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第2章 函数、导数及其应用 第11讲 第3课时A组基础关1.方程x36x29x100的实根个数是()A.3 B2 C1 D0答案C解析设f(x)x36x29x10，f(x)3x212x93(x1)(x3)，由此可知函数的极大值为f(1)60，极小值为f(3)100，所以方程x36x29x100的实根个数为1.2.(2019天津调研)已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c等于()A.2或2 B9或3C.1或1 D3或1答案A解析y3x23.由y0得x1，容易判断出函数yx33xc在(，1)上单调递增，在(1,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，当x1时，取得极大值2c；当x1时，取得极小值2c，若函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则2c0或2c0，故c2或2.3.若exkx在R上恒成立，则实数k的取值范围为()A.(，1 B1，)C.(，1 D1，)答案A解析由exkx，得kexx.令f(x)exx，f(x)ex1.当f(x)0时，解得x0时，解得x0.f(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数f(x)minf(0)1.实数k的取值范围为(，1故选A.4.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8300170pp2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A.30元 B60元 C28000元 D23000元答案D解析设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8300170pp2)(p20)p3150p211700p166000，所以L(p)3p2300p11700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)当p(0,30)时，L(p)0，当p(30，)时，L(p)0)，则f(t)2t，令f(t)0，得t，当0t时，f(t)时，f(t)0，所以当t时，f(t)取得最小值，即|MN|取得最小值时t.6.已知方程ln |x|ax20有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.答案A解析由于yln |x|ax2是偶函数，所以方程ln xax20(x0)有两个根，即a有两个根设f(x)，则f(x)，0x0，f(x)递增，x时，f(x)0，f(x)递减，x时，f(x)取得极大值也是最大值f.又x0时，f(x)，x时，f(x)0，所以要使a有两个根，则0a.7.(2018衡阳一模)已知函数f(x)aln xx2，aR，若f(x)在1，e2上有且只有一个零点，则实数a的取值范围是()A.B.2e2C.2eD.答案C解析当x1时，f(1)10，从而分离参数，可将问题转化为直线ya与函数g(x)的图象在(1，e2上有且只有一个交点，令g(x)0，得x，易得g(x)在(1，)上单调递增，在(，e2上单调递减，由于g()2e，g(e2)，当x1时，g(x)，所以直线y2e或位于直线y下方的直线满足题意，即a2e或a.故选C.8.已知函数f(x)x|x2a|，若存在x1,2，使得f(x)2，则实数a的取值范围是_答案(1,5)解析当x1,2时，f(x)|x3ax|，由f(x)2可得2x3ax2，即为x2a5，即a5；设h(x)x2，导数为h(x)2x，当x1,2时，h(x)0，即h(x)在1,2上单调递减，可得h(x)max121.即有a1.综上可得，a的取值范围是1a5.9.已知函数f(x)xln xx2，x0是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：0x0；f(x0)x00.其中正确的命题是_(填出所有正确命题的序号)答案解析函数f(x)xln xx2(x0)，f(x)ln x1x，易得f(x)ln x1x在(0，)递增，f0，x0，f(x)，0x0，即正确，不正确；ln x01x00，f(x0)x0x0ln x0xx0x0x0，即正确，不正确.10.已知函数f(x)的定义域是1,5，部分对应值如表，f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的命题：函数f(x)的值域为1,2；函数f(x)在0,2上是减函数；如果当x1，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数yf(x)a最多有4个零点其中所有正确命题的序号是_答案解析由导函数的图象可知，当1x0及2x0，函数单调递增，当0x2及4x5时，f(x)0，函数单调递减，当x0及x4时，函数取得极大值f(0)2，f(4)2，当x2时，函数取得极小值f(2)1.5.