,+.7.答案(-,4)解析由x1x2,x1,x2R,f(x1)=f(x2),得f(x)在R上不单调.若f(x)在R上单调,只能单调递增,此时a21,a0,-1+a2a-5,解得a4,故函数不单调时实数a的取值范围是a1时,函数y=f(x)-m有两个不同的零点.12.答案-6,14解析令3x=t,t13,3,则函数f(x)=3x-32x-m在-1,1上有零点m=-t2+t,t13,3,则m-6,14.13.答案-5,-22-2)解析曲线f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=x+1,该切线与f(x)的图象恰有三个公共点,则该切线与f(x)=(1-x)(a+x),x2有两个不同交点,即关于x的方程x+1=(1-x)(a+x),x2,+)有两个不等根,整理得x2+ax+1-a=0,x2,+)有两个不等根,所以=a2-4(1-a)0,-a22,4+2a+1-a0,解得-5a0,则tanB=2k,tanC=3k,由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得6k=6k3,k=1,则tanA=1,则A=4,cosA=22.18.解析(1)由a=2bsinA得sinA=2sinBsinA,因为sinA0,所以sinB=12,又B是锐角,则B=6.(2)cosA+sinC=cosA+sin(A+B)=cosA+sinA+6=32sinA+32cosA=3sinA+3,又由ABC为锐角三角形得0A2,0C=56-A2,则3A2,则A+323,56,3sinA+332,32,即cosA+sinC的取值范围是32,32.结论七不等式跟踪集训19.答案m-1解析由题意知,不等式m1x-2x(x1,3),易知函数y=1x-2x,x1,3单调递减,则ymax=-1,m-1,即实数的取值范围是m2,则圆A和圆B相外离,所以两圆有4条公切线,即直线l有4条.32.答案1,5解析由题意可得过点A作圆M的两条切线,则两切线之间的夹角大于等于60,连接CM,则CM与一条切线的夹角大于等于30,又圆M的半径为2,设A(x,6-x),则MA=(x-1)2+(5-x)24,解得1x5.33.答案855-6解析设圆O1:(x-a1)+(y-b1)2=b12,圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=b22.两式相减得2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+a12-a22=0(1),由O1,O2,O共线可得b1a1=b2a2=k,则b1=ka1,b2=ka2,代入(1)化简得2x+2ky-(a1+a2)=0(2).两圆方程相加得2x2+2y2-2(a1+a2)x-2(b1+b2)y+a12+a22=0(3),又因为a1a2=6,所以(3)可变为2x2+2y2-2(a1+a2)x-2(b1+b2)y+(a1+a2)2-12=0(4),(2)代入(4)可得x2+y2=6,即为点P的轨迹方程.圆心(0,0)到直线l:2x-y-8=0的距离为85,所以点P到直线的距离的最小值为85-6=855-6.结论十二圆锥曲线跟踪集训34.答案53解析设椭圆的长,短半轴分别为a1,b1,双曲线的实,虚半轴分别为a2,b2,因为点P是椭圆与双曲线的一个交点,则由焦点三角形的面积得b12tan45=b22tan45,b12=b22,又由e2=3e1得ca2=3ca1,a2=13a1,a12-c2=c2-a22,a12-c2=c2-19a12,109a12=2c2,则e1=ca1=53.35.答案1解析设P(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1),则k1k2=y0-y1x0-x1y0+y1x0+x1=y02-y12x02-x12=-b2a2=-a2-c2a2=-1+34=-14,所以|k1|+|k2|2|k1k2|=1,当且仅当|k1|=|k2|=12时取等号,所以|k1|+|k2|的最小值为1.36.答案94解析由已知得焦点坐标为F34,0,因此直线AB的方程为y=33x-34,即4x-43y-3=0.解法一:与抛物线方程联立,消去x得4y2-123y-9=0,则yA+yB=33,yAyB=-94,故|yA-yB|=(yA+yB)2-4yAyB=6.因此SOAB=12|OF|yA-yB|=12346=94.解法二:与抛物线方程联立,消去y得x2-212x+916=0,故xA+xB=212.根据抛物线的定义有|AB|=xA+xB+p=212+32=12,又原点到直线AB的距离d=|-3|42+(-43)2=38,因此SOAB=12|AB|d=94.解法三:|AB|=2psin2=3sin230=12,原点到直线AB的距离d=|OF|sin30=38,SOAB=12|AB|d=121238=94.
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