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第3讲力与曲线运动考点一抛体运动1.(平抛运动规律应用)如图3-1所示,一质点做平抛运动,先后经过A、B两点,到达A点时速度方向与竖直方向的夹角为60,到达B点时速度方向与水平方向的夹角为45.质点运动到A点与运动到B点的时间之比是()图3-1A.13B.33C.23D.无法求出2.(平抛与斜面结合)(多选)如图3-2所示,足够长的斜面上有a、b、c、d、e五个点,ab=bc=cd=de,从a点水平抛出一个小球,初速度为v时,小球落在斜面上的b点,落在斜面上时的速度方向与斜面的夹角为,不计空气阻力,则初速度为2v时()图3-2A.小球一定落在斜面上的e点B.小球可能落在斜面上的c点与d点之间C.小球落在斜面上时的速度方向与斜面的夹角大于D.小球落在斜面上时的速度方向与斜面的夹角也为3.(平抛与曲面结合)(多选)如图3-3所示为一半球形的坑,坑边缘两点M、N与圆心O等高且在同一竖直面内.现甲、乙两位同学分别站在M、N两点,同时将两个小球分别以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出,发现两球刚好落在坑中同一点Q.已知MOQ=60,忽略空气阻力.下列说法正确的是()图3-3A.v1v2=13B.若仅增大v1,则两球将在落入坑中之前相撞C.两球的初速度无论怎样变化,只要落在坑中的同一点,两球抛出的速率之和不变D.若仅从M点水平抛出小球,改变小球抛出的速度,小球可能垂直坑壁落入坑中4.(平抛临界问题)如图3-4所示,一细木棍AB斜靠在水平地面与竖直墙壁之间,木棍AB与地面之间的夹角为45,A端到地面的距离为1 m.已知重力加速度大小为10 m/s2,空气阻力不计.现一跳蚤从竖直墙上距地面0.8 m的C点以水平速度v0跳出,要到达细木棍上,水平速度v0至少为()图3-4A.1 m/sB.2 m/sC.2.5 m/sD.5 m/s归纳 1.平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动.解答平抛运动的常用方法如下:2.有用结论(1)飞行时间:t=2hg,取决于下落高度h,与初速度v0无关.(2)水平射程:x=v0t=v02hg,由初速度v0和下落高度h共同决定,与其他因素无关.(3)落地速度:v=v02+2gh,与水平方向的夹角的正切tan =vyv0=2ghv0,所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关.(4)某时刻速度的反向延长线通过此时水平位移的中点.考点二圆周运动的动力学问题 1 有一如图3-5所示的装置,轻绳上端系在竖直杆的顶端O点,下端P连接一个小球(小球可视为质点),轻弹簧一端通过铰链固定在杆的A点,另一端连接小球,整个装置可以在外部驱动下绕OA轴旋转.刚开始时,整个装置处于静止状态,弹簧处于水平方向.现在让杆从静止开始缓慢加速转动,整个过程中,绳子一直处于拉伸状态,弹簧始终在弹性限度内,忽略一切摩擦和空气阻力.已知OA=4 m,OP=5 m,小球质量m=1 kg,弹簧原长l=5 m,重力加速度g取10 m/s2.图3-5(1)求弹簧的劲度系数k;(2)当弹簧弹力为零时,求整个装置转动的角速度大小.导思 平衡时小球受几个力作用,弹簧弹力与重力满足什么关系?转动且弹簧弹力为零时,小球受到几个力作用?归纳 处理匀速圆周运动的动力学问题时,关键在于分析清楚向心力的来源.从向心力的定义出发,找向心力时应把握好两点:(1)对物体进行受力分析,找出物体所受到的一切外力;(2)借助力的合成与分解方法,找出这些力沿半径方向的合力,最后根据牛顿第二定律列出等式解题.下面的变式涉及圆周运动的临界问题.式1 如图3-6所示,由竖直轴和双臂构成的“Y”形支架可以绕竖直轴转动,双臂与竖直轴所成锐角为.一个质量为m的小球穿在一条臂上,到结点的距离为h,小球始终与支架保持相对静止.