又f(1)f(5)1，所以函数的最大值为2，最小值为1，值域为1,2，正确；因为当x0及x4时，函数取得极大值f(0)2，f(4)2，要使当x1，t时，函数f(x)的最大值是2，则0t5，所以t的最大值为5，所以不正确；因为极小值f(2)1.5，极大值f(0)f(4)2，所以当1a0)，则h(x).当x(0,1)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4，所以ah(x)min4.2已知函数f(x)exln (x3)，则下面对函数f(x)的描述正确的是()Ax(3，)，f(x)Bx(3，)，f(x)Cx0(3，)，f(x0)1Df(x)min(0,1)答案B解析因为函数f(x)exln (x3)，定义域为(3，)，所以f(x)ex，易知导函数f(x)在定义域(3，)上是单调递增函数，又f(1)0，所以f(x)0在(3，)上有唯一的实根，不妨将其设为x0，且x0，则xx0为f(x)的最小值点，且f(x0)0，即ex0，两边取以e为底的对数，得x0ln (x03)，故f(x)f(x0)ex0ln (x03)ln (x03)x0，因为x0，所以2x0323，即对x(3，)，都有f(x).3(2018安徽省舒城中学模拟)已知函数f(x)(2a)(x1)2ln x若函数f(x)在上无零点，则实数a的取值范围是_答案24ln 2，)解析因为f(x)0恒成立，即对x，a2恒成立令l(x)2，x，则l(x)，再令m(x)2ln x2，x，则m(x)m22ln 20，从而l(x)0，于是l(x)在上为增函数，所以l(x)2恒成立，只要a24ln 2，)，综上，若函数f(x)在上无零点，则a的取值范围是24ln 2，)4(2018成都二模)已知函数f(x)ax1xln x，(1)若函数f(x)0恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a1时，设函数g(x)xf(x)，在xx0处取到极小值，求证：g(x0)0，函数f(x)0恒成立，即ax1xln x0恒成立，即aln x恒成立，设h(x)ln x，h(x)，当0x1时，h(x)1时，h(x)0，函数h(x)单调递增，h(x)minh(1)1，a1，实数a的取值范围为(，1(2)证明：当a1时，g(x)x2xx2ln x，g(x)2x1(2xln xx)x12xln x，设h(x)x12xln x，h(x)12(1ln x)12ln x，令h(x)0，解得xe，当0x0，函数h(x)单调递增，当xe时，h(x)0，函数h(x)单调递减，注意到(0，e)，且h0，h(x)0在内的解为x0，即x012x0ln x00，因此g(x0)xx0xln x0，由x0，则g(x0).g(x0).C组素养关1(2018全国卷)已知函数f(x)exax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一个零点，求a.解(1)证明：当a1时，f(x)exx2，f(x)ex2x，令g(x)ex2x，则g(x)ex2，当xln 2时，g(x)ln 2时，g(x)0，f(x)单调递增所以f(x)f(ln 2)22ln 20，所以f(x)在0，)上单调递增，所以f(x)f(0)1.(2)设函数h(x)1ax2ex.f(x)在(0，)只有一个零点当且仅当h(x)在(0，)只有一个零点()当a0时，h(x)0，h(x)没有零点；()当a0时，h(x)ax(x2)ex.当x(0,2)时，h(x)0.所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增故h(2)1是h(x)在0，)的最小值若h(2)0，即a，h(x)在(0，)没有零点；若h(2)0，即a，h(x)在(0，)只有一个零点；若h(2)，由于h(0)1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，由(1)知，当x0时，exx2，所以h(4a)11110.故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0，)有两个零点综上，f(x)在(0，)只有一个零点时，a.2已知函数f(x)ln x，g(x)xm(mR)(1)若f(x)g(x)恒成立，求实数m的取值范围；(2)已知x1，x2是函数F(x)f(x)g(x)的两个零点，且x1x2，求证：x1x20)，有F(x)1.当x1时，F(x)0，当0x0，所以F(x)在(1，)上单调递减，在(0,1)上单调递增，F(x)在x1处取得最大值为1m，若f(x)g(x)恒成立，则1m0即m1.(2)证明：由(1)可知，若函数F(x)f(x)g(x)有两个零点，则0x11x2，要证x1x21，只需证x2F，由于F(x1)F(x2)0，mln x1x1，即证ln mln x1ln x10，令h(x)x2ln x(0x0，有h(x)在(0,1)上单调递增，h(x)h(1)0，所以x1x21.
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