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课时跟踪训练(四十九) 椭圆(一) 基础巩固一、选择题1中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析因为焦距为4，所以c2，离心率e，a2，b2a2c24，故选D.答案D2曲线1与曲线1(k2，故0kb0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为()A. B. C. D.解析如图，设|AF|x，则cosABF.解得x6，AFB90，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|8，FAF1FABFBA90，FAF1是直角三角形，所以|F1F|10，故2a8614,2c10，.答案B6(2017上海崇明一模)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|OF|且|PF|4，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析依题意，设椭圆方程为1(ab0)，右焦点为F，连接PF.由已知，半焦距c2.又由|OP|OF|OF|，知FPF90.在RtPFF中，|PF|8.由椭圆的定义可知2a|PF|PF|4812，所以a6，于是b2a2c262(2)216，故所求椭圆方程为1，故选C.答案C二、填空题7(2018北京朝阳模拟)已知椭圆1(ab0)的一个焦点是F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形，则此椭圆的方程为_解析由FMN为正三角形，得c|OF|MN|b1.解得b，a2b2c24.故椭圆的方程为1.答案18(2018湖北武汉十六中月考)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为_解析由1可知椭圆的右顶点坐标为(4,0)，上、下顶点坐标为(0，2)圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴上，当圆经过椭圆右顶点及短轴两端点时，设圆的圆心为(x,0)，则4x，解得x，圆的半径为，所求圆的方程为2y2.当圆经过椭圆左顶点及短轴两端点时，同理可得圆的方程为2y2.答案2y29从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是_解析由已知，点P(c，y) 在椭圆上，代入椭圆方程，得P.ABOP，kABkOP，即，则bc，a2b2c22c2，则，即该椭圆的离心率是.答案三、解答题10(2017湖南长沙望城一中第三次调研)P为圆A：(x1)2y28上的动点，点B(1,0)线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)当点P在第一象限，且cosBAP时，求点M的坐标解(1)圆A的圆心为A(1,0)，半径等于2.由已知得|MB|MP|，所以|MA|MB|MA|MP|2，故曲线是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，设的方程为1(ab0)，a，c1，b1，所以曲线的方程为y21.(2)由点P在第一象限，cosBAP，|AP|2，得P.于是直线AP的方程为y(x1)代入椭圆方程，消去y，可得5x22x70，即(5x7)(x1)0.所以x11，x2.因为点M在线段AP上，所以点M的坐标为.能力提升11已知F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析如图所示，线段PF1的中垂线经过F2，PF2F1F22c，即椭圆上存在一点P，使得PF22c.ac2cac.e.故选C.答案C12如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为()A.B.C.D.解析设椭圆的方程为1(ab0)，B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，b)(c，b)0，得b2ac，即a2c20，即e2e10，e或e，又0e1，en0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则_.解析由题知F1(c,0)，F2(c,0)，设P(x0，y0)，则xyb2，(cx0，y0)(cx0，y0)xyc2b2c2n(mn)2nm.答案2nm14(2018云南保山期末)椭圆1(ab0)的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为_解析设O与PF1切于点M，连接PF2，OM.因为M为PF1的中点，所以OM綊PF2，得|PF2|2b，又|PF1|PF2|2a，所以|PF1|2a2b，|MF1|ab.在RtOMF1中，由|OM|2|MF1|2|OF1|2，得b2(ab)2c2.所以b2(ab)2a2b2，得ab，cb，所以e.答案15已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率(2)若2，求椭圆的方程解(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc.所以ac，e.(2)由题知A(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中c，设B(x，y)由2，得(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B.将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2.又由(c，b)，得b2c21，即有a22c21由解得c21，a23，从而有b22.所以椭圆的方程为1.16(2017贵州遵义模拟)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解(1)M是C上一点且MF2与x轴垂直，M的横坐标为c.当xc时，y，由直线MN的斜率为，得M，即tanMF1F2，即b2aca2c2，即c2aca20，则e2e10，即2e23e20，解得e或e2(舍去)，即e.(2)由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，设M(c，y0)(y00)，则1，即y，解得y0.OD是MF1F2的中位线，4，即b24a，由|MN|5|F1N|，得|MF1|4|F1N|，解得|DF1|2|F1N|，即2.设N(x1，y1)，由题意知y10，则(c，2)2(x1c，y1)即解得代入椭圆方程得1，将b24a代入得1，解得a7，b2.延伸拓展1(2017石家庄质检)已知两定点A(2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A. B. C. D.解析设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，则有解得x13，y11，易知|PA|PB|的最小值等于|A1B|，因此椭圆C的离心率e的最大值为.答案B2(2017上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60的平面所截，截面得一个椭圆，则该椭圆的焦距等于_解析底面半径为2的圆柱被与底面成60的平面所截，其截面是一个椭圆，这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为4.a2b2c2，c2，椭圆的焦距为4.答案4
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