设支架转动的角速度为,重力加速度为g,则()图3-6A.当=0时,臂对小球的摩擦力大小为mgsin B.由零逐渐增大的过程中,臂对小球的弹力大小不变C.当=1singcosh时,臂对小球的摩擦力为零D.当=1singhcos+12时,臂对小球的摩擦力大小为mg式2 (多选)如图3-7所示,两个可视为质点的相同的木块A和B放在转盘上,两者用长为L的轻绳连接,两木块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍,A放在距离转轴为L处,整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动.开始时,轻绳恰好伸直但无弹力,现让该装置从静止开始转动,使角速度缓慢增大,重力加速度为g,则()图3-7A.当2kg3L时,A、B相对于转盘会滑动B.当kg2L时,轻绳上一定有张力C.在0kg2L范围内增大时,A所受的摩擦力一直增大D.在kg2L2kg3L范围内增大时,B所受的摩擦力一直增大考点三万有引力定律应用考向1卫星运行的运动学问题 2 (多选)如图3-8所示,a、b、c三颗卫星在各自的轨道上绕地球做匀速圆周运动,轨道半径rarbrc,但三颗卫星受到地球的万有引力大小相等.下列说法正确的是()图3-8A.三颗卫星的向心加速度大小aaabacB.三颗卫星的质量mambmcC.三颗卫星的运行速度大小vavbvcD.三颗卫星的运行周期TaTbm),它们围绕共同的圆心O做匀速圆周运动.从地球A看过去,双星运动的平面与AO垂直,AO长度恒为L.观测发现质量较大的恒星做圆周运动的周期为T,运动范围的最大张角为(单位是弧度).已知引力常量为G,很小,可认为sin =tan =,忽略其他星体对双星系统的作用力,则()图3-10A.质量较小的恒星的角速度为2TMmB.质量较小的恒星的轨道半径为ML2mC.质量较小的恒星的线速度大小为MLmTD.两颗恒星的质量m和M满足关系式m3(m+M)2=2(L)32GT2导思 双星各自的向心力来源是什么?双星的轨道半径与两者的距离有何关系?归纳 由两颗或两颗以上的星体构成,忽略其他星体对它们的作用的一个孤立系统,俗称多星系统.(1)关于“多星”问题,运动过程构成稳定的位置关系,要抓住角速度的关系.(2)“多星”做圆周运动的向心力由它们的万有引力的合力提供,需要进行受力分析,对力有效地合成.(3)应注意的是“多星”中的某星球做圆周运动的轨道半径和该星与其他星球的距离是两个数量和物理意义都不同的概念.式 天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形的三个顶点,其沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动,如图3-11所示.已知引力常量为G,不计其他星体对它们的影响,关于这个三星系统,下列说法正确的是()图3-11A.它们两两之间的万有引力大小为164l49GT4B.其中一颗星的质量为3GT242l3C.三颗星的质量可能不相等D.它们的线速度大小均为23lT【真题模型再现】 竖直平面的圆周运动来源图例考向统计分析2016全国卷第20题受力分析、圆周运动、牛顿第二定律、动能定理通过对以往高考真题的统计可以看出,竖直平面中的圆周运动是近几年高考考查的热点,综合性强,能力要求高,可以考查受力分析和运动分析、牛顿运动定律、机械能、功能关系等方面问题,所以,竖直平面中的圆周运动是一个非常重要的模型.从应用解题来看,关注运动的特殊状态,往往应用向心力公式研究圆周运动的最高点或最低点,涉及临界问题;关注运动的某一过程或多个过程,往往应用动能定理或机械能守恒定律进行研究.2016全国卷第16题受力分析、牛顿运动定律、圆周运动、动能定理2016全国卷第25题竖直平面内的圆周运动、平抛运动2017全国卷第17题竖直平面内的圆周运动、平抛运动(续表)来源图例考向统计分析2018全国卷第25题牛顿运动定律、运动的合成与分解、圆周运动、动量【模型核心归纳】 分类轻绳模型(最高点无支撑)轻杆模型(最高点有支撑)实例球与绳连接、水流星、翻滚过山车等球与杆连接、球过竖直管道、套在圆环上的物体等图示在最高点受力重力,弹力F弹向下或等于零mg+F弹=m重力,弹力F弹向下、向上或等于零mgF弹=m恰好到达最高点F弹=0,m=mg,v=在最高点速度不能为零v=0,mg=F弹在最高点速度可以为零测1 (与v-t图像结合)(多选)如图3-12甲所示,轻杆一端与质量为1 kg、可视为质点的小球相连,另一端可绕光滑固定轴在竖直平面内自由转动.