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3.1.2两角和与差的正弦学习目标1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余弦间的关系.2.会推导两角和与差的正弦公式，掌握公式的特征.3.能运用公式进行三角函数的有关化简求值知识点两角和与差的正弦思考1如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？答案sin()coscoscoscossinsinsincoscossin.思考2如何推导两角差的正弦呢？答案可以由sin()coscos得到，也可以由sin()sin()得到梳理(1)两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S()sin()sincoscossin，R两角差的正弦S()sin()sincoscossin，R记忆口诀：“正余余正，符号相同”(2)辅助角公式asinxbcosx，令cos，sin，则有asinxbcosx(cossinxsincosx)sin(x)，其中tan，为辅助角1.任意角，都有sin()sincoscossin.()提示由两角和的正弦公式知结论正确2存在角，使sin()sincoscossin.()提示由两角差的正弦公式知不存在角，使sin()sincoscossin.3存在角，使sin()sincoscossin.()提示如0时，sin()0，sincoscossin0.类型一给角求值例1(1)化简求值：sin(x27)cos(18x)sin(63x)sin(x18)解原式sin(x27)cos(18x)cos(x27)sin(x18)sin(x27)cos(18x)cos(x27)sin(18x)sin(x27)(18x)sin45.(2).答案解析原式sin30.反思与感悟(1)解答给角求值题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解跟踪训练1计算：(1)sin14cos16sin76cos74；(2)sin(54x)cos(36x)cos(54x)sin(36x)解(1)原式sin14cos16sin(9014)cos(9016)sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin30.(2)原式sin(54x)(36x)sin901.类型二给值求值例2已知sin，cos，且0，求cos()解0，0.又sin，cos，cos，sin.cos()sinsinsincoscossin.反思与感悟(1)给值(式)求值的策略：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解跟踪训练2已知，cos()，sin()，求cos2与cos2的值解，0，.sin()，cos().cos2cos()()cos()cos()sin()sin()，cos2cos()()cos()cos()sin()sin().类型三辅助角公式例3将下列各式写成Asin(x)的形式：(1)sinxcosx；(2)sincos.解(1)sinxcosx222sin.(2)原式coscossin.反思与感悟一般地对于asin bcos 形式的代数式，可以提取，化为Asin(x)的形式，公式asin bcos sin()(或asin bcos cos()称为辅助角公式利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值跟踪训练3sincos.答案解析原式2.方法一原式222sin2sin.方法二原式222cos2cos .例4已知函数f(x)2sin2cosx，x，求函数f(x)的值域解f(x)2sin2cosxsinxcosx2sin，因为x，所以x.所以sin1.所以函数f(x)的值域为1,2反思与感悟(1)用辅助角公式化成一角一函数，即asinxbcosxsin(x)的形式(2)根据三角函数的单调性求其值域跟踪训练4(1)当函数ysinxcosx(0x2)取得最大值时，x；(2)函数f(x)sinxcos的值域为答案(1)(2)，解析(1)y2sin，0x2，x，当x，即x时，ymax2.(2)f(x)sinxcosxsinxsinxcosxsin，f(x)，.1计算sin43cos13cos43sin13的结果为答案解析原式sin(4313)sin30.2化简：cossin.答案cos解析cossinsinsin2sincoscos.3sin20cos10cos160sin10.答案解析sin20cos10cos160sin10sin20cos10cos20sin10sin30.4计算cossin的值是答案2解析cossin222sin2sin2.5化简：sincoscossin.解原式sincossincossinsinsincoscossin.1公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C()C()S()S()(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C()，C()可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S()，S()可记为“异名相乘，符号同”(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C()，C()，S()，且公式sin()sincoscossin，角，的“地位”不同也要特别注意2应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1sin2cos2，1sin90，cos60，sin60等，再如：0，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数一、填空题1已知，sin，则sin.答案解析由，得，所以cos.所以sin sin sincos cossin .2sin10cos20sin80sin20.答案解析sin10cos20sin80sin20sin10cos20cos10sin20sin(1020)sin30.3sin15sin75的值是答案解析sin15sin75sin(4530)sin(4530)2sin45cos30.4已知cossin，则tan.答案15已知0，又sin，cos()，则sin.答案解析0，sin，cos()，cos，sin()或.sinsin()sin()coscos()sin或0.，sin.6设为锐角，若cos，则sin.答案解析因为为锐角，所以.又cos，所以sin，所以sinsinsincoscossin.7已知cossin，则sin的值为答案解析cossin，coscossinsinsin，cossin，即cossin，sin.sinsin.8在ABC中，A，cosB，则sinC.答案解析sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinB(cosB).9函数f(x)sin(x2)2sincos(x)的最大值为答案1解析因为f(x)sin(x2)2sincos(x)sin(x)2sincos(x)sin(x)coscos(x)sin2sincos(x)sin(x)coscos(x)sinsin(x)sinx，所以f(x)的最大值为1.10定义运算adbc.若cos，0，则.答案解析由题意，得sincoscossin，sin().0，0，cos().又由cos，得sin.coscos()coscos()sinsin()，又0，.11.答案1解析原式tan451.二、解答题12已知sin，sin()，均为锐角，求.解为锐角，sin，cos.且sin()，cos()，sinsin()sin()coscos()sin.又为锐角，.13已知sin()coscos()sin，是第三象限角，求sin的值解sin()coscos()sinsin()coscos()sinsin()sin()sin，sin，又是第三象限角，cos.sinsincoscossin.三、探究与拓展14已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos，sin)，若1，则sin.答案解析(cos3，sin)，(cos，sin3)，(cos3)cossin(sin3)cos23cossin23sin13(sincos)1313sin1，sin.15已知函数f(x)Asin，xR，且f.(1)求A的值；(2)若f()f()，求f.解(1)由fAsinAsinA，可得A3.(2)f()f()，则3sin3sin，即33，故sin.因为，所以cos，所以f()3sin3sin3cos.
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