2019届高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第八节 第三课时 定点、定值、探索性问题课时作业.doc

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第八节 第三课时 定点、定值、探索性问题课时作业A组基础对点练1已知动点C到点F(1,0)的距离比到直线x2的距离小1,动点C的轨迹为E.(1)求曲线E的方程;(2)若直线l:ykxm(km0),1,p2,动点C的轨迹E的方程为y24x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2(2km4)xm20,x1x2,x1x2.5,x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m25,m24km5k20,mk或m5k.km0,直线l的方程为yk(x5),直线l必经过定点(5,0)2(2018昆明市检测)已知点A,B的坐标分别为(,0),(,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是,点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)过点F(1,0)作直线l交曲线E于P,Q两点,交y轴于R点,若1,2,证明:12为定值解析:(1)设点M(x,y),由已知得(x),化简得曲线E的方程:y21(x)(2)证明:设点P,Q,R的坐标分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),R(0,y0)由1,得(x1,y1y0)1(1x1,y1),所以x1,y1,因为点P在曲线E上,所以()2()21,化简得4122y0,同理,由2,可得x2,y2,代入曲线E的方程化简得4222y0,由可知1,2是方程x24x22y0的两个实数根(0),所以124,即12为定值3在平面直角坐标系中,已知点A(,0),B(,0),直线MA,MB交于点M,它们的斜率之积为常数m(m0),且MAB的面积最大值为,设动点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)过曲线E外一点Q作E的两条切线l1,l2,若它们的斜率之积为1,那么是否为定值?若是,请求出该值;若不是,请说明理由解析:(1)设M(x,y),则由已知得m,即y2m(x23),即1(x)(*)当m0时,方程(*)表示双曲线,此时MAB面积不存在最大值(不符合);当m1时,方程(*)表示圆,此时MAB的面积最大值为3(不符合);当mb0)的焦点为F1,F2,离心率为,点P为其上一动点,且三角形PF1F2的面积最大值为,O为坐标原点(1)求椭圆C的方程;(2)若点M,N为C上的两个动点,求常数m,使m时,点O到直线MN的距离为定值,求这个定值解析:(1)依题意知解得所以椭圆C的方程为1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2y1y2m,当直线MN的斜率存在时,设其方程为ykxn,则点O到直线MN的距离d ,联立,得消去y,得(4k23)x28knx4n2120,由0得4k2n230,则x1x2,x1x2,所以x1x2(kx1n)(kx2n)(k21)x1x2kn(x1x2)n2m,整理得12.因为d 为常数,则m0,d ,此时12满足0.当MNx轴时,由m0得kOM1,联立,得消去y,得x2,点O到直线MN的距离d|x|亦成立综上,当m0时,点O到直线MN的距离为定值,这个定值是.B组能力提升练1如图,已知直线l:ykx1(k0)关于直线yx1对称的直线为l1,直线l,l1与椭圆E:y21分别交于点A,M和A,N,记直线l1的斜率为k1.(1)求kk1的值;(2)当k变化时,试问直线MN是否恒过定点?若恒过定点,求出该定点坐标;若不恒过定点,请说明理由解析:(1)设直线l上任意一点P(x,y)关于直线yx1对称的点为P0(x0,y0),直线l与直线l1的交点为(0,1),l:ykx1,l1:yk1x1,k,k1,由1,得yy0xx02,由1,得yy0x0x,由得kk11.(2)由得(4k21)x28kx0,设M(xM,yM),N(xN,yN),xM,yM.同理可得xN,yN.kMN,直线MN:yyMkMN(xxM),即y(x),即yxx.当k变化时,直线MN过定点(0,)2.(2018合肥市质检)如图,在平面直角坐标系中,点F(1,0),过直线l:x2右侧的动点P作PAl于点A,APF的平分线交x轴于点B,|PA|BF|.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F的直线q交曲线C于M,N,试问:x轴正半轴上是否存在点E,直线EM,EN分别交直线l于R,S两点,使RFS为直角?若存在,求出点E的坐标,若不存在,请说明理由解析:(1)设P(x,y),由平面几何知识得,即,化简得x22y22,所以动点P的轨迹C的方程为x22y22(x)(2)假设满足条件的点E(n,0)(n0)存在,设直线q的方程为xmy1,M(x1,y1),N(x2,y2),R(2,y3),S(2,y4)联立,得消去x,得(m22)y22my10,y1y2,y1y2,x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)11,x1x2m(y1y2)22,由条件知,y3,同理y4,kRFy3,kSFy4.因为RFS为直角,所以y3y41,所以(2n)2y1y2x1x2n(x1x2)n2,(2n)2n2,所以(n22)(m21)0,n,故满足条件的点E存在,其坐标为(,0)3已知椭圆C:9x2y2m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点(,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由解析:(1)证明:设直线l:ykxb(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM)将ykxb代入9x2y2m2得(k29)x22kbxb2m20,故xM,yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM,即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的积是定值(2)四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点(,m),所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0,k3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP,由得x,即xP.将点(,m)的坐标代入l的方程得b,因此xM.四边形OAPB为平行四边形,当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP2xM.于是2,解得k14,k24.因为ki0,ki3,i1,2,所以当l的斜率为4或4时,四边形OAPB为平行四边形4(2018长沙市模拟)已知P(,)在椭圆C:1(ab0)上,F为右焦点,PF垂直于x轴A,B,C,D为椭圆上四个动点,且AC,BD交于原点O.(1)求椭圆C的方程;(2)判断动直线l:x(mn)ymn(m,nR)与椭圆C的位置关系;(3)设A(x1,y1),B(x2,y2)满足,判断kABkBC的值是否为定值,若是,请求出此定值,并求出四边形ABCD面积的最大值,否则请说明理由解析:(1)P(,)在椭圆C:1(ab0)上,1.又F为右焦点,PF垂直于x轴,.由,解得a2,b1,椭圆C的方程为y21.(2)将动直线l的方程x(mn)ymn(m,nR),化为(y)m(y)n0.m,nR,解得动直线l恒过点P,P在椭圆C上,动直线l与椭圆C的位置关系是相切或相交(3),4y1y2x1x2.当直线AB的斜率不存在或斜率为0时,不满足4y1y2x1x2.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为ykxm,联立,得得(14k2)x28kmx4(m21)0,(8km)24(4k21)4(m21)16(4k2m21)0(*)4y1y2x1x2,y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2,(4k21)x1x24km(x1x2)4m20,(4k21)4km4m20,整理得4k21,k.A,B,C,D的位置可轮换,直线AB,BC的斜率是或,kABkBC()0,为定值不妨设kAB,则设原点到直线AB的距离为d,则SAOB|AB|d|x2x1|1.当m21时(满足(*),SAOB1,S四边形ABCD4SAOB4,即四边形ABCD面积的最大值为4.
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