现使小球在竖直平面内做圆周运动,经最高点开始计时,取水平向右为正方向,小球的水平分速度v随时间t的变化关系如图乙所示,A、B、C三点分别是图线与纵轴、横轴的交点和图线上第一个周期内的最低点,该三点的纵坐标分别是1、0、-5.g取10 m/s2,不计空气阻力.下列说法中正确的是()图3-12A.轻杆的长度为0.6 mB.小球经过最高点时,杆对它的作用力方向竖直向上C.B点对应时刻小球的速度为3 m/sD.曲线AB段与坐标轴所围图形的面积为0.5 m测2 (与平抛运动结合)如图3-13所示,小物块从距A点高为h处自由下落,并从A点沿切线方向进入半径为R的四分之一圆弧轨道AB,经过最低点B后又进入半径为R2的半圆弧轨道BC,C点为半圆弧轨道的最高点,O为半圆弧轨道的圆心,两轨道均光滑且在最低点相切.以下说法错误的是()图3-13A.若物块能从轨道BC的最高点C飞出,则下落的高度h可能为R2B.若已知下落高度h=R,则可求出物块打到轨道AB上的速度大小C.释放的高度越高,在轨道BC的最高点C和最低点B的压力差越大D.物块从最高点C飞出后,打到轨道AB上的速度方向不可能与过碰撞点的轨道切线垂直测3 (与电场结合)(多选)如图3-14甲所示,用轻绳拴着一质量为m、带正电的小球在竖直面内绕O点做圆周运动,竖直面内加有竖直向下的匀强电场,电场强度为E,不计一切阻力,小球运动到最高点时的动能Ek与绳中张力F间的关系如图乙所示,当地的重力加速度为g.由图可推知()图3-14A.轻绳的长度为2abB.小球所带电荷量为b+mgEC.小球在最高点的最小速度为2amD.小球在最高点的最小速度为5am第3讲力与曲线运动 高频考点探究考点一1.B解析 设平抛的初速度为v0,将A、B两点的速度分解,在A点,有tan(90-60)=vAyv0=gtAv0,解得tA=3v03g,在B点,有tan 45=vByv0=gtBv0,解得tB=v0g,故tAtB=33,B正确,A、C、D错误.2.AD解析 设斜面倾角为,小球落在斜面上,竖直方向上的位移与水平方向上的位移之比一定,即tan =yx=gt2v0,抛出速度为原来的2倍时,运动时间变为原来的2倍,则水平位移和竖直位移都变为原来的4倍,小球一定落在斜面上的e点,选项A正确,B错误;速度方向与水平方向的夹角的正切值为斜面倾角正切值的2倍,所以小球落在斜面上时的速度方向与斜面的夹角也为,选项C错误,D正确.3.AB解析 对从M点抛出的小球,有R-Rcos 60=v1t1,Rsin 60=12gt12,对从N点抛出的小球,有R+Rcos 60=v2t2,Rsin 60=12gt22,联立可得v1v2=13,选项A正确;若仅增大v1,则两球运动的轨迹在空中相交,发生相碰,选项B正确;若两球落在同一点,则水平方向上有v1t+v2t=2R,两球抛出的速率之和v1+v2=2Rt,因时间随下落的高度不同而不同,故选项C错误;若末速度垂直于坑壁,则其反向延长线过圆心O,根据速度的反向延长线必过水平位移的中点的推论,水平位移应为2R,不符合题意,选项D错误.4.B解析 由题意可知h=12gt2,0.2 m+h=v0t,整理可得5t2-v0t+0.2=0,要使跳蚤到达细木棍上,至少需使上式有一解,所以=v02-450.2=v02-40,解得v02 m/s,故v0至少为2 m/s,B正确.