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第八节 第三课时 定点、定值、探索性问题课时作业A组基础对点练1已知动点C到点F(1,0)的距离比到直线x2的距离小1，动点C的轨迹为E.(1)求曲线E的方程；(2)若直线l：ykxm(km0)，1，p2，动点C的轨迹E的方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2km4)xm20，x1x2，x1x2.5，x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m25，m24km5k20，mk或m5k.km0，直线l的方程为yk(x5)，直线l必经过定点(5,0)2(2018昆明市检测)已知点A，B的坐标分别为(，0)，(，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过点F(1,0)作直线l交曲线E于P，Q两点，交y轴于R点，若1，2，证明：12为定值解析：(1)设点M(x，y)，由已知得(x)，化简得曲线E的方程：y21(x)(2)证明：设点P，Q，R的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(0，y0)由1，得(x1，y1y0)1(1x1，y1)，所以x1，y1，因为点P在曲线E上，所以()2()21，化简得4122y0，同理，由2，可得x2，y2，代入曲线E的方程化简得4222y0，由可知1，2是方程x24x22y0的两个实数根(0)，所以124，即12为定值3在平面直角坐标系中，已知点A(，0)，B(，0)，直线MA，MB交于点M，它们的斜率之积为常数m(m0)，且MAB的面积最大值为，设动点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过曲线E外一点Q作E的两条切线l1，l2，若它们的斜率之积为1，那么是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由解析：(1)设M(x，y)，则由已知得m，即y2m(x23)，即1(x)(*)当m0时，方程(*)表示双曲线，此时MAB面积不存在最大值(不符合)；当m1时，方程(*)表示圆，此时MAB的面积最大值为3(不符合)；当mb0)的焦点为F1，F2，离心率为，点P为其上一动点，且三角形PF1F2的面积最大值为，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值解析：(1)依题意知解得所以椭圆C的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2y1y2m，当直线MN的斜率存在时，设其方程为ykxn，则点O到直线MN的距离d ，联立，得消去y，得(4k23)x28knx4n2120，由0得4k2n230，则x1x2，x1x2，所以x1x2(kx1n)(kx2n)(k21)x1x2kn(x1x2)n2m，整理得12.因为d 为常数，则m0，d ，此时12满足0.当MNx轴时，由m0得kOM1，联立，得消去y，得x2，点O到直线MN的距离d|x|亦成立综上，当m0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是.B组能力提升练1如图，已知直线l：ykx1(k0)关于直线yx1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：y21分别交于点A，M和A，N，记直线l1的斜率为k1.(1)求kk1的值；(2)当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由解析：(1)设直线l上任意一点P(x，y)关于直线yx1对称的点为P0(x0，y0)，直线l与直线l1的交点为(0,1)，l：ykx1，l1：yk1x1，k，k1，由1，得yy0xx02，由1，得yy0x0x，由得kk11.(2)由得(4k21)x28kx0，设M(xM，yM)，N(xN，yN)，xM，yM.同理可得xN，yN.kMN，直线MN：yyMkMN(xxM)，即y(x)，即yxx.当k变化时，直线MN过定点(0，)2.(2018合肥市质检)如图，在平面直角坐标系中，点F(1,0)，过直线l：x2右侧的动点P作PAl于点A，APF的平分线交x轴于点B，|PA|BF|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线q交曲线C于M，N，试问：x轴正半轴上是否存在点E，直线EM，EN分别交直线l于R，S两点，使RFS为直角？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由解析：(1)设P(x，y)，由平面几何知识得，即，化简得x22y22，所以动点P的轨迹C的方程为x22y22(x)(2)假设满足条件的点E(n,0)(n0)存在，设直线q的方程为xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(2，y3)，S(2，y4)联立，得消去x，得(m22)y22my10，y1y2，y1y2，x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)11，x1x2m(y1y2)22，由条件知，y3，同理y4，kRFy3，kSFy4.因为RFS为直角，所以y3y41，所以(2n)2y1y2x1x2n(x1x2)n2，(2n)2n2，所以(n22)(m21)0，n，故满足条件的点E存在，其坐标为(，0)3已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点(，m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由解析：(1)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入9x2y2m2得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的积是定值(2)四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点(，m)，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP，由得x，即xP.将点(，m)的坐标代入l的方程得b，因此xM.四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM.于是2，解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1,2，所以当l的斜率为4或4时，四边形OAPB为平行四边形4(2018长沙市模拟)已知P(，)在椭圆C：1(ab0)上，F为右焦点，PF垂直于x轴A，B，C，D为椭圆上四个动点，且AC，BD交于原点O.(1)求椭圆C的方程；(2)判断动直线l：x(mn)ymn(m，nR)与椭圆C的位置关系；(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)满足，判断kABkBC的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形ABCD面积的最大值，否则请说明理由解析：(1)P(，)在椭圆C：1(ab0)上，1.又F为右焦点，PF垂直于x轴，.由，解得a2，b1，椭圆C的方程为y21.(2)将动直线l的方程x(mn)ymn(m，nR)，化为(y)m(y)n0.m，nR，解得动直线l恒过点P，P在椭圆C上，动直线l与椭圆C的位置关系是相切或相交(3)，4y1y2x1x2.当直线AB的斜率不存在或斜率为0时，不满足4y1y2x1x2.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，联立，得得(14k2)x28kmx4(m21)0，(8km)24(4k21)4(m21)16(4k2m21)0(*)4y1y2x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，(4k21)x1x24km(x1x2)4m20，(4k21)4km4m20，整理得4k21，k.A，B，C，D的位置可轮换，直线AB，BC的斜率是或，kABkBC()0，为定值不妨设kAB，则设原点到直线AB的距离为d，则SAOB|AB|d|x2x1|1.当m21时(满足(*)，SAOB1，S四边形ABCD4SAOB4，即四边形ABCD面积的最大值为4.
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