考点二例1(1)3.75 N/m(2)5 rad/s解析 (1)开始整个装置处于静止状态,对小球受力分析,由平衡条件得k(l-AP)AP=mgOA而AP=OP 2-OA2联立解得k=3.75 N/m(2)当弹簧弹力为0 时,小球移至P位置,绕OA中点C做匀速圆周运动,轨道半径r=CP=OP2-OC 2由牛顿第二定律得mgtan =mr2又知tan =CPOC,AP=OP=5 m,OC=2 m解得=5 rad/s例1变式1C解析 当=0时,由平衡条件知,臂对小球的摩擦力f1=mgcos ,选项A错误;支架转动过程中,当摩擦力f=0时,有mgtan=m2hsin ,解得=1singcosh,选项C正确;由零逐渐增大到=1singcosh的过程中,有FNsin +fcos =mg,FNcos -fsin =m2hsin ,故支持力增大,摩擦力减小,选项B错误;当f=mg时,有FNsin =fcos +mg,FNcos +fsin =m2hsin ,解得=1singh(cos+1),选项D错误.例1变式2ABC解析 开始角速度较小,两木块都靠静摩擦力提供向心力,因两木块的角速度和质量都相同,由f=m2r知,B先达到最大静摩擦力,角速度继续增大,则轻绳中出现张力, B受到最大静摩擦力,角速度继续增大,A的静摩擦力继续增大,当增大到最大静摩擦力时,A、B相对于转盘开始滑动,对A有kmg-T=m12L,对B有T+kmg=2m12L,解得1=2kg3L,所以当2kg3L时,A、B相对于转盘会滑动,故A正确;当B达到最大静摩擦力时,轻绳中开始出现张力,由kmg=2m22L,解得2=kg2L,所以当kg2L时,轻绳中一定有张力,故B正确;当0kg2L时,A相对转盘是静止的,A所受的摩擦力为静摩擦力,由f=m2L知,当增大时,静摩擦力也增大,故C正确;当kg2L2kg3L时,轻绳中出现张力,B受到的静摩擦力保持不变,故D错误.考点三例2BD解析 对卫星,有GMmr2=ma=mv2r=m2T2r,因为rarbabac,选项A错误;速度v=GMr,故三颗卫星的运行速度大小vavbvc,选项C错误;周期T=2r3GM,故三颗卫星的运行周期TaTbTc,选项D正确;由F=GMmr2,因为三颗卫星受到的引力相等,故三颗卫星的质量mambvA=1 m/s,由于小球在A点的速度小于临界速度,故杆对小球的作用力方向竖直向上,选项B正确;小球从A到B的过程中机械能守恒,有12mvA2+mgL=12mvB2,则vB=13 m/s,选项C错误;水平方向的分速度随时间的积累,即曲线AB段与坐标轴所围图形的面积表示从A到B的过程中小球在水平方向的位移,即为杆的长度L=0.6 m,选项D错误.预测2C解析 物块恰能从轨道BC的最高点C飞出时,由重力提供向心力,有mg=mvC212R,从开始运动到C点的过程,由机械能守恒定律得mgh=12mvC2,联立解得h=R4,若物块能从轨道BC的最高点C飞出,则下落的高度h可能为 R2,故A正确.若已知下落高度h=R,根据机械能守恒定律可求出物块通过C点的速度,物块离开C点后做平抛运动,则有y=12gt2,x=vCt,又有x2+y2=R2,联立可求出t,根据v=vC2+(gt)2,可求出物块打到轨道AB上的速度大小,故B正确.在C点,有mg+F1=mvC212R,在B点,有F2-mg=mvB212R,根据机械能守恒定律得mgR+12mvC2=12mvB2,联立解得F2-F1=6mg,根据牛顿第三定律可知,在轨道BC的最高点C和最低点B的压力差恒为6mg,故C错误.若物块从最高点C飞出后,根据“中点”结论可知,打到轨道AB上的速度的延长线交水平位移于中点,所以速度方向不可能与过碰撞点的轨道切线垂直,故D正确.预测3AC解析 小球在最高点,有mg+qE+F=mv2r,则Ek=12mv2=r2mg+Eq+r2F,图线的斜率k=ab=r2,故轻绳的长度r=2ab,选项A正确;纵截距a=r2mg+qE,故小球所带电荷量q=b-mgE,选项B错误;当F=0时,小球在最高点的速度最小,有12mvmin2=a,故最小速度vmin=2am,选项C正确,选项D错误.
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